【数学】2018届一轮复习人教A版正弦定理和余弦定理的应用学案 29页

专题23正弦定理、余弦定理的应用 ‎1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ ‎ ‎ ‎1．实际问题中的常用角 ‎(1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．‎ ‎(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．‎ ‎(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．‎ 高频考点一 考查测量距离 例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算 A、C之间距离的步骤和结果．‎ ‎ ‎ ‎【方法技巧】求距离问题时要注意 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ ‎【变式探究】‎ 隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．‎ ‎【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，‎ ‎∠CAD＝∠ADC＝30°.所以AC＝CD＝.‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝‎ .‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ km，‎ 所以A，B两目标之间的距离为 km.‎ 高频考点二 考查高度问题 例2、如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(　　)‎ A．2.7 m　　　　　　B．17.3 m C．37.3 m D．373 m ‎ 【解析】在△ACE中，‎ tan 30°＝＝.‎ ‎∴AE＝.‎ 在△AED中，tan 45°＝＝，‎ ‎∴AE＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．‎ ‎【答案】C ‎【方法技巧】求解高度问题首先应分清 ‎(1)‎ 在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； ‎ ‎(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；‎ ‎(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．‎ ‎【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．‎ ‎【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10.‎ ‎【答案】10 高频考点三 考查角度问题 ‎ 例3、某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.‎ 解　如图所示，设所需时间为t小时，‎ 则AB＝10t，CB＝10t，‎ 在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，‎ 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°.‎ 整理得2t2－t－1＝0，‎ 解得t＝1或t＝－(舍去)，‎ 所以舰艇需1小时靠近渔船，‎ 此时AB＝10，BC＝10.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin∠CAB＝＝＝.‎ ‎∴∠CAB＝30°.‎ 所以舰艇航向为北偏东75°.‎ ‎【方法技巧】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用．‎ ‎【变式探究】如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．‎ 高频考点四 考查函数思想在解三角形中的应用 ‎ 例4、如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5‎ 公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？‎ ‎ 【解析】作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，‎ ‎∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.‎ 设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，‎ 由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，‎ 即v2＝－＋2 500＝＝252＋900≥900，‎ ‎∴当t＝时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝＝公里．‎ 故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．‎ ‎【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力．‎ 解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以为整体构造二次函数，求最值．‎ ‎【变式探究】如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．‎ ‎【解析】过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝－＝5(‎ 米)，BF＝－＝4(米)，AF＝－＝9(米)．则tan(α＋β)＝＝，tan β＝＝，∴tan α＝[(α＋β)－β]＝＝＝≤＝.当且仅当FC＝，即FC＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．‎ ‎【答案】6 ‎ ‎1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．‎ 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．‎ 代入+=中，有 ‎+=，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．‎ 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，‎ 所以sin Asin B=sin C．‎ ‎2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）或．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．‎ 又，，故，所以或，‎ 因此（舍去）或，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）由得，故有，‎ 因为，所以．‎ 又，，所以．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上，或．‎ ‎3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，‎ 化简得，‎ 即.‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 的最小值为.‎ ‎【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ 【答案】．‎ ‎【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入．‎ ‎【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，‎ 函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，‎ 所以函数有2个零点.‎ ‎【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，，，在中，由，‎ 所以，因为，由正弦定理可得，即m，‎ 在中，因为，，所以，所以m．‎ ‎【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.‎ ‎【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．‎ ‎【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长． ‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．‎ ‎(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ‎，．‎ ‎．由(Ⅰ)知，所以．‎ ‎【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为7，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎ 设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得 ‎ ，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又由正弦定理得.‎ ‎ 由题设知，所以.‎ ‎ 在中，由正弦定理得.‎ ‎【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎（I）因为，所以，‎ 由正弦定理，得 又，从而，‎ 由于，所以 ‎（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得 而 得，即 因为，所以．‎ 故的面积为．‎ 解法二：由正弦定理，得，‎ 从而，‎ 又由，知，所以.‎ 故 所以的面积为.‎ ‎（2014·天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________． ‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝‎3c.‎ 又∵b－c＝，∴a＝‎2c，b＝c，‎ ‎∴cos A＝＝＝－.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ ‎【答案】[－1，1]‎ ‎【解析】在△OMN中，OM＝≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得＝，所以＝sin α∈[1，]，所以0≤x≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．‎ ‎（2014·广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将bcos C＋ccos B＝2b化简得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，即sin(B＋C)＝2sin B．∵sin(B＋C)＝sin A，∴sin A＝2sin B，利用正弦定理化简得a＝2b，故＝2.‎ ‎（2014·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ ‎（2014·北京卷）如图12，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ 图12‎ ‎【解析】(1) 在△ADC中，因为cos ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝.‎ 所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B＝×－×＝ ‎.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3.‎ 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ‎＝82＋52－2×8×5×＝49，‎ 所以AC＝7.‎ ‎（2014·福建卷）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　，则△ABC的面积等于________．‎ ‎【答案】2　　‎ ‎【解析】由＝，得sin B＝＝1，‎ ‎∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，‎ 则S△ABC＝·AC·BCsin C＝×4×2sin 30°＝2，即△ABC的面积等于2.‎ ‎（2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.‎ 图15‎ ‎(1)求cos∠CAD的值；‎ ‎(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．‎ ‎【解析】(1)在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝，‎ 故由题设知，cos∠CAD＝＝.‎ ‎(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.‎ 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，‎ 所以sin∠CAD＝＝‎ ＝，‎ sin∠BAD＝＝＝.‎ 于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)‎ ‎　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ‎　　 ＝×－× ‎　　 ＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝.‎ 故BC＝＝＝3.‎ ‎（2014·江西卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由余弦定理得，cos C＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absin C＝.‎ ‎（2014·辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值；‎ ‎(2)cos(B－C)的值．‎ ‎【解析】(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，‎ 又cos B＝，所以ac＝6.‎ 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，‎ 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.‎ 解得或 因为a＞c，所以a＝3，c＝2.‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.‎ 由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.‎ 因为a＝b＞c，所以C为锐角，‎ 因此cos C＝＝＝.‎ 所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎（2014·全国卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ ‎【解析】由题设和正弦定理得 ‎3sin Acos C＝2sin Ccos A，‎ 故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，‎ 所以tan C＝.‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)‎ ‎＝ ‎＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc ‎，根据余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.‎ ‎（2014·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)‎ A．5 B. C．2 D．1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C8 B．ab(a＋b)>16 ‎ C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin ‎2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin ‎2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，‎ 所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋， ‎ 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.‎ 由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2　，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.‎ ‎1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)‎ A. km B. km C. km D.2 km 解析　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km).‎ 答案　A ‎2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析　如图所示，易知，‎ 在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里).‎ 答案　A ‎3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A 在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)‎ A.a km B. a km C.a km D.2a km 解析　由题图可知，∠ACB＝120°，‎ 由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB ‎＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km).‎ 答案　B ‎4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A.8 km/h B.6 km/h C.2 km/h D.10 km/h 解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.‎ 答案　B ‎5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高 AB等于(　　)‎ A.5 B.15 C.5 D.15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.‎ 答案　D ‎6.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.‎ ‎7.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ 解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m).‎ 答案　10 ‎8.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.‎ 解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝(m).‎ 在△ACD中，由余弦定理得，‎ AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，‎ ‎∴CD＝AC＝(m).‎ 答案　 ‎9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.‎ ‎ (1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值.‎ 解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.‎ 解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/时.‎ ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ ‎10.在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.‎ 解　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，‎ 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，‎ 所以a＝3.‎ 又由正弦定理，得sin B＝＝＝，‎ 由题设知0