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  • 2021-06-16 发布

2021届课标版高考文科数学一轮复习学案:算法初步、统计与统计案例第2节抽样方法

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第二节 抽样方法 ‎[最新考纲] 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法.‎ ‎1.抽样调查 ‎(1)抽样调查 通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行调查或观测,获取数据,并以此对调查对象的某项指标作出推断,这就是抽样调查.‎ ‎(2)总体和样本 调查对象的全体称为总体,被抽取的一部分称为样本.‎ ‎(3)抽样调查与普查相比有很多优点,最突出的有两点:‎ ‎①迅速、及时;‎ ‎②节约人力、物力和财力.‎ ‎2.简单随机抽样 ‎(1)简单随机抽样时,要保证每个个体被抽到的概率相同.‎ ‎(2)通常采用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.‎ ‎3.分层抽样 ‎(1)定义:将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本.这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样.‎ ‎(2)分层抽样的应用范围:‎ 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.‎ ‎4.系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本,然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样.‎ ‎1.无论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.‎ ‎2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.‎ ‎3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关. (  )‎ ‎(2)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体. (  )‎ ‎(3)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关. (  )‎ ‎(4)某校即将召开学生代表大会,现从高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽取. (  )‎ ‎[答案](1)× (2)√ (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是(  )‎ A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 A [从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间,样本容量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本,每名居民的阅读时间就是一个个体,5 000名居民的阅读时间的全体是总体.]‎ ‎2.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号,29号,42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是(  )‎ A.10   B.11   C.12   D.16‎ D [分段间隔为k==13,则还有一个学生的学号为16.]‎ ‎3.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是(  )‎ A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43‎ C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32‎ B [分段间隔为k==10,故选B.]‎ ‎4.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为(  )‎ A.33,34,33 B.25,56,19‎ C.20,40,30 D.30,50,20‎ B [因为125∶280∶95=25∶56∶19,所以抽取人数分别为25,56,19.]‎ ‎⊙考点1 简单随机抽样 ‎ 抽签法与随机数法的适用情况 ‎(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.‎ ‎(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:‎ 一是制签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.‎ ‎ 1.下列抽样试验中,适合用抽签法的是(  )‎ A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 B [因为A,D中总体的个体数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法;B中总体容量和样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.]‎ ‎2.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08   B.07   C.02   D.01‎ D [从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01.]‎ ‎ 随机数表中每一列数是由每一行的一个数字组成的,而不是4个数字组成的.‎ ‎⊙考点2 系统抽样 ‎ 系统抽样中所抽取编号的特点 系统抽样又称等距抽样,所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.‎ ‎ (1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是(  )‎ A.8号学生    B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 ‎(2)采用系统抽样方法从960人中 抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为001,002,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为009,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为(  )‎ A.7 B.9    ‎ C.10     D.15‎ ‎(1)C (2)C [(1)根据题意,系统抽样是等距抽样,‎ 所以抽样间隔为=10.‎ 因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数,结合选项知应为616.‎ 故选C.‎ ‎(2)从960人中用系统抽样方法抽取32人,则将整体分成32组,每组30人,因为第一组抽到的号码为009,则第二组抽到的号码为039,第n组抽到的号码为an=9+30·(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得≤n≤,所以n=016,017,…,025,共有25-16+1=10(人).]‎ ‎[母题探究]‎ 若本例(2)中条件变为“若第5组抽到的号码为129”,求第1组抽到的号码.‎ ‎[解] 设第1组抽到的号码为x,则第5组抽到的号码为x+(5-1)×30,由x+(5-1)×30=129,解得x=9,因此第1组抽到的号码为009.‎ ‎ 系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行.‎ ‎ 1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…,80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本,如果抽出的产品中有一个产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为(  )‎ A.73 B.78 ‎ C.77 D.76‎ B [分段间隔为k==5,则抽出的产品最小编号为3,从而抽到产品的最大编号为3+15×5=78,故选B.]‎ ‎2.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按001,002,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为 (  )‎ A.11 B.12 ‎ C.13 D.14‎ B [由系统抽样定义可知,所分组距为=20,每组抽取一人,因为包含整数个组,所以抽取个体在区间[481,720]的数目为=12,故选B.]‎ ‎⊙考点3 分层抽样 ‎ 分层抽样问题类型及解题思路 ‎(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.‎ ‎(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.其中抽样比==.‎ ‎(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.‎ ‎ (1)(2019·洛阳模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(  )‎ 甲         乙 A.100,10 B.100,20‎ C.200,10 D.200,20‎ ‎(2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于(  )‎ A.9 B.10 ‎ C.12 D.13‎ ‎(1)D (2)D [(1)由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200,‎ 抽取的高中生人数为2 000×2%=40,则近视人数为40×0.5=20,故选D.‎ ‎(2)抽样比为=,则n=(120+80+60)=13,故选D.]‎ ‎ 分层抽样中每一层的抽样比相同.‎ ‎[教师备选例题]‎ 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的一共有20 000人,其中各种态度对应的人数如下表所示:‎ 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 ‎4 800‎ ‎7 200‎ ‎6 400‎ ‎1 600‎ 电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时,每类人中应抽取的人数分别为(  )‎ A.25,25,25,25  B.48,72,64,16‎ C.20,40,30,10 D.24,36,32,8‎ D [法一:因为抽样比为=,所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×=24,7 200×=36,6 400×=32,1 600×=8.‎ 法二:最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600=6∶9∶8∶2,所以每类人中应抽取的人数分别为×100=24,×100=36,×100=32,×100=8.]‎ ‎ 1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于(  )‎ A.54     B.90‎ C.45 D.126‎ B [依题意得×n=18,解得n=90,即样本容量为90.]‎ ‎2.(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.‎ ‎18 [∵==,‎ ‎∴应从丙种型号的产品中抽取×300=18(件).]‎

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