山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试（2）数学（文） 10页

文科数学 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知全集，集合,，‎ 则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，，则复数对应复平面内的点在 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知函数，则 （ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．已知夹角为的向量满足，且，则向量的关系是( )‎ A．互相垂直 B．方向相同 C．方向相反 D．成角 ‎5．公差不为零的等差数列中，成等比数列，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知满足，则 （ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎8．运行如图所示的程序算法，若输入的值为20，则输出的结果为（ ）‎ A．20 B．10 C．0 D．‎ ‎9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某网站调查了喜欢海淘的1000名网友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有400人，第二类是不会降低海淘数量，共有600人，若从这1000人中按照分层抽样的方法抽取10人后进行打分，其打分的茎叶图如下图所示，图中有数据缺失，但已知“第一类”和“第二类”网民打分的均值相等，则“第一类”网民打分的方差为 （ ）‎ A．159 B．179 C．189 D．209‎ ‎10．若不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C．[－4,2] D．‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．已知函数与函数的交点个数为 （ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）‎ ‎13．不等式的解集为，则 .‎ ‎14．已知抛物线的焦点坐标为，则直线被抛物线截得的弦的中点坐标为 .‎ ‎15．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数是确定的奇数（大于1），把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，若勾股数组中的某一个数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.由此得到的这种勾股数称之为“由生成的一组勾股数”.若“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为，“由20生成的这组勾股数”的“弦数”为，则 .‎ ‎16．的内角的对边分别为，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(12分)已知数列是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）若，求的前项和．‎ 18． ‎(12分)如图，是正方形，平面,平面，‎ ‎,．‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，几何体的体积为，且，求的值．‎ ‎19．(12分)‎ ‎2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：‎ 若根据往年防汛经验，每小时降雨量在时，要保持二级警戒，每小时降雨量在时，要保持一级警戒.‎ ‎（1）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.‎ ‎①求一级警戒和二级警戒各抽取多少小时；‎ ‎②若从这10个小时中任选2个小时，则这2个小时中恰好有1小时属于一级警戒的概率.‎ ‎（2）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内的平均降雨量.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，求.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）若在处的切线与直线垂直，求的极值；‎ ‎（2）设与直线交于点，抛物线与直线交于点，若对任意，恒有，试分析的单调性.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数(其中m为常数).‎ ‎（1）若，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求证：对任意实数恒成立.‎ 文科数学答案与解析 ‎1．【答案】C【解析】由条件可得，故.‎ ‎2．【答案】D【解析】，对应复平面内的点的坐标为(1,－2)，在第四象限.‎ ‎3．【答案】A【解析】，故.‎ ‎4．【答案】C【解析】由可得，即，即，所以，即，所以方向相反.‎ ‎5．【答案】B【解析】设的公差为d(d≠0),由成等比数列可得，即，即，故.‎ ‎6．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：.‎ ‎7．【答案】B【解析】由可得，即，平方可得，即，故.‎ 8． ‎【答案】B【解析】该框图的运行结果是：‎ ‎.‎ 9． ‎【答案】B【解析】抽取的网民中，“第一类”抽取4人，缺失一个数字，设为，“第二类”抽取6人，则，解之得，其两组数的均值都是65，则“第一类”网民打分的方差为：‎ ‎.‎ ‎10．【答案】D【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点，‎ 故阴影部分的面积为，解之得，由图易得在点处取得最大值6，在点处取得最小值－4，故的取值范围是.‎ ‎11．【答案】C【解析】由为的中点，所以，且，故，‎ ‎，故，设双曲线的焦距为2c，由可得，故双曲线的离心率为.‎ ‎12．【答案】D【解析】当时，，则，由可得(舍去)或；当时，，当时，，故在(0,1)上单调递减，在上单调递增.当时，则，且，故的图象关于y轴对称.因此，‎ 在同一坐标系中画出函数与曲线的图象如图所示.‎ 由图可知，它们有5个交点.‎ ‎13．【答案】【解析】由条件可知1是方程的实根，故，即，不等式为，解集为，即，所以.‎ ‎14．【答案】【解析】由抛物线的焦点坐标可得，故抛物线方程为，把代入抛物线方程可得或，故弦的中点坐标为.‎ ‎15．【答案】246【解析】由，而，则“由17生成的这种勾股数”为：，由，则“由20生成的这种勾股数”为：，则.‎ ‎16．【答案】【解析】由及正弦定理可得，即，由可得，而是锐角，所以，则，‎ 则，当且仅当时，取得最小值，‎ 故，故，所以，.‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）由条件可得,，‎ ‎.（6分）‎ ‎（2）由（1）可知 ‎,‎ 则.（12分）‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）是正方形，,平面,，‎ 而平面,平面，‎ 又平面,.（6分）‎ ‎（2）设，则，则，‎ ‎，‎ 由可得，故.（12分）‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）①由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3，‎ 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.‎ 所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，‎ 属于二级警戒的有7小时.（3分）‎ ‎②设抽取的这10小时中，属于一级警戒的3小时分别为1,2,3，‎ 属于二级警戒的分别为4,5,6,7,8,9,0.则从中抽取2小时的不同情况有：‎ ‎(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(1,0)，‎ ‎(2,3),(2,4),(3,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,0)，‎ ‎………………………………‎ ‎(8,9),(8,0)，‎ ‎(9,0).‎ 共9+8+7+…+2+1=45种不同情况，其中恰好有1小时属于一级警戒的情况有：‎ ‎7+7+7=21种不同情况，故所求概率为.（8分）‎ ‎（2）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.‎ 故这100小时的平均降雨量为：‎ ‎0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25.（12分）‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为2c，‎ 由的面积为可得,，‎ 则，由点在椭圆上可得，‎ 解之得，故椭圆的方程为.（6分）‎ ‎（2）过原点且斜率不存在的直线显然与圆相切，切点为,‎ 设过原点的直线为，即，‎ 由圆心到直线的距离恰好等于圆的半径可得 ‎，解之得，‎ 由可得，即，‎ ‎,，即点,，‎ ‎.（12分）‎ ‎21．【解析】‎ ‎（1）由可得，由条件可得，即.‎ 则,，‎ 令可得.当时，，当时，.‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 的极大值为，无极小值.（6分）‎ ‎（2）由条件可知对任意的恒成立.‎ 即，即对任意的恒成立.‎ 令，则,‎ 当时，，故,‎ 在上单调递减，故,.‎ ‎①当m=0时，，故在上单调递增；‎ ‎②当时，由可得.‎ 当时，，当时，.‎ 在上单调递增，在上单调递减.（12分）‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1）曲线的极坐标方程可化为，‎ 化为直角坐标系下的普通方程为：，即.‎ 直线的普通方程为：，而点到直线的距离为，‎ 由条件可得，即，结合可得.（5分）‎ ‎（2）显然点在直线上，把代入并整理可得 ‎，设点对应的参数分别为.‎ 则，解之得或.‎ 则，解之得或.‎ 而,实数m的取值范围是.（10分）‎ ‎23．【解析】‎ ‎（1）由条件可知，‎ ‎①当时，，解之得，所以，；‎ ‎②当时，，恒成立，所以，；‎ ‎③当时，，解之得，所以，.‎ 综上可知，实数m的取值范围是．（5分）‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 而，‎ 对任意实数恒成立.（10分）‎