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  • 2021-06-16 发布

高中数学选修2-3教学课件:2007_6_14离散型随机变量的均值与方差(一)

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数学期望的定义 练习一 复习引入 问题提出 本课小结 期望应用 , 例 2. 例 3 设离散型随机变量 可能取的值为 为随机变量 的 概率分布列 ,简称为 的 分布列 . 取每一个值 的概率 则称表 对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律 . 但在实际应用中,我们还常常希望 直接通过数字 来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有 期望与方差 . 思考下面的问题 : 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 某射手射击所得环数 的分布列如下: 在 100 次射击之前 , 试估计该射手 100 次射击的平均环数 . 分析: 平均环数 = 总环数  100 所以 , 总环数约等于 ( 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100 . 故 100 次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地 , 一般地: 对任一射手 , 若已知他的所得环数 的分布列,即已 知 则可以预计他任意 n 次射击的 平均环数是 记为 我们称 为此射手射击所得环数的 期望 ,它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。 更一般地 关于 平均的意义 , 我们再看一个例子 , 思考 : 课本第 69 页的定价怎样才合理问题 ? 结论一证明 结论二证明 数学期望的定义 : 一般地,随机变量 的概率分布列为 则称 为 的 数学期望 或均值,简称为 期望 . 它 反映了离散型随机变量取值的平均水平 . 结论 1 : 则 ; 结论 2 :若 ξ~ B ( n , p ) ,则 E ξ= np. 练习一 ( 巩固定义 ) 所以, 的分布列为 结论 1 : 则 练习一 ( 巩固定义 ) 练习二 1 、随机变量 ξ 的分布列是 ξ 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 (1) 则 Eξ= . 2 、随机变量 ξ 的分布列是 2.4 (2) 若 η=2ξ+1 ,则 Eη= . 5.8 ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 Eξ=7.5, 则 a = b = . 0.4 0.1 3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ,则他罚球 1 次的得分 ξ 的期望为 . 1. 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取 2 个,则其中含红球个数的数学期望是 . 1.2 2. ( 1 )若 E(ξ)= 4.5 , 则 E( - ξ)= . ( 2 ) E(ξ - Eξ)= . 0.7 ( 详细解答过程见课本例 1) -4.5 0 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望 , 那么一般地 , 若 ξ~ B ( n , p ) ,则 E ξ=? ∴ E ξ =0×C n 0 p 0 q n + 1×C n 1 p 1 q n-1 + 2×C n 2 p 2 q n-2 +     …+ k ×C n k p k q n-k +…+ n ×C n n p n q 0 ∵ P (ξ= k )= C n k p k q n-k 证明: = np (C n-1 0 p 0 q n-1 + C n-1 1 p 1 q n-2 + … +     C n-1 k-1 p k-1 q (n-1)-(k-1) +…+ C n-1 n-1 p n-1 q 0 ) = np ( p + q ) n-1 = np ξ 0 1 … k … n P C n 0 p 0 q n C n 1 p 1 q n-1 … C n k p k q n-k … C n n p n q 0 (∵ k C n k = n C n-1 k-1 ) 结论 2 :若 ξ~ B ( n , p ) ,则 E ξ= np 期望在生活中的应用广泛 , 见课本第 72 页例 2. 例 3 不一定 , 其含义是在多次类似的测试中 , 他的平均成绩大约是 90 分 思考 1 思考 2 例 2 . 一次单元测验由 20 个选择题构成 , 每个选择题有 4 个选项 , 其中有且仅有一个选项正确 , 每题选对得 5 分 , 不选或选错不得分 , 满分 100 分 . 学生甲选对任一题的概率为 0.9, 学生乙则在测验中对每题都从 4 个选项中随机地选择一个 . 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 . 解 : 设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是 ξ 和 η , 则 ξ ~ B(20 , 0.9) , η ~ B(20 , 0.25) , 所以 Eξ = 20×0.9 = 18 , Eη = 20×0.25 = 5 . 由于答对每题得 5 分,学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是 5ξ 和 5η. 这样,他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ) = 5Eξ = 5×18 = 90 , E(5η) = 5Eη = 5×5 = 25 . 思考 : 学生甲在这次测试中的成绩一定会是 90 分吗 ? 他的均值为 90 分的含义是什么 ? 思考 1. 某商场的促销决策: 统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2 万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利 10 万元;如遇下雨可则损失 4 万元。 6 月 19 日气象预报端午节下雨的概率为 40% ,商场应选择哪种促销方式? 解 : 因为商场内的促销活动可获效益 2 万元 设商场外的促销活动可获效益  万元 , 则  的分布列 P  10 - 4 0.6 0.4 所以 E =10×0.6 + (-4) ×0.4=4.4 因为 4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销 . 1 、本节课学习了离散型随机变量 ξ 的期望及公式: ( 1 ) E ( a ξ+ b )= aEξ+b ; ( 2 )若 ξ ~ B ( n , p ),则 E ξ= np 2 、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。 思考 2. 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现 1 ,你赢 8 元;出现 2 或 3 或 4 ,你输 3 元;出现 5 或 6 ,不输不赢.这场 赌博 对你是否有利 ? 对你不利 ! 劝君莫参加赌博 . 彩球游戏 准备一个布袋,内装 6 个红球与 6 个白球,除颜色不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸 6 个球,输赢的规则为: 6 个全红 赢得 100 元 5 红 1 白 赢得 50 元 4 红 2 白 赢得 20 元 3 红 3 白 输 100 元 2 红 4 白 赢得 20 元 1 红 5 白 赢得 50 元 6 个全白 赢得 100 元 你动心了吗 ?

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