2018届二轮复习命题及其关系、充要条件课件（全国通用） 17页

第 二 节　 命题及其关系、充要条件 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 四种命题及其关系 . 2. 充分条件与必要条件 . 1. 理解命题的概念 . 2. 了解 “ 若 p ，则 q ” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 . 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 . 1. 考查四种命题逆否关系的判断 . 2. 考查四种命题真假的判断 . 3. 考查充分必要条件的判定及根据充要条件求解字母参数的范围 . 4. 命题以客观题的形式出现 . 　　四种命题间的逆否关系、四种命题的真假判断及充要条件的判定等是高考的热点 . 同时兼顾对命题真假性的考查，尤其要注意以其它数学知识为载体来考查充分条件、必要条件 . 知识点一 四种命题及其关系 1. 命题 (1) 命题：把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题 . (2) 真命题与假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题 . (3) 命题的形式：若 p ，则 q . 也可写成 “ 如果 p ，那么 q ” 的形式或 “ 只要 p ，就有 q ” 的形式 . 2. 四种命题及其关系 (1) 四种命题的关系 若 q 则 p 若 q 则 p 若 綈 q 则 綈 p (2) 四种命题的真假关系 ① 两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； ② 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有 关系 . 知识点二 充分条件和必要条件 p ⇒ q p ⇐ q p 是 q 的 条件 p 是 q 的 条件 q 是 p 的 条件 q 是 p 的 条件 q 的充分条件是 p q 的必要条件是 p p 的必要条件是 q p 的充分条件是 q 若 “ p ⇒ q 且 p ⇐ q ” ，则 p 是 q 的 条件 充分 必要 充分 必要 充要 【 名师助学 】 1. 本部分知识可以归纳为： (1) 三种关系：互逆、互否、互为逆否关系； (2) 两个等价：等价命题和等价转化： ① 逆命题与否命题互为逆否命题 ， 互为逆否命题的两个命题同真假； ② 当判断原命题的真假比较困难时 ， 可以转化为判断它的逆否命题的真假 . (3) 三种判断充要条件的方法：定义法 ( 用 “ ⇒ ”符号 ) ， 集合法 ( 用 “ ⊆ ”符号 ) ， 转换法 ( 用逆否命题 ). 2. 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向 ， 正确理解 “ p 的一个充分而不必要条件是 q ” 等语言 . 方法 1 四种命题及其真假的判断 (1) 直接法：利用相关知识直接判断命题的真假 . (2) 间接法： ① 不正确的命题可通过举反例加以说明； ② 利用原命题与其逆否命题的真假一致性间接判断原命题的真假； ③ 利用充要条件与集合关系判断命题的真假 . 【 例 1】 (2014· 浙江金华模拟 ) 已知函数 f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是增函数， a ， b ∈ R ，对命题： “ 若 a ＋ b ≥ 0 ，则 f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － a ) ＋ f ( － b )”. 写出其逆命题和逆否命题， 判断真假，并证明你的结论 . 解　 逆命题：若 f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － a ) ＋ f ( － b ) ， 则 a ＋ b ≥ 0 真； 逆否命题：若 f ( a ) ＋ f ( b )< f ( － a ) ＋ f ( － b ) ， 则 a ＋ b <0 真 . 先证原命题： “ 若 a ＋ b ≥ 0 ，则 f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － a ) ＋ f ( － b ) ”为真 . a ＋ b ≥ 0 ⇒ a ≥ － b ， b ≥ － a ⇒ f ( a ) ≥ f ( － b ) ， f ( b ) ≥ f ( － a ) ⇒ f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － b ) ＋ f ( － a ). 故其逆否命题也为真 . 再证否命题 “ 若 a ＋ b <0 ，则 f ( a ) ＋ f ( b )< f ( － a ) ＋ f ( － b ) ”为真 . a ＋ b <0 ⇒ a < － b ， b < － a ⇒ f ( a )< f ( － b ) ， f ( b )< f ( － a ) ⇒ f ( a ) ＋ f ( b )< f ( － b ) ＋ f ( － a ). 又两个命题互为逆否命题，其真假性相同，故其逆命题也为真 . [ 点评 ] 　 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时 ， 必须保留大前提 ， 也就是大前提不动 . 方法 2 充分条件与必要条件的判定 (1) 定义法：若 p ⇔ q ，则 p 是 q 的充要条件 . (2) 逆否法：若证 綈 p 是 綈 q 的充要条件，只需证明 q 是 p 的充要条件 . (3) 集合法：从集合的观点出发，建立与命题 p 、 q 相应的集合： A ＝ { x | p ( x )} ， B ＝ { x | q ( x )}. ① 若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件； ② 若 B ⊆ A ，则 p 是 q 的必要条件； ③ 若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件 . 【 例 2】 (2014· 潍坊模拟 ) a ， b 为非零向量， “ a ⊥ b ” 是 “ 函数 f ( x ) ＝ ( xa ＋ b )·( xb － a ) 为一次函数 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 函数 f ( x ) ＝ x 2 a · b ＋ ( b 2 － a 2 ) x － a · b 为一次函数 ， 则 即 a ⊥ b 且 | a | ≠ | b |. 因此 “ a ⊥ b ” 是 “ 函数 f ( x ) 为一次函数 ” 的必要不充分条件 . 答案　 B [ 点评 ] 　 判断 p 是 q 的什么条件 ， 需要从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q ；二是由条件 q 能否推得条件 p . 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题 ， 除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外 ， 还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性 ， 转化为判断它的等价命题 . 方法 3 利用充要条件求参数 对于条件或结论中含有参数的命题，可先将其转化为最简形式，利用充分条件、必要条件或充要条件揭示命题和结论之间的从属关系，借助于 Venn 图或数轴的直观性列方程或不等式，即可求出参数的值或取值范围 . 【 例 3】 已知集合 M ＝ { x | x < － 3 ，或 x >5} ， P ＝ { x |( x － a )·( x － 8) ≤ 0}. (1) 求实数 a 的取值范围，使它成为 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} 的充要条件； (2) 求实数 a 的一个值，使它成为 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} 的一个充分但不必要条件 . [ 解题指导 ](1) 从考点上： 本题考查充要条件的应用问题； (2) 从思路上： 先化简两个集合，再利用充要条件的定义，结合数轴寻找 a 的范围 . 解　 (1) 由 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} ，得－ 3 ≤ a ≤ 5 ， 因此 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} 的充要条件是 { a | － 3 ≤ a ≤ 5} ； (2) 求实数 a 的一个值， 使它成为 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} 的一个充分但不必要条件， 就是在集合 { a | － 3 ≤ a ≤ 5} 中取一个值， 如取 a ＝ 0 ，此时必有 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} ； 反之， M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} 未必有 a ＝ 0 ， 故 a ＝ 0 是 M ∩ P ＝ { x |5< x ≤ 8} 的一个充分不必要条件 . [ 点评 ] 　 本例涉及参数问题 ， 直接解决较为困难 ， 先用等价转化思想 ， 将复杂、 生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决 . 一般地 ， 在涉及字母参数的取值范 围的充要关系问题中 ， 常常要利用集合的包含、相等关系来考虑 ， 这是破解此类问题的关键 .