【数学】2018届一轮复习人教A版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用教案 14页

‎　‎ ‎1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．‎ ‎2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．‎ 知识点一　　　 ‎ 如下表所示 x ‎_____‎ ‎______‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ 答案 　 ‎1．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.‎ 解析：分别令x－＝0，，π，，2π，可求出x的值分别为，，，，.又因为A＝1，所以需要确定的五个点 为：，，，，.‎ 答案：　　　　 ‎2．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)‎ 解析：令x＝0得y＝sin(－)＝－，排除B，D.由f(－)＝0，f(‎ eq f(π,6))＝0，排除C.‎ 答案：A 知识点二 　　　 ‎ ‎　‎ 答案 ‎|φ|　||‎ ‎3．(必修④P55练习第2题改编)已知函数f(x)＝sin，为了得到函数g(x)＝sin2x的图象，只需将f(x)的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：因为f(x)＝sin＝sin，所以要得到函数g(x)＝sin2x的图象，只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度即可，故选A.‎ 答案：A ‎4．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．‎ 解析：将y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．‎ 答案：y＝sin 知识点三,　　　 ‎ ‎1．振幅为A.‎ ‎2．周期T＝________.‎ ‎3．频率f＝________＝________.‎ ‎4．相位是________．‎ ‎5．初相是φ.‎ 答案 ‎2.　3.　　4.ωx＋φ ‎5．(必修④P58习题1.5第4题改编)电流i(单位：A)随时间t ‎(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相、周期分别是________．‎ 解析：由初相和周期的定义，得电流i变化的初相是，周期T＝＝.‎ 答案：， 热点一　“五点法”作图及图象变换 ‎ ‎【例1】　已知函数y＝2sin.‎ ‎(1)求它的振幅、周期、初相；‎ ‎(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．‎ ‎【解】　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.‎ ‎(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.‎ 列表如下：‎ x ‎－ X ‎0‎ π ‎2π y＝sinX ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ 描点画出图象，如图所示：‎ ‎(3)方法1：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ‎＝2sin的图象．‎ 方法2：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．‎ ‎(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎(1)把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)‎ A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ ‎(2)将函数y＝sinx＋cosx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．‎ 解析：(1)将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x＝－是其图象的一条对称轴方程．‎ ‎(2)把y＝sin的图象向左平移m个单位长度后得到函数y＝sin＝sin的图象，由题意得m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z，又m>0，取k＝0，得m的最小值为.‎ 答案：(1)A　(2) 热点二 　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质 ‎ ‎【例2】　(2017·铜陵模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象的一部分如图所示：‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ ‎【解】　(1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1.‎ 则A＝＝2，b＝＝1.‎ 又T＝2＝π，ω＝＝＝2，‎ 所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.‎ 将x＝，y＝3代入上式，得sin＝1.所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 因为|φ|<，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin＋1.‎ ‎(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是 (k∈Z)．‎ ‎1．对于本例，根据图象写出函数f(x)的对称轴及其单调递减区间．‎ 解：由图象知，函数f(x)的周期是2×＝π.函数f(x)的对称轴是x＝＋(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎2．对于本例，求f(x)的对称中心．‎ 解：由例题解析知f(x)＝2sin＋1，‎ 令2x＋＝π＋kπ，k∈Z 得x＝＋，k∈Z，‎ 所以f(x)的对称中心是，k∈Z.‎ ‎【总结反思】‎ 根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：‎ ‎(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A＝；‎ ‎(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即 k＝；‎ ‎(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω>0)来确定ω；‎ ‎(4)φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－确定φ.‎ ‎ (2017·开封模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx(x∈R ‎)的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 解析：由图象可知f(x)＝sin，由y＝sinx的图象先左移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变．‎ 答案：C 热点三 三角函数模型及其应用 ‎ ‎【例3】　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎【解】　(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin ‎＝10－×－＝10.‎ 故实验室这一天上午8时的温度为‎10 ℃‎.‎ ‎(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎.‎ ‎【总结反思】‎ 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.‎ 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：因为函数y＝3sin＋k的最小值为2.所以－3＋k＝2，‎ 得k＝5，‎ 故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)．‎ 故选C.‎ 答案：C ‎1．在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”‎ 也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．‎ ‎2．由图象确定函数解析式：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．‎