2014届高考数学一轮必备考情分析学案：14_2《圆周角定理与圆的切线》 5页

‎14.2圆周角定理与圆的切线 考情分析 考查圆的切线定理和性质定理的应用．‎ 基础知识 ‎1．圆周角定理 ‎(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．‎ ‎(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．‎ ‎(3)圆周角定理的推论 ‎①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．‎ ‎②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎2．圆的切线 ‎(1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系 相交 两个 d＜r 相切 一个 d＝r 相离 无 d＞r ‎(2)切线的性质及判定 ‎①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．‎ ‎(3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等．‎ ‎3．弦切角 ‎(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．‎ ‎(2)弦切角定理及推论 ‎①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．‎ ‎②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角 相等．‎ 题型一　圆周角的计算与证明 ‎【例1】如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.‎ 解析　连接AD，BC.因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.‎ 又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝，所以cos∠DAP＝.‎ 又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝.‎ 答案　 ‎【变式1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．‎ 解析　连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.‎ 答案　16π 题型二　弦切角定理及推论的应用 ‎【例2】如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．‎ ‎ ‎ 解析　∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.‎ 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，‎ ‎∴△EAB∽△ABC，∴＝.‎ 又AE∥BC，∴＝，∴＝.‎ 又AD∥BC，∴＝，‎ ‎∴AB＝CD，∴＝，∴＝，‎ ‎∴EF＝＝.‎ 答案　 ‎【变式2】如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：‎ ‎ ‎ ‎(1)∠ACE＝∠BCD；‎ ‎(2)BC2＝BE×CD.‎ 证明　(1)因为＝，‎ 所以∠BCD＝∠ABC.‎ 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，‎ 所以∠ACE＝∠BCD.‎ ‎(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，‎ 所以△BDC∽△ECB，故＝，‎ 即BC2＝BE×CD.‎ 巩固提高 ‎1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．‎ 解析　连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝‎ AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.‎ 答案　6.4‎ ‎2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________.‎ 解析　连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，‎ ‎∴∠BDC＝∠BOC＝50°.‎ 答案　50°‎ ‎3．如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．‎ ‎ ‎ 解析　连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，‎ 因此△BOC是等边三角形，‎ OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，‎ 所以圆O的面积为π×12＝π.‎ 答案　π 4． 如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．‎ ‎ ‎ 解析　连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.‎ 答案　30°‎ ‎5．如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝2，则圆 O的直径为________．‎ ‎ ‎ 解析　连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝＝2，故圆O的直径为4.‎ 答案　4‎ ‎ ‎ 高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801‎