高中数学选修2-2教学课件第一章 1_2 27页

§1 　归纳与 类比 1.2 　类比推理 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 通过具体实例理解类比推理的意义 . 2. 会用类比推理对具体问题作出判断 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类 对象 ， 我们把这种推理过程称为类比推理 . 类比推理 是 之间 的推理 . 也具有类似 的 其他特征 两类事物特征 某些结果 2. 合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论 ( 定义、公理、定理等 ) ，推测出 的推理方式 . 合情推理的结果 正确 . 不一定 探要点 · 究 所然 探究点一　平面图形与立体图形间的类比 阅读下面的推理，回答后面提出的问题： 1. 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： (1) 火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； (2) 有大气层，在一年中也有季节变更； (3) 火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等 . 科学家猜想：火星上也可能有生命存在 . 2. 根据等式的性质猜想不等式的性质 . 等式的性质：　　　　　 猜想 不等式的性质： (1) a ＝ b ⇒ a ＋ c ＝ b ＋ c; (1) a > b ⇒ a ＋ c > b ＋ c ； (2) a ＝ b ⇒ ac ＝ bc; ( 2) a > b ⇒ ac > bc ； (3) a ＝ b ⇒ a 2 ＝ b 2 等等 . (3) a > b ⇒ a 2 > b 2 等等 . 思考 1 　这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？ 答　 类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 ( 简称类比 ). 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理 . 思考 2 　 猜想正确吗？ 答　 不一定正确 . 思考 3 　类比圆的特征，填写下表中球的有关特征 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的表面积 球的体积 圆心与弦 ( 非直径 ) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 球心与截面圆 ( 不经过球心的截面圆 ) 圆心的连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大 以点 P ( x 0 ， y 0 ) 为圆心， r 为半径的圆的方程为 ( x － x 0 ) 2 ＋ ( y － y 0 ) 2 ＝ r 2 以点 P ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 为球心， r 为半径的球的方程为 ( x － x 0 ) 2 ＋ ( y － y 0 ) 2 ＋ ( z － z 0 ) 2 ＝ r 2 解　 对平面凸四边形： 类比在三棱锥 中， 反思与感悟　 解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离，平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果 . 跟踪训练 1 　 在平面几何里，有勾股定理 ： “ 设 △ ABC 的两边 AB 、 AC 互相垂直，则 AB 2 ＋ AC 2 ＝ BC 2 ”. 拓展到空间 ( 如图 ) ，类比 平 面几何 的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是 _____________________________. 解析　 类比条件： 两边 AB 、 AC 互相 垂直 侧面 ABC 、 ACD 、 ADB 互相垂直 . 探究点二　定义、定理或性质中的类比 例 2 　 在等差数列 { a n } 中，若 a 10 ＝ 0 ，证明：等式 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 19 － n ( n <19 ， n ∈ N ＋ ) 成立，并类比上述性质相应的在等比数列 { b n } 中，若 b 9 ＝ 1 ，则有等式 _______ ___________________________________ 成立 . 解析　 在等差数列 { a n } 中，由 a 10 ＝ 0 ， 得 a 1 ＋ a 19 ＝ a 2 ＋ a 18 ＝ … ＝ a n ＋ a 20 － n ＝ a n ＋ 1 ＋ a 19 － n ＝ 2 a 10 ＝ 0 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＋ … ＋ a 19 ＝ 0 ， 即 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝－ a 19 － a 18 － … － a n ＋ 1 ， 又 ∵ a 1 ＝－ a 19 ， a 2 ＝－ a 18 ， … ， a 19 － n ＝－ a n ＋ 1 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝－ a 19 － a 18 － … － a n ＋ 1 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 19 － n . 相应地，类比此性质在等比数列 { b n } 中， 可得 b 1 b 2 … b n ＝ b 1 b 2 … b 17 － n ， ( n <17 ， n ∈ N ＋ ). 答案　 b 1 b 2 … b n ＝ b 1 b 2 … b 17 － n ( n <17 ， n ∈ N ＋ ) 反思与感悟　 (1) 运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键 . (2) 等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和 ( 或差 ) 对应着等比数列中的积 ( 或商 ). 跟踪训练 2 　 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 4 ， S 8 － S 4 ， S 12 － S 8 ， S 16 － S 12 成等差数列 . 类比以上结论有：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4 ， ______ ， ________ ， 成 等比数列 . 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 由合情推理得出的结论一定是正确的 B. 合情推理必须有前提有结论 C. 合情推理不能猜想 D. 合情推理得出的结论不能判断 正误 解析　 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论 . B 2. 在平面上，若两个正三角形的边长比为 1 ∶ 2 ，则它们的面积比为 1 ∶ 4. 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1 ∶ 2 ，则它们的体积比为 ________. 解析　 ∵ 两个正三角形是相似的三角形 ， ∴ 它们的面积之比是相似比的平方 . 1 2 3 同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方， ∴ 它们的体积比为 1 ∶ 8 . 答案　 1 ∶ 8 1 2 3 1 2 3 3. 若数列 { c n } 是等差数列，则当 d n ＝ 时 ，数列 { d n } 也是等差数列，类比上述性质，若数列 { a n } 是各项均为正数的等比数列，则当 b n ＝ _______ _ __ 时，数列 { b n } 也是等比数列 . 呈 重点、现 规律 1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理 . 数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向 . 2. 合情推理的过程概括为 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看