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- 2021-06-16 发布
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第二单元 等式与不等式
第 12 课 不等式及其性质
一、基础巩固
1.下列说法正确的是( )
A.某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高 x cm,小华的身高 y cm,则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量 x 至少是 a 可表示为“x≥a”
D.某变量 y 不超过 a 可表示为“y≥a”
【答案】C
【解析】对于 A,x 应满足 x≤2 000,故 A 错;对于 B,x,y 应满足 x<y,故 B 不正确;C 正确;
对于 D,y 与 a 的关系可表示为 y≤a,故 D 错误.
2.若 a≠2 且 b≠-1,则 M=a2+b2-4a+2b 的值与-5 的大小关系是( )
A.M>-5 B.M<-5
C.M=-5 D.不能确定
【答案】A
【解析】M=(a-2)2+(b+1)2-5>-5.故选 A.
3.已知:a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是( )
A.若 a>b,c>b,则 a>c
B.若 a>-b,则 c-a<c+b
C.若 a>b,c<d,则a
c>b
d
D.若 a2>b2,则-a<-b
【答案】B
【解析】选项 A,若 a=4,b=2,c=5,显然不成立,选项 C 不满足倒数不等式的条件,如 a>b
>0,c<0<d 时,不成立;选项 D 只有 a>b>0 时才可以.否则如 a=-1,b=0 时不成立,故选 B.
4.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( )
A.a>a
b> a
b2 B. a
b2>a
b>a
C.a
b>a> a
b2 D.a
b> a
b2>a
【答案】D
【解析】取 a=-2,b=-2,则a
b=1, a
b2=-1
2,∴a
b> a
b2>a.故选 D.
5.已知 a>b,则下列不等式:①a2>b2;②1
a<1
b;③ 1
a-b>1
a.其中不成立的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案】D
【解析】虽然已知 a>b,但并不知道 a,b 的正负,如有 2>-3,但 22<(-3)2,故①错;2>-3⇒1
2>
-1
3,②错;若有 a=1,b=-2,则 1
a-b=1
3,1
a=1,故③错.
6.设 x>1,-1<y<0,试将 x,y,-y 按从小到大的顺序排列:________.
【答案】y<-y<x
【解析】∵-1<y<0,∴0<-y<1,∴y<-y,又 x>1,∴y<-y<x.
7.若 80⇒a>b>0,故 a+b>a
-b>0.若 a-b≥1,则 1
a+b≥1⇒a+b≤1≤a-b,这与 a+b>a-b>0 矛盾,故 a-b<1 成立.
对于②,取特殊值,a=3,b=3
4,则 a-b>1.
对于③,取特殊值,a=9,b=4 时,|a-b|>1.
对于④,∵|a3-b3|=1,a>0,b>0,
∴a≠b,不妨设 a>b>0.
∴a2+ab+b2>a2-2ab+b2>0,
∴(a-b)(a2+ab+b2)>(a-b)(a-b)2.
即 a3-b3>(a-b)3>0,
∴1=|a3-b3|>(a-b)3>0,
∴0A>B>D
【解析】因为-1
2A>B>D.则只需
说明 B-D>0,A-B>0,C-A>0 即可.
因为 B-D=1-a2- 1
1-a=a3-a2-a
1-a =
a
a-1
2
2
-5
4
1-a ,
又-1
20,-10,所以 B>D.
因为 A-B=1+a2-1+a2=2a2>0,所以 A>B.
因为 C-A= 1
1+a-(1+a2)=-a(a2+a+1)
1+a
=
-a
a+1
2
2
+3
4
1+a ,
又 1+a>0,-a>0, a+1
2
2
+3
4>0,
所以
-a
a+1
2
2
+3
4
1+a >0,所以 C>A.
综上可知,A、B、C、D 的大小关系是 C>A>B>D.