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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版利用导数证明多元不等式学案

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专题15 利用导数证明多元不等式 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 利用函数性质、导数证明不等式,是导数综合题常涉及的问题,多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点,其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数,本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.‎ ‎1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作:‎ ‎(1)利用条件粗略确定变量的取值范围 ‎(2)处理好相关函数的分析(单调性,奇偶性等),以备使用 ‎2、若多元不等式是一个轮换对称式(轮换对称式:一个元代数式,如果交换任意两个字母的位置后,代数式不变,则称这个代数式为轮换对称式),则可对变量进行定序 ‎3、证明多元不等式通常的方法有两个 ‎ ‎(1)消元:① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 ‎(2)变量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 ‎(3)利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系,再寻找方法.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2018届四川省资阳市高三4月模拟(三诊)】已知函数(其中).‎ ‎(1)当时,判断零点的个数 ;‎ ‎(2)在(1)的条件下,记这些零点分别为,求证: .‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,根据零点列表分析导函数符号,进而确定函数单调性,再根据零点存在定理确定函数零点个数,(2)先根据零点条件化简得,令则,利用导数研究函数 单调性,根据单调性得,即证得结论.‎ 试题解析:(1)由题知x>0, ,‎ 所以,由得,‎ 当x>时, , 为增函数;当0