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- 2021-06-16 发布
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第二节 抽样方法
[最新考纲] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法.
1.抽样调查
(1)抽样调查
通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行调查或观测,获取数据,并以此对调查对象的某项指标作出推断,这就是抽样调查.
(2)总体和样本
调查对象的全体称为总体,被抽取的一部分称为样本.
(3)抽样调查与普查相比有很多优点,最突出的有两点:
①迅速、及时;
②节约人力、物力和财力.
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样时,要保证每个个体被抽到的概率相同.
(2)通常采用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.
3.分层抽样
(1)定义:将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本.这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
4.系统抽样
系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本,然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样.
1.无论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关. ( )
(2)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体. ( )
(3)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关. ( )
(4)某校即将召开学生代表大会,现从高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽取. ( )
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体
B.个体
C.样本的容量
D.从总体中抽取的一个样本
A [从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间,样本容量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本,每名居民的阅读时间就是一个个体,5 000名居民的阅读时间的全体是总体.]
2.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号,29号,42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是( )
A.10 B.11 C.12 D.16
D [分段间隔为k==13,则还有一个学生的学号为16.]
3.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32
B [分段间隔为k==10,故选B.]
4.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A.33,34,33 B.25,56,19
C.20,40,30 D.30,50,20
B [因为125∶280∶95=25∶56∶19,所以抽取人数分别为25,56,19.]
⊙考点1 简单随机抽样
抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是制签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
1.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )
A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
B [因为A,D中总体的个体数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法;B中总体容量和样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.]
2.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
D [从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01.]
随机数表中每一列数是由每一行的一个数字组成的,而不是4个数字组成的.
⊙考点2 系统抽样
系统抽样中所抽取编号的特点
系统抽样又称等距抽样,所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
(1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )
A.8号学生 B.200号学生
C.616号学生 D.815号学生
(2)采用系统抽样方法从960人中
抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为001,002,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为009,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7 B.9
C.10 D.15
(1)C (2)C [(1)根据题意,系统抽样是等距抽样,
所以抽样间隔为=10.
因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数,结合选项知应为616.
故选C.
(2)从960人中用系统抽样方法抽取32人,则将整体分成32组,每组30人,因为第一组抽到的号码为009,则第二组抽到的号码为039,第n组抽到的号码为an=9+30·(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得≤n≤,所以n=016,017,…,025,共有25-16+1=10(人).]
[母题探究]
若本例(2)中条件变为“若第5组抽到的号码为129”,求第1组抽到的号码.
[解] 设第1组抽到的号码为x,则第5组抽到的号码为x+(5-1)×30,由x+(5-1)×30=129,解得x=9,因此第1组抽到的号码为009.
系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行.
1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…,80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本,如果抽出的产品中有一个产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为( )
A.73 B.78
C.77 D.76
B [分段间隔为k==5,则抽出的产品最小编号为3,从而抽到产品的最大编号为3+15×5=78,故选B.]
2.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按001,002,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为 ( )
A.11 B.12
C.13 D.14
B [由系统抽样定义可知,所分组距为=20,每组抽取一人,因为包含整数个组,所以抽取个体在区间[481,720]的数目为=12,故选B.]
⊙考点3 分层抽样
分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.其中抽样比==.
(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
(1)(2019·洛阳模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
甲 乙
A.100,10 B.100,20
C.200,10 D.200,20
(2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于( )
A.9 B.10
C.12 D.13
(1)D (2)D [(1)由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200,
抽取的高中生人数为2 000×2%=40,则近视人数为40×0.5=20,故选D.
(2)抽样比为=,则n=(120+80+60)=13,故选D.]
分层抽样中每一层的抽样比相同.
[教师备选例题]
某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的一共有20 000人,其中各种态度对应的人数如下表所示:
最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4 800
7 200
6 400
1 600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时,每类人中应抽取的人数分别为( )
A.25,25,25,25 B.48,72,64,16
C.20,40,30,10 D.24,36,32,8
D [法一:因为抽样比为=,所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×=24,7 200×=36,6 400×=32,1 600×=8.
法二:最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600=6∶9∶8∶2,所以每类人中应抽取的人数分别为×100=24,×100=36,×100=32,×100=8.]
1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于( )
A.54 B.90
C.45 D.126
B [依题意得×n=18,解得n=90,即样本容量为90.]
2.(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
18 [∵==,
∴应从丙种型号的产品中抽取×300=18(件).]