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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习全国经典版(理)数学归纳法学案

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第5讲 数学归纳法 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 数学归纳法 ‎ 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:‎ ‎1.证明当n取第一个值n0时命题成立,这一步是归纳奠基.‎ ‎2.假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,这一步是归纳递推.‎ 完成这两个步骤,就可以断定命题对一切n∈N*,n≥n0,命题成立.‎ 考点2 数学归纳法的框图表示 ‎[必会结论]‎ 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.‎ ‎(1)验证是基础:第一个步骤是要找一个数n0,这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”.‎ ‎(2)递推是关键:从“k”到“k+1”的过程中,必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题成立,在推导过程中,归纳假设要用一次或几次.‎ ‎[考点自测]‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(  )‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(  )‎ ‎(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(  )‎ ‎(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(  )‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.[2018·泰安模拟]用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+2=2n+3-1,在验证n=1时,左边的式子为(  )‎ A.1 B.1+2‎ C.1+2+22 D.1+2+22+23‎ 答案 D 解析 当n=1时,左边=1+2+22+23.故选D.‎ ‎3.[课本改编]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.0‎ 答案 C 解析 凸n边形的边最少有三条,故第一个值n0取3.‎ ‎4.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(  )‎ A.3n-2 B.n2 C.3n-1 D.4n-3‎ 答案 B 解析 计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an=n2.‎ ‎5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=‎ ‎________时,命题亦真.‎ 答案 2k+1‎ 解析 n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.‎ 板块二 典例探究·考向突破 考向 数学归纳法证明恒等式 例 1 用数学归纳法证明:+++…+=(n∈N*).‎ 证明 ①当n=1时,‎ 左边==.‎ 右边==.‎ 左边=右边,所以等式成立.‎ ‎②假设n=k(k∈N*)时等式成立,即有 +++…+=,‎ 则当n=k+1时,+++…++ ‎=+= ‎===.‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 由①②可知对于一切n∈N*等式都成立.‎ 触类旁通 利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 ‎(1)在证明过程中突出两个“凑”字,即一“凑”假设,二“凑”结论,关键是在证明n=k+1时要用上n=k时的假设,其次要明确n=k+1时证明的目标,充分考虑由n=k到n=k+1时,命题形式之间的区别和联系,化异为同.中间的计算过程千万不能省略.‎ ‎ (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少,切勿忘记归纳结论.‎ ‎【变式训练1】 求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).‎ 证明 ①当n=1时,左边=1-=,右边==.左边=右边.‎ ‎②假设n=k时等式成立,即1-+-+…+-=++…+,‎ 则当n=k+1时,‎ ‎1-+-+…+-+ ‎=++…++ ‎=++…++.‎ 即当n=k+1时,等式也成立.‎ 综合①②可知对一切n∈N*,等式成立.‎ 考向 数学归纳法证明不等式 例2 求证:++…+>(n≥2,n∈N*).‎ 证明 ①当n=2时,左边=+++>,不等式成立.‎ ‎②假设n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即 ++…+>.‎ 当n=k+1时,‎ ++…++++ ‎=++…++ ‎>+ ‎>+=.‎ ‎∴当n=k+1时不等式亦成立.‎ ‎∴原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.‎ 触类旁通 用数学归纳法证明不等式的方法 ‎(1)用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式;二是给出两个式子.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明,即先猜后证.‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等,有时还要考虑与原不等式等价的命题,运用放缩法时,要注意放缩的“度”.‎ ‎【变式训练2】 数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式·…·>均成立.‎ 证明 ①当n=2时,左边=1+=,‎ 右边=.∵左边>右边,∴不等式成立.‎ ‎②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,‎ 即·…·>.‎ 则当n=k+1时,‎ ·…· ‎>·== ‎>==.‎ ‎∴当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由①②知对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.‎ 考向 数学归纳法证明整除问题 例3 用数学归纳法证明:42n+1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.‎ 证明 ①当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.‎ ‎②假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,‎ 则当n=k+1时,‎ ‎42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)‎ ‎∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,‎ ‎∴当n=k+1时命题也成立.‎ 由①②,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.‎ 触类旁通 证明整除问题的关键——“凑项”‎ 证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.‎ ‎【变式训练3】 用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.‎ 证明 ①当n=1时,(3×1+1)×7-1=27能被9整除,命题成立;‎ ‎②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立,‎ 即(3k+1)·7k-1能被9整除,则当n=k+1时,‎ ‎[3(k+1)+1]·7k+1-1‎ ‎=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1‎ ‎=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1‎ ‎=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.‎ 由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立.由①②,得(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.‎ 考向 数学归纳法与开放性问题 例 4 [2018·马鞍山模拟]是否存在a,b,c使等式2+2+2+…+2=对一切n∈N*都成立,若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.‎ 解 取n=1,2,3可得解得a=,b=,c=.‎ 下面用数学归纳法证明2+2+2+…+2==.‎ 即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),‎ ‎①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;‎ ‎②假设n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)·(2k+1)成立,‎ 则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+‎ ‎1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)·(2k+3),‎ ‎∴当n=k+1时等式成立;‎ 由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,‎ 故存在a=,b=,c=使已知等式成立.‎ 触类旁通 可假设存在常数a,b,c,使等式对于任意n∈N*总成立,令n=1,2,3,列方程解得a,b,c,再用数学归纳法证明.‎ ‎【变式训练4】 [2018·宁波期末]已知对任意的n∈N*,存在a,b∈R,使得1×(n2-12)+2×(n2-22)+3×(n2-32)+…+n(n2-n2)=(an2+b).‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)用数学归纳法证明上述恒等式.‎ 解 (1)由题意1×(n2-12)+2×(n2-22)+3×(n2-32)+…+n(n2-n2)=(an2+b),‎ 上述等式分别取n=1,2得 解得 ‎(2)由(1)得1×(n2-12)+2×(n2-22)+3×(n2-32)+…+n(n2-n2)=(n2-1),‎ 证明:①当n=1时,左边=1×(12-12)=0,右边=×12×(12-1)=0,等式成立.‎ ‎②假设当n=k时,等式成立,即1×(k2-12)+2×(k2-22)+3×(k2-32)+…+k(k2-k2)=k2(k2-1),‎ 则当n=k+1时,左边=1×[(k2-12)+(2k+1)]+2×[(k2-22)+(2k+1)]+…+k[(k2-k2)+(2k+1)]‎ ‎=1×(k2-12)+2×(k2-22)+3×(k2-32)+…+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+3+…+k)‎ ‎=k2(k2-1)+(2k+1)·k(k+1)‎ ‎=k(k+1)(k2+3k+2)‎ ‎=(k+1)2k(k+2)‎ ‎=(k+1)2[(k+1)2-1],‎ 所以当n=k+1时等式成立,‎ 综上所述,对任意n∈N*,原等式成立.‎ 核心规律 数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题,证明过程的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,当n=k+1时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.‎ 满分策略 ‎1.在用数学归纳法证明问题的过程中,要注意从k到k+1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误.‎ ‎2.解题中要注意步骤的完整性和规范性,过程中要体现数学归纳法证题的形式.‎ 板块三 启智培优·破译高考 规范答题系列7——数学归纳法中的“归纳—猜想—证明”问题 ‎[2018·河南安阳模拟]已知正项数列{an}中,对于一切的n∈N*‎ 均有a≤an-an+1成立.‎ ‎(1)证明:数列{an}中的任意一项都小于1;‎ ‎(2)探究an与的大小关系,并证明你的结论.‎ 解题视点 (1)→→‎ ‎(2)→ 解 (1)证明:由a≤an-an+1得an+1≤an-a.‎ ‎∵在数列{an}中,an>0,‎ ‎∴an+1>0,‎ ‎∴an-a>0,‎ ‎∴0(n∈N*)成立,其初始值至少应取(  )‎ A.7 B.8 ‎ C.9 D.10‎ 答案 B 解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.故选B.‎ ‎2.一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于(  )‎ A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 答案 B 解析 本题证的是对n=1,3,5,7,…命题成立,即命题对一切正奇数成立.‎ ‎3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.‎ 答案  解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.‎ ‎7.若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=________.‎ 答案  解析 c1=2(1-a1)=2×=,‎ c2=2(1-a1)(1-a2)=2××=,‎ c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×××=,‎ 故由归纳推理得cn=.‎ ‎8.[2018·桥西区期末]用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N*)时,从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是________.‎ 答案 4k+2‎ 解析 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N*)时,从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2(2k+1).故答案为4k+2.‎ ‎9.[2018·泉州模拟]已知数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,记其前n项和为Sn,试用a1,d,n表示Sn,并用数学归纳法证明.‎ 解 Sn=na1+d,n∈N*.‎ 下面用数学归纳法证明:①n=1时,左边=S1=a1,右边=a1+d=a1,等式成立.‎ ‎②假设n=k时,等式成立,即Sk=ka1+d,‎ 当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=ka1+d+a1+kd ‎=(k+1)a1+d ‎=(k+1)a1+d,‎ 即n=k+1时,等式成立.‎ 综合①②知,对于任意的正整数n,都有Sn=na1+d成立.‎ ‎10.[2018·溧水月考]设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1+Sn=(n+1)an+1-an-1,n∈N*.‎ ‎(1)若数列{an}是等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设a2=6,求证:数列{an}是等差数列.‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,‎ ‎∵Sn+1+Sn=(n+1)an+1-an-1,‎ ‎∴(n+1)a1+d+na1+d=(n+1)(a1+nd)-[a1+(n-1)d]-1,‎ 化简,得:a1-(n+1)d+1=0,‎ 即n+=0对任意n∈N*都成立,‎ ‎∴解得 ‎∴an=2+4(n-1)=4n-2.‎ ‎(2)证明:∵a2=6,∴S2+S1=2a2-a1-1=a1+a2+a1,‎ 化简得a2=a1+1=6,所以a1=2,‎ 当n=2时,则a1+a2+a3+a1+a2=3a3-a2-1,‎ ‎∴2a3=a2+2a1+1=×6+2×2+1=20,‎ ‎∴a3=10,∴a1,a2,a3成等差数列,首项为2,公差为4,‎ 故猜想:an=4n-2(n∈N*).‎ 下面利用数学归纳法来证明数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列:‎ 显然当n=1,2,3时,命题成立;‎ 假设当n=k时成立,即ak=4k-2,‎ ‎∴Sk=×k=2k2,‎ ‎∴Sk+1+Sk=(k+1)ak+1-ak-1,‎ 即2Sk+ak+1=(k+1)ak+1-ak-1,‎ ‎∴kak+1=2Sk+ak+1=4k2+(4k-2)+1=4k2+2k,‎ ‎∴ak+1=4k+2=4(k+1)-2,‎ ‎∴当n=k+1时也成立,‎ 综上所述,数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列.‎ ‎[B级 知能提升]‎ ‎1.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(  )‎ A.n+1 B.2n C. D.n2+n+1‎ 答案 C 解析 1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域.‎ ‎2.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )‎ A.(k+3)3 B.(k+2)3‎ C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3‎ 答案 A 解析 假设当n=k时,原式能被9整除,‎ 即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.‎ 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.‎ ‎3.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.‎ 答案 (5,7)‎ 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;‎ ‎4=1+3=2+2=3+1;‎ ‎5=1+4=2+3=3+2=4+1;‎ ‎…;‎ 一个整数n所拥有数对为(n-1)对.‎ 设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60.‎ ‎∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,‎ ‎12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,‎ ‎∴第60个数对为(5,7).‎ ‎4.[2018·保定模拟]已知f(x)=x-x2,设0