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  • 2021-06-16 发布

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

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江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年 高一下学期期中考试数学试卷 一、 单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)‎ 1. 的内角的对边分别为,若 ‎ A. B. C. D.‎ 2. 为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,‎ 其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为( )‎ A.900 B.1200 C.1500 D.1800 ‎ 3. 某人在打靶中,连续射击次,至多有一次中靶的对立事件是( )‎ A.至少有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.恰有一次中靶 4. 已知两个变量、之间具有线性相关关系,次试验的观测数据如下:‎ 经计算得回归方程的系数,则( )‎ A. B. C. D.‎ 5. 直线与直线平行,则两直线间的距离为( )‎ A. B.或 C. D.‎ 6. 已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记 录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为,则( ) ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 7. P是直线上的一动点,过点P向圆引切线,则切线长的最小 值为( )‎ A. B. C.2 D.‎ 8. 已知的三个内角的对边分别为,若则的最 小值等于( ) ‎ A. B. C. D.‎ 二、 多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,选错或漏选不得分)‎ 9. 下列说法正确的是( )‎ A.直线必过定点 B.直线在轴上的截距为 C.直线的倾斜角为60°‎ D.过点且垂直于直线的直线方程为 1. 在中,给出下列个命题,其中正确的命题是( )‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )‎ A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是 B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务,则选中一男一女同学的概率为 C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字l,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是 D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是 3. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点的距 离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,,点满足.设点 所构成的曲线为,下列结论正确的是( )‎ A.的方程为 B.在上存在点,使得到点的距离为 ‎ C.在上存在点,使得 D.在上存在点,使得 一、 填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ 4. 某产品分一、二、三级,其中只有一级品是正品.若生产中出现二级品的概率为,出现三级 品的概率为,则出现正品的概率为______.‎ 5. 已知为正实数且,则的最小值为______.‎ 6. 在平面直角坐标系中,已知过点的圆和直线相切,且圆心在直线 上,则圆的标准方程为______.‎ 7. 在平面直角坐标系中,已知点在圆内,动直线过点且交 圆于两点,若的面积的最大值为20,则实数的取值范围是_____.‎ 二、 解答题(本题共6小题,共70分)‎ 8. ‎(本小题满分10分)‎ 已知直线.‎ (1) 求直线关于直线对称的直线的方程;‎ (2) 求直线关于点对称的直线方程.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 在中,角的对边分别为,且.‎ (1) 求的大小;‎ (2) 若,,求的面积.‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ 高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间为:‎ ‎.其中成等差数列且.‎ 物理成绩统计如表.(说明:数学满分150分,物理满分100分)‎ 分组 频数 ‎6‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ (1) 根据频率分布直方图,请估计数学成绩的平均分;‎ (2) 若数学成绩不低于140分的为“优”,物理成绩不低于90分的为“优”,已知本班中至少有一 个“优”的同学总数为6人,从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人,求两人恰好均为物理成绩“优”的概率.‎ 3. ‎(本小题满分12分)‎ (1) 已知,求的最大值及取最大值时的值;‎ (2) 若对一切,均有成立,求实数的取值范围.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,已知直线与圆相切.‎ (1) 直线过点且截圆所得的弦长为,求直线的方程; ‎ (2) 已知直线与圆交于两点,是圆上异于的任意一点,且直线与轴 相交于点,判断点、的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.‎ 2. ‎(本小题满分12分)‎ ‎“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,又称“千禧之轮”,该摩天轮 的半径为6(单位:),游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑,伦敦眼与建筑之间的距离为12(单位:),游客在乘坐舱看建筑的视角为.‎ (1) 当乘坐舱在伦敦眼的最高点时,视角,求建筑的高度;‎ (2) 当游客在乘坐舱看建筑的视角为时,拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效 果最好的照片,求建筑的最低高度.‎ ‎(说明:为了便于计算,数据与实际距离有误差,伦敦眼的实际高度为)‎ 答案 一、 单项选择题 ‎1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C 二、 多项选择题 ‎9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.BD 三、 填空题 ‎13. 0.97 14.9 15. 16. ‎ 四、 解答题(本大题共6题,共70分)‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由解得交点P(2,0).………………………………………1分 在l1上取点M(0,-2),‎ M关于l的对称点设为N(a,b),‎ 则,‎ 解得.………………………………………………………………………………4分 则,‎ 又直线l2过点P(2,0),‎ 所以直线l2的方程为7x-y-14=0.…………………………………………………………5分 ‎(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行,‎ 所以设所求的直线方程为x+2y+m=0.……………………………………………………7分 在l上取点B(0,1),则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上,‎ 所以,所以m=-4,‎ 即所求的直线方程为x+2y-4=0.……………………………………………...………… 10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为,‎ 由正弦定理可得,,‎ 由三角形内角和定理和诱导公式可得,‎ ‎,‎ 代入上式可得,,‎ 所以.………………………………………………………………4分 因为,所以,即.…………………………………5分 由于,所以.……………………………………………………………6分 ‎(2)因为,,所以由余弦定理,‎ 得,‎ 解得或(舍). ……………………………………………….………………10分 所以.……………………….………………… 12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由于,‎ 解得,…………………………..…………………………3分 故数学成绩的平均分 ‎ (分)………………………………………………………………….………………6分 ‎(2)数学成绩为“优”的同学有4人,物理成绩为“优”有5人,‎ 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学,故两科均为“优”的人数为3人.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………...8分 设两科均为“优”的同学为,物理成绩不是“优”的同学为B,‎ 则从4人中随机抽取2人的所有情况有:‎ ‎,‎ 符合题意的情况有:,‎ 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.…………………….……………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为,所以,当且仅当,即 时等号成立.所以当时,取最大值是.…………..……………5分 ‎(2)不等式可等价转化为对恒成立,‎ 即对恒成立,‎ 设,则……………………………………...………7分 ‎,………..…9分 因为,所以,所以 ‎(当且仅当等号成立),所以................................................................... 11分 所以,所以实数的取值范围是.…………………………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切,‎ ‎∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=.………………….……………1分 ‎(1)记圆心到直线l的距离为d,∴d=.……………………………..………2分 当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=2,满足题意;…………………………...……3分 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),即kx﹣y+(1﹣2k)=0.‎ ‎∴,解得k=﹣,此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0.………………5分 综上,直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0;………………………………………………6分 ‎(2)点M、N的纵坐标之积为定值10.…………………………………………………… 7分 设P(x1,y1),‎ ‎∵直线y=3与圆O交于A、B两点,不妨取A(1,3),B(﹣1,3),‎ ‎∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=,y﹣3=.‎ 令x=0,得M(0,),N(0,), ………………………………………9分 则(*).‎ ‎∵点P(x1,y1)在圆C上,∴,即,‎ 代入(*)式,得为定值.………………………………12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当乘坐舱在伦敦眼的最高点时,,此时,即,所以.在等腰三角形中,.…….…1分 由正弦定理得,所以 ‎.‎ 所以建筑的高度为(单位:).……………………………………… 5分 ‎(2)设建筑的高度为(单位:),建立如图所示的直角坐标系,‎ 圆,‎ 由正弦定理可知,所以,即的外接圆的半径为.‎ 由图可知的外接圆的圆心坐标为,……………………………………7分 所以点在圆上,‎ 而点又在圆上,‎ 所以,解得..............................................................................................11分 答:建筑的最低高度为(单位:)时,可以拍摄到效果最好的照片.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………12分

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