高三数学（文数）总复习练习专题六 三角函数 60页

‎　(2015·福建，6，易)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α 的值等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【答案】　D　∵α为第四象限角且sin α＝－，‎ ‎∴cos α＝.‎ ‎∴tan α＝＝－.‎ ‎1．(2014·课标Ⅰ，2，易)若tan α>0，则(　　)‎ A．sin α>0 B．cos α>0‎ C．sin 2α>0 D．cos 2α>0‎ ‎【答案】　C　∵tan α＝>0，‎ 即sin αcos α>0，‎ ‎∴2sin αcos α＝sin 2α>0，故选C.‎ ‎2．(2012·辽宁，6，易)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则sin 2α＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎【答案】　A　∵sin α－cos α＝，‎ ‎∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，‎ ‎∴2sin α·cos α＝－1，∴sin 2α＝－1.‎ ‎3．(2012·大纲全国，4，易)已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　A　(先根据sin2α＋cos2α＝1，求出cos α，再求sin 2α)由题意可知，cos α＝ －＝－，则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.‎ ‎4．(2011·大纲全国，14，易)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________．‎ ‎【解析】　由α∈及tan α＝2得 sin α＝2cos α<0，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎5．(2014·陕西，13，中)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(1，－cos θ)，若a·b＝0，则 tan θ＝________.‎ ‎【解析】　∵a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(1，－cos θ)且a·b＝0，‎ ‎∴sin 2θ－cos2θ＝0，‎ ‎∴2sin θcos θ＝cos2θ.‎ ‎∵0<θ<，‎ ‎∴cos θ≠0，‎ ‎∴2sin θ＝cos θ，‎ ‎∴tan θ＝.‎ ‎【答案】　 考向1　三角函数的有关概念及应用 ‎1．象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 ‎2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．‎ ‎3．角度与弧度的互化 ‎(1)360°＝2π rad；(2)180°＝π rad；‎ ‎(3)1°＝ rad；(4)1 rad＝°≈57.30°.‎ ‎4．弧长及扇形面积公式 ‎(1)弧长公式：l＝|α|r；‎ ‎(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.‎ 其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．‎ ‎5．任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝.‎ 三角函数 定义 定义域 sin α R cos α R tan α ‎　　6.三角函数在各象限的符号 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎(1)(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎(2)(2012·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________．‎ ‎【解析】　(1)∵角α的终边经过点(－4，3)，即x＝－4，y＝3，∴r＝＝5，∴cos α＝＝－，故选D.‎ ‎(2)如图，由题意知＝OB＝2，∵圆的半径为1，‎ ‎∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－，‎ ‎∴DA＝APcos＝sin 2，‎ DP＝APsin＝－cos 2.‎ ‎∴OC＝2－sin 2，PC＝1－cos 2.‎ ‎∴＝(2－sin 2，1－cos 2)．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)(2－sin 2，1－cos 2)‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是正确理解三角函数的定义；解题(2)的关键是得出小球滑动的距离等于P点移动的弧长．‎ ‎ 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；②纵坐标y；③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．‎ ‎(2011·江西，14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．‎ ‎【解析】　P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝，又sin θ＝－，∴ ‎＝－，解得y＝－8.‎ ‎【答案】　－8‎ 考向2　同角三角函数基本关系式及应用 同角三角函数基本关系式 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：tan α＝.‎ 利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍求值．‎ ‎(1)(2013·大纲全国，2)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)(2013·课标Ⅱ，15)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．‎ ‎【解析】　(1)∵α为第二象限角，∴cos α＝－＝－，故选A.‎ ‎(2)方法一：tan θ＝tan＝＝－，‎ ‎∴sin θ＝－cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得cos2θ＝1，∴cos2θ＝，易知cos θ<0，‎ ‎∴cos θ＝－，sin θ＝，故sin θ＋cos θ＝－.‎ 方法二：∵tan＝＝，‎ ‎∴tan θ＝－.‎ ‎∵θ为第二象限角，‎ ‎∴sin θ＝，cos θ＝－，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)－ ‎【点拨】　解题(1)时易忽视α是第二象限角，而错选D；解题(2)的关键是通过变角求出tan θ.‎ ‎ 同角三角函数基本关系式的应用技巧 ‎(1)弦切互化法：主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦函数；‎ ‎(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；‎ ‎(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ.‎ ‎(1)(2011·福建，9)若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2012·江西，4)若＝，则tan 2α＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎(1)【答案】　D　方法一：∵sin2α＋cos 2α＝，‎ ‎∴cos2α＝.‎ 又∵α∈，‎ ‎∴cos α＝.‎ ‎∴sin α＝＝.‎ ‎∴tan α＝＝.‎ 方法二：∵sin2α＋cos 2α＝，‎ ‎∴cos2α＝.‎ ‎∴cos2α＝＝＝，‎ ‎∴tan2α＝3，‎ 又∵α∈，∴tan α＝.‎ ‎(2)【答案】　B　∵＝＝，‎ ‎∴tan α＝－3，∴tan 2α＝＝，故选B.‎ 考向3　诱导公式及应用 ‎1．诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α ‎(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 ‎2.诱导公式的理解及应用 ‎(1)奇变偶不变中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指的是函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，如sin＝cos θ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限．若把α看作锐角，则270°－α，180°＋α都是第三象限的角．值得注意的是α为任意角．‎ ‎(2)利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：‎ →→‎ → ‎(3)诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为止．‎ 应用诱导公式时不要忽略角的范围和三角函数的符号．‎ ‎(1)(2013·广东，4)已知sin＝，那么cos α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)(2014·江苏，5)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．‎ ‎【解析】　(1)因为sin＝sin ‎＝sin＝cos α＝，故选C.‎ ‎(2)将x＝分别代入两个函数，得sin＝，解得π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，化简得φ＝－＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)．又0≤φ<π，所以φ＝.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎【点拨】　解题(1)的关键是熟记诱导公式；解题(2)的关键是利用诱导公式建立关于φ的方程．‎ ‎ 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 ‎(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．‎ ‎(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．‎ ‎(2014·山东济南质检，13)设f(α)＝，则f ＝________．‎ ‎【解析】　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f ＝ ‎＝＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2015·山东潍坊二模，5)集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)‎ ‎【答案】　C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.‎ ‎2．(2015·云南昆明模拟，4)已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【答案】　D　∵α∈，sin α＝，‎ ‎∴cos α＝－，∴tan α＝－.‎ ‎∴tan 2α＝＝＝－，‎ 故选D.‎ ‎3．(2015·福建福州一模，5)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α ‎＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【答案】　D　因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，即x＜0.又cos α＝x＝.解得x＝－3，所以tan α＝＝－，故选D.‎ ‎4．(2014·广东珠海质检，3)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是(　　)‎ A．2 B．1 C. D．3‎ ‎【答案】　A　设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝ －(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.‎ ‎5．(2015·湖南长沙联考)若sin α＋cos α＝(0＜α＜π)，则tan α＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　C　∵sin α＋cos α＝(0＜α＜π)，‎ ‎∴两边平方得1＋2sin αcos α＝，‎ 得sin αcos α＝－.‎ 又0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，‎ ‎∴(sin α－cos α)2＝1－2sin α cos α＝，‎ ‎∴sin α－cos α＝，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，‎ 故tan α＝－.‎ ‎6．(2015·江西吉安一模，7)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．若点A，B的坐标分别为和，则cos(α＋β)的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．0 D. ‎【答案】　A　由题意知sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，∴cos(α＋β)＝cos α cos β－sin αsin β＝×－×＝－－＝－.‎ ‎7．(2015·河南郑州一模，6)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ等于(　　)‎ A. B. C. D．－ ‎【答案】　B　∵sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.‎ 可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即＝1＋m，‎ ‎∴m＝－.‎ ‎∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0.‎ ‎∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ＝－2m＝1－＋＝，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝＝.‎ 思路点拨：利用根与系数的关系表示出sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sin θ－cos θ的值即可．‎ ‎8．(2015·河北石家庄一模，14)已知α为第二象限角，则cos α·＋sin α ‎＝________.‎ ‎【解析】　原式＝cos α＋sin α· ‎＝cos α＋sin α，因为α是第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，‎ 所以cos α＋sin α ‎＝＋＝－1＋1＝0.‎ ‎【答案】　0‎ ‎9．(2014·湖北黄石质检，14)已知tan α＝2，则的值为________．‎ ‎【解析】　＝＝＝＝－3.‎ ‎【答案】　－3‎ ‎10．(2014·江苏常州一模，16，14分)设函数f(x)＝－x2＋2x＋a(0≤x≤3)的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R.‎ ‎(1)求m，n的值(用a表示)；‎ ‎(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy中的原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点A(m－1，n＋3)，求sin的值．‎ 解：(1)由题意可得f(x)＝－(x－1)2＋1＋a，而0≤x≤3，‎ 所以m＝f(1)＝1＋a，n＝f(3)＝a－3.‎ ‎(2)由题意知，角β终边经过点A(a，a)，‎ 当a>0时，r＝＝a，‎ 则sin β＝＝，cos β＝＝.‎ 所以sin＝sin βcos＋cos β·sin＝.‎ 当a<0时，r＝＝－a，‎ 则sin β＝＝－，‎ cos β＝＝－.‎ 所以sin＝sin βcos＋cos β·sin＝－.‎ 综上所述，sin＝－或.‎ ‎1．(2015·山东，4，易)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】　B　因为y＝sin＝sin，根据平移法则，所以要得到该函数的图象，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位．故选B.‎ ‎2．(2015·陕西，14，易)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．‎ ‎【解析】　y＝3sin＋k，‎ 当sin＝－1时，ymin＝k－3＝2，∴k＝5.‎ ‎∴当sin＝1时，ymax＝k＋3＝8.‎ ‎【答案】　8‎ ‎3．(2015·湖北，18，12分，易)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|＜)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．‎ 解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin ‎＝5sin.‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.‎ 即y＝g(x)的图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.‎ ‎1．(2014·四川，3，易)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 ‎【答案】　A　根据平移法则“左加右减”可知，将函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移1个单位长度，即可得到函数y＝sin(x＋1)的图象．‎ ‎2．(2014·福建，7，易)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)‎ A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D．y＝f(x)的图象关于点对称 ‎【答案】　D　将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)＝sin(x＋)的图象，即f(x)＝cos x．由余弦函数的图象与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图象关于直线x＝‎ kπ(k∈Z)对称，关于点(k∈Z)对称，故选D.‎ ‎3．(2013·课标Ⅰ，9，中)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ ‎【答案】　C　由x∈(－π，0)时，sin x＜0，1－cos x＞0，f(x)＜0排除A；由sin(－π)＝0，sin 0＝0，sin π＝0，1－cos 0＝0，得f(x)的零点为－π，0，π，排除B；由f′(x)＝sin2x－cos2x＋cos x，得 f′(π)＝－2，即f(x)在x＝π处切线的斜率为－2，排除D，∴选C.‎ 方法点拨：函数值的符号、零点、极值点、单调性等是判断函数图象的关键．‎ ‎4．(2013·湖北，6，中)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　由y＝cos x＋sin x，得y＝2sin(x＋，其图象向左平移m(m>0)个单位后关于y轴对称，则x＋＋m＝x＋kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴m的最小值为.‎ ‎5．(2012·浙江，6，中)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)‎ ‎【答案】　A　把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y1＝cos x＋1；向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1；再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)．令 x＝0，得y3＞0.令x＝－1，得y3＝0.观察图象知，A项正确．‎ ‎6．(2013·福建，9，中)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　由f(x)过点P，得sin θ＝.‎ ‎∵－＜θ＜，∴θ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin，‎ 平移后，g(x)＝sin，‎ g(0)＝sin＝，∴－2φ＝2kπ＋或－2φ＝2kπ＋，k∈Z.验证选项知B正确．‎ ‎7．(2011·江苏，9，中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．‎ ‎【解析】　由题可知A＝，＝－＝，∴T＝π.‎ 又＝T，∴ω＝＝2.‎ 根据函数图象的对应关系得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝kπ－π(k∈Z)．‎ 取φ＝，则f(x)＝sin，‎ ‎∴f(0)＝sin ＝.‎ ‎【答案】　 考向1　利用三角函数图象求解析式 ‎1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：‎ x ‎－‎ －‎ －‎ －‎ －‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎　　2.y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义 ‎ y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫作振幅，T＝叫作周期，f＝叫作频率，ωx＋φ叫作相位，φ叫作初相，ω叫作角速度．‎ ‎(1)(2013·四川，5)函数y＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， ‎(2)(2014·重庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f ＝________.‎ ‎【解析】　(1)由T＝＋＝，‎ 得T＝π，∴＝π，即ω＝2.‎ 又图象过点，则2sin＝2，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.‎ ‎∵－<φ<，∴φ＝－.‎ ‎(2)把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，‎ ‎∴f ＝sin＝sin＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2) ‎【点拨】　解题(1)的关键是求φ，把点的坐标代入解析式求出即可，注意φ本身的取值范围；解题(2)的关键在于利用逆向思维，从已知函数y＝sin x的图象进行逆向变换，逐步得到函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象和解析式．如果按照题目中的变换顺序，则很难解答本题．‎ ‎ 已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 ‎(1)求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，已知函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ 在求φ时要注意已知中所给的φ的范围．‎ ‎(2011·辽宁，12)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ) ，y＝f(x)的部分图象如图，则 f ＝(　　)‎ A．2＋ B. C. D．2－ ‎【答案】　B　由图象可知，T＝2＝，‎ ‎∴ω＝2，‎ ‎∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 又|φ|<，∴φ＝.‎ 又f(0)＝1，∴Atan＝1，‎ 得A＝1，∴f(x)＝tan，‎ ‎∴f ＝tan＝tan＝，故选B.‎ 考向2　三角函数的图象变换及其应用 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 A所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移个单位，简称为相位变换．‎ ‎(1)(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎(2)(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　(1)∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos ‎＝cos，‎ ‎(2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，向右平移φ个单位后为 y＝sin ‎＝sin，‎ 其图象关于y轴对称，所以－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－－，k∈Z，k＝－1时，φ取最小正值为.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C ‎【点拨】　解答本题的关键是将原函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再根据图象平移规律求解．‎ ‎ 关于三角函数的图象变换的方法 ‎(1)平移变换 ‎①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．‎ ‎②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．‎ ‎(2)伸缩变换 ‎①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．‎ ‎②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．‎ ‎(1)(2013·课标Ⅱ，16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．‎ ‎(2)(2013·安徽，16，12分)设函数f(x)＝sin x＋sin.‎ ‎①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；‎ ‎②不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到．‎ ‎(1)【解析】　令y＝f(x)＝cos(2x＋φ)，将其向右平移个单位后得 f ＝cos ‎＝cos(2x＋φ－π)‎ ‎＝sin ‎＝sin，‎ 因为与y＝sin的图象重合，所以φ－＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，又－π≤φ<π，所以φ＝.‎ ‎【答案】　 ‎(2)解：①因为f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x ‎＝sin，‎ 所以当x＋＝－＋2kπ，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值－.‎ 此时x的取值集合为 .‎ ‎②先将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sin x的图象；‎ 再将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图象．‎ ‎1．(2015·山东师大附中一模，3)为了得到函数y＝sin(2x＋)的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】　A　y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，故选A.‎ ‎2．(2014·辽宁沈阳一模，10)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f ＝－，则f(0)＝(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. ‎【答案】　C　∵＝－＝，‎ ‎∴T＝，∴ω＝＝3.‎ 又x＝是函数单调增区间中的一个零点，∴3×＋φ＝＋2kπ，‎ 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.‎ ‎∴f(x)＝Acos.‎ 由f ＝－，得A＝，‎ ‎∴f(x)＝cos，‎ ‎∴f(0)＝·cos＝.‎ ‎3．(2015·安徽毫州一模，9)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】　A　由图象知A＝1，＝－＝，所以T＝π.又T＝＝π，所以ω＝2.此时函数为f(x)＝sin(2x＋φ)，f ＝sin(2×＋φ)＝－1，即sin＝－1，‎ 所以sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝.‎ 所以f(x)＝sin.‎ 又g(x)＝sin 2x ‎＝sin ‎＝sin，所以将f(x)＝sin向右平移个单位就能得到函数g(x)＝sin 2x的图象，故选A.‎ ‎4．(2014·广东惠州二模，6)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为(　　)‎ A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin ‎【答案】　D　由图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，∴ω＝2，由sin＝1，‎ ‎|φ|<得＋φ＝⇒φ＝⇒f(x)＝sin，则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为 y＝sin＝sin，故选D.‎ ‎5．(2015·河南洛阳二模，8)已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象(　　)‎ A．与g(x)的图象相同 B．与g(x)的图象关于y轴对称 C．向左平移个单位，得到g(x)的图象 D．向右平移个单位，得到g(x)的图象 ‎【答案】　D　因为g(x)＝cos＝cos(－x)＝sin x，所以f(x)向右平移个单位，可得到g(x)的图象，选D.‎ ‎6．(2015·北京丰台一模，9)函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎【答案】　B　由图象可知＝－＝，所以函数的周期T＝π.‎ 又T＝＝π，所以ω＝2，‎ 所以y＝2sin(2x＋φ)．‎ 又y＝f ＝2sin＝2，所以sin＝1，‎ 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，所以y＝2sin，故选B.‎ ‎7．(2015·湖南衡阳调研，8)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin ‎【答案】　C　设y＝sin(ωt＋φ)，由题意可得，sin φ＝，∴函数的初相是φ＝，排除B，D.‎ 又函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，即T＝＝60，ω<0，所以＝，即ω＝－，故选C.‎ ‎8．(2014·江西宜春三模，8)定义行列式运算＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　由题意可知f(x)＝cos x－sin x＝2cos，将函数f(x)的图象向左平移n(n>0)个单位后得到y＝2cos为偶函数，∴n＋＝kπ，k∈Z，∴n＝kπ－，令k＝1，得n＝，故选C.‎ 思路点拨：先根据题意确定函数f(x)的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质确定n的值．‎ ‎9．(2014·浙江宁波二模，11)已知直线y＝b(b<0)与曲线f(x)＝sin在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b的值是______．‎ ‎【解析】　设三个横坐标依次为x1，x2，x3，‎ 由图象及题意得， 解得x2＝，所以b＝f ＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎10．(2015·福建漳州二模，17，12分)设函数f(x)＝Acos ωx(A＞0，ω＞0)的部分图象如 图所示，其中△PQR为等腰直角三角形，∠PQR＝，PR＝1.求：‎ ‎(1)函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)函数y＝f(x)－在x∈[0，10]时的所有零点之和．‎ 解：(1)由已知PR＝1，‎ ‎∴T＝2＝，∴ω＝π.‎ ‎∵△PQR为等腰直角三角形，‎ ‎∴Q到x轴的距离为，∴A＝.‎ ‎∴f(x)＝cos πx.‎ ‎(2)由f(x)－＝0，得cos πx＝，‎ ‎∴x＝2k＋或x＝2k＋(k∈Z)，‎ ‎∴当x∈[0，10]时的所有零点之和为 S＝＋＋…＋＝50.‎ ‎1．(2015·课标Ⅰ，8，中)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z ‎【答案】　D　由图象可知f(x)＝cos(ωx＋φ)的周期为2，所以＝2，解得ω＝π.由图象可知， φ＝，所以f(x)的一个单调减区间为，所以f(x)的单调递减区间为，选D.‎ ‎2．(2015·浙江，11，易)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．‎ ‎【解析】　f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1‎ ‎＝＋sin 2x＋1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋ ‎＝sin(2x－)＋，‎ ‎∴T＝＝π，f(x)min＝.‎ ‎【答案】　π　 ‎3．(2015·湖南，15，难)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则 ω＝________.‎ ‎【解析】　在坐标系中作出y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象，分别过点M，N作y轴，x轴的平行线交于点P.‎ 在Rt△MNP中，|MN|＝2，‎ ‎|MP|＝|yM－yN|＝2，‎ ‎∴|NP|＝2，‎ 而|NP|＝＝×＝2，∴ω＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．(2015·安徽，16，12分，中)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值 解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知，‎ f(x)＝sin＋1.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 由正弦函数y＝sin x在上的图象知，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.‎ 综上，f(x)在[0，]上的最大值为＋1，最小值为0..‎ ‎5．(2015· 北京，15，13分，中)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－ ‎＝2sin－，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f ＝－.‎ ‎1．(2014·陕西，2，易)函数f(x)＝cos 的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π ‎【答案】　B　T＝＝π，故选B.‎ ‎2．(2011·天津，7，中)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　)‎ A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 ‎【答案】　A　由已知得＝6π，‎ ‎∴ω＝.∵2sin＝2，‎ ‎∴sin＝1.又－π＜φ≤π，‎ ‎∴φ＝.‎ ‎∴f(x)＝2sin，‎ 当2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)，即6kπ－≤x≤6kπ＋(k∈Z)时，f(x)为增函数，令k＝0，得f(x)的增区间为.而[－2π，0]⊆，故选A.‎ ‎3．(2014·课标Ⅰ，7，中)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③‎ ‎【答案】　A　对①，∵y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝＝π，∴y＝cos|2x|的最小正周期为π；‎ 对于②，∵y＝cos x的最小正周期为2π，‎ ‎∴y＝|cos x|的最小正周期为π；‎ 对于③，y＝cos的最小正周期为T＝＝π；‎ 对于④，y＝tan的最小正周期为T＝；‎ 综上，①②③的最小周期为π，故选A.‎ ‎4．(2011·课标全国，11，中)设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)‎ A．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称 B．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称 C．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称 D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称 ‎【答案】　D　f(x)＝sin＋cos ‎＝sin＝cos 2x，‎ 其图象如图，‎ 所以y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称．‎ ‎5．(2014·大纲全国，14，易)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．‎ ‎【解析】　y＝1－2sin2x＋2sin x ‎＝－2＋，‎ ‎∵－1≤sin x≤1，‎ ‎∴当sin x＝时，ymax＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2013·山东，18，12分，中)设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎＝－·－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx ‎＝－sin.‎ ‎∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，‎ 又ω＞0，∴＝4×，∴ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.‎ 当π≤x≤时，≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－1≤f(x)≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ 思路点拨：(1)先将f(x)化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再利用“一个对称中心到最近对称轴的距离为”得到周期为4×＝π，再由T＝，求ω；(2)由x的范围得到ωx＋φ的范围，再结合y＝ sin x的图象，求最大值和最小值．‎ ‎7．(2014·湖北，18，12分，中)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：‎ f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天上午8时的温度；‎ ‎(2)求实验室这一天的最大温差．‎ 解：(1)f(8)＝10－cos－sin ‎＝10－cos－sin ‎＝10－×－＝10.‎ 故实验室上午8时的温度为10℃.‎ ‎(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，‎ ‎－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ 考向1　三角函数的单调性 三角函数的单调性 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在(k∈Z)上递增；‎ 在 (k∈Z)上递减 在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；‎ 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减 在，(k∈Z)上递增 正切函数的图象是由直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如<，但是tan>tan，正切函数不存在减区间．‎ ‎(1)(2012·课标全国，9)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．(0，2)‎ ‎(2)(2014·福建，18，12分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．‎ ‎①求f 的值；‎ ‎②求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【思路导引】　题(1)求出f(x)＝sin的单调减区间，根据是单调区间的子集求解；题(2)中方法一，①把x＝代入函数f(x)中，即可求其函数值；②利用二倍角与辅助角公式化简函数f(x)，再利用三角函数的周期性与单调性，即可得结论．方法二，首先利用三角恒等变换公式化简函数式，然后①将x＝代入求值；②利用三角函数的性质求解．‎ ‎【解析】　(1)由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sin x在上递减，所以 解得≤ω≤，故选A.‎ ‎(2)方法一：①f ＝2cos ‎＝－2cos ＝2.‎ ‎②因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1.‎ ① f ＝sin＋1‎ ‎＝sin＋1＝2.‎ ‎②T＝＝π.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎ 1.三角函数单调区间的求法 ‎(1)用辅助角将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的形式，根据y＝sin x与y＝cos x的单调区间列不等式的方法去解答．列不等式的原则是：‎ ‎①一般当ω为负值时，应用诱导公式化为正值；‎ ‎②把“ωx＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”；‎ ‎③A＞0(A＜0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．‎ ‎(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈‎ eq lc( c)(avs4alco1(－f(π,2)＋kπ，f(π,2)＋kπ))，k∈Z，解出x的取值范围，即为其单调区间．‎ ‎(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．‎ 求解三角函数的单调区间时若x的系数为负，应先化为正，同时要考虑函数自身的定义域．‎ ‎2．利用单调性确定ω的范围的方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．‎ ‎(1)(2014·辽宁，11)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎(2)(2013·安徽，16，12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎①求ω的值；‎ ‎②讨论f(x)在区间上的单调性．‎ ‎(1)【答案】　B　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，得到y＝3sin(2x－)的图象．若函数单调递增，则－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，可知函数在区间上单调递增．‎ ‎(2)解：①f(x)＝4cos ωx·sin ‎＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx ‎＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ ‎＝2sin＋.‎ 因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，‎ 所以有＝π，故ω＝1.‎ ‎②由①知，f(x)＝2sin＋.‎ 若0≤x≤，则≤2x＋≤.‎ 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x＋≤，即≤x≤时，‎ f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ 考向2　三角函数的值域及最值 三角函数的最值情况 三角函数 最大值 最小值 y＝sin x 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1.‎ 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1.‎ y＝cos x 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1.‎ 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1.‎ y＝tan x x∈，k∈Z，无最大值 x∈，k∈Z，无最小值 ‎(1)(2014·课标Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎(2)(2014·北京，16，13分)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．‎ ‎①写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；‎ ‎②求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【思路导引】　题(1)化简三角函数关系式，再根据正弦函数的有界性求最值；题(2)利用正弦型函数的周期公式求出最小正周期，结合图象和解析式确定x0，y0，再由x的范围确定2x＋的范围，最后由正弦函数的图象及性质确定f(x)的取值范围，从而得出最值．‎ ‎【解析】　(1)f(x)＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－sin φcos x＝sin(x－φ)，所以f(x)的最大值为1.‎ ‎(2)①f(x)的最小正周期为π.‎ x0＝，y0＝3.‎ ‎②因为x∈，所以2x＋∈.‎ 于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎ 求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法 ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎(4)形如y＝的问题，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解；‎ ‎(5)其他常用的方法还有基本不等式法和单调性法等．‎ ‎(1)(2013·天津，6)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．0‎ ‎(2)(2013·课标Ⅰ，16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ ‎(1)【答案】　B　∵0≤x≤，‎ ‎∴－≤2x－≤.‎ 由正弦函数y＝sin x图象可知，当2x－＝－时，f(x)取得最小值为sin＝－.故选B.‎ ‎(2)【解析】　由辅助角公式得 f(x)＝sin(x－φ)，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝，‎ ‎∴f(θ)＝，即sin(θ－φ)＝1，‎ 故θ－φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴θ＝＋2kπ＋φ，‎ cos θ＝cos＝－sin φ ‎＝－.‎ ‎【答案】　－ 考向3　三角函数的奇偶性、周期性、对称性 ‎1．正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性、对称性 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称性 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 最小正周期 ‎2π ‎2π π ‎　　‎ ‎2.三角函数的对称轴和对称中心 ‎(1)正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．‎ ‎(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，k∈Z，对称中心为k∈Z；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，k∈Z，对称中心为，k∈Z；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为，k∈Z.‎ ‎(1)(2012·大纲全国，3)若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2012·课标全国，9)已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)(2014·天津，8)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)‎ A. B. C．π D．2π ‎【思路导引】　解题(1)的方法：f(x)＝sin(ωx＋φ)若是偶函数，则三角函数的名称需发生变化，只需令φ＝kπ＋即可；解题(2)的关键是得到x＝和x＝之间的距离是半个周期；解题(3)首先化为正弦型函数，再求出y＝1和y＝0时对应的ωx＋的值，解出ω值，最后求出周期．‎ ‎【解析】　(1)由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝.‎ ‎(2)＝2，得ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，‎ ‎∴f ＝sin＝±1.∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜，∴φ＋＝，∴φ＝.‎ ‎(3)由题意得函数f(x)＝2sin(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3)C ‎ 三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法 ‎(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时，当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时，当x＝0时，f(x)＝0.‎ ‎(2)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再应用公式T＝，T＝，T＝分别求解．‎ ‎(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎(1)(2013·浙江，6)函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　)‎ A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2‎ ‎(2)(2012·福建，8)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ ‎(1)【答案】　A　∵f(x)＝sin xcos x＋cos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期和振幅分别是π，1.故选A.‎ ‎(2)【答案】　C　方法一(图象特征)：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，‎ 故令x－＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，‎ 则x＝－.‎ 方法二(验证法)：x＝时，‎ y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝ －时，y＝sin＝－1，符合题意，C正确；而x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D也不正确．‎ ‎1．(2015·北京东城二模，5)函数y＝sin 2x＋cos2x－的最小正周期等于(　　)‎ A．π B．2π C. D. ‎【答案】　A　y＝sin 2x＋×－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以函数的周期T＝＝＝π，故选A.‎ ‎2．(2014·河南周口调研，5)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为(　　)‎ A．2＋ B．4‎ C．3 D．2－ ‎【答案】　A　因为0≤x≤9，所以－≤－≤，因为当－＝时，‎ 函数y＝2sin取得最大值，即ymax＝2×1＝2，当－＝－时，函数y＝2sin取得最小值，即ymin＝2sin＝－，‎ 因此y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋，选A.‎ ‎3．(2015·安徽淮南二模，6)已知函数f(x)＝2msin x－ncos x，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则＝(　　)‎ A. B. C．－ D. ‎【答案】　C　若x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则x＝是函数f(x)的极值点．f′(x)＝ 2mcos x＋nsin x，故f′＝2mcos ＋nsin ＝m＋n＝0，所以＝－.‎ ‎4．(2015·山东烟台一模，10)定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　根据行列式的定义可知，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 向左平移个单位得到 g(x)＝2sin＝2sin 2x.因为g＝2sin＝2sin π＝0，所以是函数的一个对称中心，故选B.‎ ‎5.(2014·江南十校联考，10)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：‎ ‎①最小正周期为π；‎ ‎②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；‎ ‎③f(0)＝1；‎ ‎④f －＝，所以f 0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)‎ A. B．3 C．6 D．9‎ ‎【答案】　C　将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝cos，所得图象与原图象重合，‎ 所以cos＝cos ωx，则－ω＝2kπ，得ω＝－6k(k∈Z)．又ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.‎ ‎7．(2011·山东，6)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)‎ A．3 B．2 C. D. ‎【答案】　C　方法一：由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝＝，从而ω＝.‎ 方法二：函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在上单调递减，则＝，即ω＝，故选C.‎ ‎8．(2015·福建十校联考，7)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则f(x)的解析式及S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值分别为(　　)‎ A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 015‎ B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 015 C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 016‎ D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 016 ‎【答案】　C　由题意知，A＝＝，b＝＝1.因为函数f(x)的周期是4，所以ω＝.由五点作图法知，×0＋φ＝0，所以φ＝0，故函数的解析式为f(x)＝sin x＋1.‎ 因为f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4，所以S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝504×4＝2 016.‎ ‎9．(2012·上海，18)若Sn＝sin＋sin＋…＋sin(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)‎ A．16 B．72 C．86 D．100‎ ‎【答案】　C　sin的周期为14，在S1，S2，…，S13，S14中，S13＝S14＝0，其余均大于0，由周期性可知，在S1，S2，…，S100中共有14个0，其余都大于0，故正数有100－14＝86(个)．‎ ‎10．(2012·天津，7)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎【答案】　D　将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin[ω]的图象，因为所得图象经过点，则sinπ＝0，所以π＝kπ，即ω＝2k，k∈Z，又ω>0，所以ωmin＝2，故选D.‎ 易错点拨：本题易把f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度写成sin(ωx－而导致求解错误．‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎11．(2014·江苏南京质检，6)已知cos＝，则cos的值为________．‎ ‎【解析】　cos ‎＝cos ‎＝－cos＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎12．(2011·重庆，12)若cos α＝－，且α∈，则tan α＝________．‎ ‎【解析】　∵ α∈，‎ ‎∴sin α＝－ ‎＝－＝－，‎ tan α＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎13．(2014·河北保定一模，13)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(| φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的值为__________．‎ ‎【解析】　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，有－≤x≤－，此时函数单调递增，若是f(x)的一个单调递增区间，‎ 则必有 解得故φ＝.‎ ‎【答案】　 ‎14．(2015·湖北武汉一模，14)把函数y＝sin 2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：‎ ‎①该函数的解析式为y＝2sin；‎ ‎②该函数图象关于点对称；‎ ‎③该函数在上是增函数；‎ ‎④函数y＝f(x)＋a在上的最小值为，则a＝2.‎ 其中，正确判断的序号是________．‎ ‎【解析】　将函数向左平移得到y＝sin 2＝sin，‎ 然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin，即y＝f(x)＝2sin，所以①不正确；y＝‎ f ＝2sin(2×＋＝2sin π＝0，所以函数图象关于点对称，所以②正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为，k∈Z，当k＝0时，增区间为，所以③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以当2x＋＝时，函数值最小为y＝2sin ＋a＝－＋a＝，所以a＝2，所以④正确．所以正确的命题为②④.‎ ‎【答案】　②④‎ 三、解答题(共4小题，共50分)‎ ‎15．(12分)(2012·陕西，16)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α∈，f ＝2，求α的值．‎ 解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，A>0，‎ ‎∴A＋1＝3，即A＝2.‎ ‎∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎∴最小正周期T＝π，∴ω＝2.‎ 故函数f(x)的解析式为 y＝2sin＋1.‎ ‎(2)∵f ＝2sin＋1＝2，‎ 即sin＝，‎ 又∵0<α<，∴－<α－<.‎ ‎∴α－＝，故α＝.‎ ‎16．(12分)(2013·陕西，16)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ 解：f(x)＝a·b＝·(sin x，cos 2x)‎ ‎＝cos xsin x－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝cos sin 2x－sin cos 2x ‎＝sin.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，‎ ‎∴－≤2x－≤.‎ 由正弦函数的性质知，‎ 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1.‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝－.‎ ‎17．(12分)(2012·山东，17)已知向量m＝(sin x，1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．‎ 解：(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x ‎＋cos 2x＝A ‎＝Asin.‎ 因为f(x)的最大值为6，A>0，知A＝6.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝6sin.‎ 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到 y＝6sin ‎＝6sin的图象；‎ 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，‎ 得到y＝6sin的图象．‎ 因此g(x)＝6sin，‎ 又x∈，‎ 所以4x＋∈.‎ 故g(x)在上的值域为[－3，6]．‎ ‎18．(14分)(2013·湖南，16)已知函数f(x)＝cos x·cos.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求使f(x)<成立的x的取值集合．‎ 解：(1)f ＝cos ·cos ‎＝－cos ·cos ‎＝－＝－.‎ ‎(2)f(x)＝cos x·cos ‎＝cos x· ‎＝cos2x＋sin xcos x ‎＝(1＋cos 2x)＋sin 2x ‎＝cos＋.‎ 由f(x)<，‎ 即cos＋<，‎ 得cos<0.‎ 于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z，‎ 解得kπ＋