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- 2021-06-16 发布
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江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年
高一下学期期中考试数学试卷
一、 单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1. 的内角的对边分别为,若
A. B. C. D.
2. 为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,
其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为( )
A.900 B.1200 C.1500 D.1800
3. 某人在打靶中,连续射击次,至多有一次中靶的对立事件是( )
A.至少有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.恰有一次中靶
4. 已知两个变量、之间具有线性相关关系,次试验的观测数据如下:
经计算得回归方程的系数,则( )
A. B. C. D.
5. 直线与直线平行,则两直线间的距离为( )
A. B.或 C. D.
6. 已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记
录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为,则( )
A. B.
C. D.
7. P是直线上的一动点,过点P向圆引切线,则切线长的最小
值为( )
A. B. C.2 D.
8. 已知的三个内角的对边分别为,若则的最
小值等于( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,选错或漏选不得分)
9. 下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为
C.直线的倾斜角为60°
D.过点且垂直于直线的直线方程为
1. 在中,给出下列个命题,其中正确的命题是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
2. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务,则选中一男一女同学的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字l,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
3. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点的距
离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,,,点满足.设点
所构成的曲线为,下列结论正确的是( )
A.的方程为
B.在上存在点,使得到点的距离为
C.在上存在点,使得
D.在上存在点,使得
一、 填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
4. 某产品分一、二、三级,其中只有一级品是正品.若生产中出现二级品的概率为,出现三级
品的概率为,则出现正品的概率为______.
5. 已知为正实数且,则的最小值为______.
6. 在平面直角坐标系中,已知过点的圆和直线相切,且圆心在直线
上,则圆的标准方程为______.
7. 在平面直角坐标系中,已知点在圆内,动直线过点且交
圆于两点,若的面积的最大值为20,则实数的取值范围是_____.
二、 解答题(本题共6小题,共70分)
8. (本小题满分10分)
已知直线.
(1) 求直线关于直线对称的直线的方程;
(2) 求直线关于点对称的直线方程.
1. (本小题满分12分)
在中,角的对边分别为,且.
(1) 求的大小;
(2) 若,,求的面积.
2. (本小题满分12分)
高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间为:
.其中成等差数列且.
物理成绩统计如表.(说明:数学满分150分,物理满分100分)
分组
频数
6
9
20
10
5
(1) 根据频率分布直方图,请估计数学成绩的平均分;
(2) 若数学成绩不低于140分的为“优”,物理成绩不低于90分的为“优”,已知本班中至少有一
个“优”的同学总数为6人,从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人,求两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
3. (本小题满分12分)
(1) 已知,求的最大值及取最大值时的值;
(2) 若对一切,均有成立,求实数的取值范围.
1. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,已知直线与圆相切.
(1) 直线过点且截圆所得的弦长为,求直线的方程;
(2) 已知直线与圆交于两点,是圆上异于的任意一点,且直线与轴
相交于点,判断点、的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
2. (本小题满分12分)
“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,又称“千禧之轮”,该摩天轮
的半径为6(单位:),游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑,伦敦眼与建筑之间的距离为12(单位:),游客在乘坐舱看建筑的视角为.
(1) 当乘坐舱在伦敦眼的最高点时,视角,求建筑的高度;
(2) 当游客在乘坐舱看建筑的视角为时,拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效
果最好的照片,求建筑的最低高度.
(说明:为了便于计算,数据与实际距离有误差,伦敦眼的实际高度为)
答案
一、 单项选择题
1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C
二、 多项选择题
9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.BD
三、 填空题
13. 0.97 14.9 15. 16.
四、 解答题(本大题共6题,共70分)
17. (本小题满分10分)
【解析】
(1)由解得交点P(2,0).………………………………………1分
在l1上取点M(0,-2),
M关于l的对称点设为N(a,b),
则,
解得.………………………………………………………………………………4分
则,
又直线l2过点P(2,0),
所以直线l2的方程为7x-y-14=0.…………………………………………………………5分
(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行,
所以设所求的直线方程为x+2y+m=0.……………………………………………………7分
在l上取点B(0,1),则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上,
所以,所以m=-4,
即所求的直线方程为x+2y-4=0.……………………………………………...………… 10分
18.(本小题满分12分)
【解析】
(1)因为,
由正弦定理可得,,
由三角形内角和定理和诱导公式可得,
,
代入上式可得,,
所以.………………………………………………………………4分
因为,所以,即.…………………………………5分
由于,所以.……………………………………………………………6分
(2)因为,,所以由余弦定理,
得,
解得或(舍). ……………………………………………….………………10分
所以.……………………….………………… 12分
19.(本小题满分12分)
【解析】
(1)由于,
解得,…………………………..…………………………3分
故数学成绩的平均分
(分)………………………………………………………………….………………6分
(2)数学成绩为“优”的同学有4人,物理成绩为“优”有5人,
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学,故两科均为“优”的人数为3人.
…………………………………………………………………………………………………...8分
设两科均为“优”的同学为,物理成绩不是“优”的同学为B,
则从4人中随机抽取2人的所有情况有:
,
符合题意的情况有:,
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.…………………….……………………12分
20.(本小题满分12分)
【解析】
(1)因为,所以,当且仅当,即
时等号成立.所以当时,取最大值是.…………..……………5分
(2)不等式可等价转化为对恒成立,
即对恒成立,
设,则……………………………………...………7分
,………..…9分
因为,所以,所以
(当且仅当等号成立),所以................................................................... 11分
所以,所以实数的取值范围是.…………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
【解析】
∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切,
∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=.………………….……………1分
(1)记圆心到直线l的距离为d,∴d=.……………………………..………2分
当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=2,满足题意;…………………………...……3分
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),即kx﹣y+(1﹣2k)=0.
∴,解得k=﹣,此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0.………………5分
综上,直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0;………………………………………………6分
(2)点M、N的纵坐标之积为定值10.…………………………………………………… 7分
设P(x1,y1),
∵直线y=3与圆O交于A、B两点,不妨取A(1,3),B(﹣1,3),
∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=,y﹣3=.
令x=0,得M(0,),N(0,), ………………………………………9分
则(*).
∵点P(x1,y1)在圆C上,∴,即,
代入(*)式,得为定值.………………………………12分
22.(本小题满分12分)
【解析】
(1)当乘坐舱在伦敦眼的最高点时,,此时,即,所以.在等腰三角形中,.…….…1分
由正弦定理得,所以
.
所以建筑的高度为(单位:).……………………………………… 5分
(2)设建筑的高度为(单位:),建立如图所示的直角坐标系,
圆,
由正弦定理可知,所以,即的外接圆的半径为.
由图可知的外接圆的圆心坐标为,……………………………………7分
所以点在圆上,
而点又在圆上,
所以,解得..............................................................................................11分
答:建筑的最低高度为(单位:)时,可以拍摄到效果最好的照片.
…………………………………………………………………………………………………12分