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- 2021-06-16 发布
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数学期望的定义
练习一
复习引入
问题提出
本课小结
期望应用
,
例
2.
例
3
设离散型随机变量 可能取的值为
为随机变量 的
概率分布列
,简称为 的
分布列
.
取每一个值 的概率 则称表
对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律
.
但在实际应用中,我们还常常希望
直接通过数字
来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有
期望与方差
.
思考下面的问题
:
4
5
6
7
8
9
10
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
某射手射击所得环数 的分布列如下:
在
100
次射击之前
,
试估计该射手
100
次射击的平均环数
.
分析:
平均环数
=
总环数
100
所以
,
总环数约等于
(
4×0.02+5×0.04+6×0.06+
…+10×0.22)× 100
.
故
100
次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+
…+10×0.22=8.32.
一般地
,
一般地:
对任一射手
,
若已知他的所得环数 的分布列,即已
知 则可以预计他任意
n
次射击的
平均环数是 记为
我们称 为此射手射击所得环数的
期望
,它刻划了所
得环数随机变量 所取的平均值。
更一般地
关于
平均的意义
,
我们再看一个例子
,
思考
:
课本第
69
页的定价怎样才合理问题
?
结论一证明
结论二证明
数学期望的定义
:
一般地,随机变量 的概率分布列为
则称
为 的
数学期望
或均值,简称为
期望
.
它
反映了离散型随机变量取值的平均水平
.
结论
1
: 则
;
结论
2
:若
ξ~
B
(
n
,
p
)
,则
E
ξ=
np.
练习一
(
巩固定义
)
所以, 的分布列为
结论
1
: 则
练习一
(
巩固定义
)
练习二
1
、随机变量
ξ
的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)
则
Eξ=
.
2
、随机变量
ξ
的分布列是
2.4
(2)
若
η=2ξ+1
,则
Eη=
.
5.8
ξ
4
7
9
10
P
0.3
a
b
0.2
Eξ=7.5,
则
a
=
b
=
.
0.4
0.1
3.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得
1
分,罚不中得
0
分.已知某运动员罚球命中的概率为
0.7
,则他罚球
1
次的得分
ξ
的期望为
.
1.
一个袋子里装有大小相同的
3
个红球和
2
个黄球,从中同时取
2
个,则其中含红球个数的数学期望是
.
1.2
2.
(
1
)若
E(ξ)=
4.5
,
则
E(
-
ξ)=
.
(
2
)
E(ξ
-
Eξ)=
.
0.7
(
详细解答过程见课本例
1)
-4.5
0
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望
,
那么一般地
,
若
ξ~
B
(
n
,
p
)
,则
E
ξ=?
∴
E
ξ =0×C
n
0
p
0
q
n
+ 1×C
n
1
p
1
q
n-1
+ 2×C
n
2
p
2
q
n-2
+
…+
k
×C
n
k
p
k
q
n-k
+…+
n
×C
n
n
p
n
q
0
∵
P
(ξ=
k
)= C
n
k
p
k
q
n-k
证明:
=
np
(C
n-1
0
p
0
q
n-1
+ C
n-1
1
p
1
q
n-2
+ … +
C
n-1
k-1
p
k-1
q
(n-1)-(k-1)
+…+ C
n-1
n-1
p
n-1
q
0
)
=
np
(
p
+
q
)
n-1
=
np
ξ 0
1
…
k
…
n
P
C
n
0
p
0
q
n
C
n
1
p
1
q
n-1
… C
n
k
p
k
q
n-k
… C
n
n
p
n
q
0
(∵
k
C
n
k
=
n
C
n-1
k-1
)
结论
2
:若
ξ~
B
(
n
,
p
)
,则
E
ξ=
np
期望在生活中的应用广泛
,
见课本第
72
页例
2.
例
3
不一定
,
其含义是在多次类似的测试中
,
他的平均成绩大约是
90
分
思考
1
思考
2
例
2
.
一次单元测验由
20
个选择题构成
,
每个选择题有
4
个选项
,
其中有且仅有一个选项正确
,
每题选对得
5
分
,
不选或选错不得分
,
满分
100
分
.
学生甲选对任一题的概率为
0.9,
学生乙则在测验中对每题都从
4
个选项中随机地选择一个
.
求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值
.
解
:
设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是
ξ
和
η
,
则
ξ
~
B(20
,
0.9)
,
η
~
B(20
,
0.25)
,
所以
Eξ
=
20×0.9
=
18
,
Eη
=
20×0.25
=
5
.
由于答对每题得
5
分,学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是
5ξ
和
5η.
这样,他们在测验中的成绩的期望分别是
E(5ξ)
=
5Eξ
=
5×18
=
90
,
E(5η)
=
5Eη
=
5×5
=
25
.
思考
:
学生甲在这次测试中的成绩一定会是
90
分吗
?
他的均值为
90
分的含义是什么
?
思考
1.
某商场的促销决策:
统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利
2
万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利
10
万元;如遇下雨可则损失
4
万元。
6
月
19
日气象预报端午节下雨的概率为
40%
,商场应选择哪种促销方式?
解
:
因为商场内的促销活动可获效益
2
万元
设商场外的促销活动可获效益
万元
,
则
的分布列
P
10
-
4
0.6
0.4
所以
E
=10×0.6
+
(-4) ×0.4=4.4
因为
4.4>2,
所以商场应选择在商场外进行促销
.
1
、本节课学习了离散型随机变量
ξ
的期望及公式:
(
1
)
E
(
a
ξ+
b
)=
aEξ+b
;
(
2
)若
ξ
~
B
(
n
,
p
),则
E
ξ=
np
2
、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
思考
2.
有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现
1
,你赢
8
元;出现
2
或
3
或
4
,你输
3
元;出现
5
或
6
,不输不赢.这场
赌博
对你是否有利
?
对你不利
!
劝君莫参加赌博
.
彩球游戏
准备一个布袋,内装
6
个红球与
6
个白球,除颜色不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸
6
个球,输赢的规则为:
6
个全红 赢得
100
元
5
红
1
白 赢得
50
元
4
红
2
白 赢得
20
元
3
红
3
白 输
100
元
2
红
4
白 赢得
20
元
1
红
5
白 赢得
50
元
6
个全白 赢得
100
元
你动心了吗
?