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- 2021-06-16 发布
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第5讲 数学归纳法
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
1.证明当n取第一个值n0时命题成立,这一步是归纳奠基.
2.假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,这一步是归纳递推.
完成这两个步骤,就可以断定命题对一切n∈N*,n≥n0,命题成立.
考点2 数学归纳法的框图表示
[必会结论]
用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.
(1)验证是基础:第一个步骤是要找一个数n0,这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”.
(2)递推是关键:从“k”到“k+1”的过程中,必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题成立,在推导过程中,归纳假设要用一次或几次.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.[2018·泰安模拟]用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+2=2n+3-1,在验证n=1时,左边的式子为( )
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
答案 D
解析 当n=1时,左边=1+2+22+23.故选D.
3.[课本改编]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于( )
A.1 B.2
C.3 D.0
答案 C
解析 凸n边形的边最少有三条,故第一个值n0取3.
4.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an-an-1=2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( )
A.3n-2 B.n2 C.3n-1 D.4n-3
答案 B
解析 计算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an=n2.
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=
________时,命题亦真.
答案 2k+1
解析 n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.
板块二 典例探究·考向突破
考向 数学归纳法证明恒等式
例 1 用数学归纳法证明:+++…+=(n∈N*).
证明 ①当n=1时,
左边==.
右边==.
左边=右边,所以等式成立.
②假设n=k(k∈N*)时等式成立,即有
+++…+=,
则当n=k+1时,+++…++
=+=
===.
所以当n=k+1时,等式也成立.
由①②可知对于一切n∈N*等式都成立.
触类旁通
利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题
(1)在证明过程中突出两个“凑”字,即一“凑”假设,二“凑”结论,关键是在证明n=k+1时要用上n=k时的假设,其次要明确n=k+1时证明的目标,充分考虑由n=k到n=k+1时,命题形式之间的区别和联系,化异为同.中间的计算过程千万不能省略.
(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少,切勿忘记归纳结论.
【变式训练1】 求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
证明 ①当n=1时,左边=1-=,右边==.左边=右边.
②假设n=k时等式成立,即1-+-+…+-=++…+,
则当n=k+1时,
1-+-+…+-+
=++…++
=++…++.
即当n=k+1时,等式也成立.
综合①②可知对一切n∈N*,等式成立.
考向 数学归纳法证明不等式
例2 求证:++…+>(n≥2,n∈N*).
证明 ①当n=2时,左边=+++>,不等式成立.
②假设n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即
++…+>.
当n=k+1时,
++…++++
=++…++
>+
>+=.
∴当n=k+1时不等式亦成立.
∴原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.
触类旁通
用数学归纳法证明不等式的方法
(1)用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式;二是给出两个式子.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明,即先猜后证.
(2)用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等,有时还要考虑与原不等式等价的命题,运用放缩法时,要注意放缩的“度”.
【变式训练2】 数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式·…·>均成立.
证明 ①当n=2时,左边=1+=,
右边=.∵左边>右边,∴不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,
即·…·>.
则当n=k+1时,
·…·
>·==
>==.
∴当n=k+1时,不等式也成立.
由①②知对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.
考向 数学归纳法证明整除问题
例3 用数学归纳法证明:42n+1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.
证明 ①当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.
②假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,
则当n=k+1时,
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,
∴当n=k+1时命题也成立.
由①②,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.
触类旁通
证明整除问题的关键——“凑项”
证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.
【变式训练3】 用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.
证明 ①当n=1时,(3×1+1)×7-1=27能被9整除,命题成立;
②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立,
即(3k+1)·7k-1能被9整除,则当n=k+1时,
[3(k+1)+1]·7k+1-1
=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1
=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1
=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.
由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立.由①②,得(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.
考向 数学归纳法与开放性问题
例 4 [2018·马鞍山模拟]是否存在a,b,c使等式2+2+2+…+2=对一切n∈N*都成立,若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.
解 取n=1,2,3可得解得a=,b=,c=.
下面用数学归纳法证明2+2+2+…+2==.
即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),
①n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;
②假设n=k时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)·(2k+1)成立,
则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+
1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)·(2k+3),
∴当n=k+1时等式成立;
由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,
故存在a=,b=,c=使已知等式成立.
触类旁通
可假设存在常数a,b,c,使等式对于任意n∈N*总成立,令n=1,2,3,列方程解得a,b,c,再用数学归纳法证明.
【变式训练4】 [2018·宁波期末]已知对任意的n∈N*,存在a,b∈R,使得1×(n2-12)+2×(n2-22)+3×(n2-32)+…+n(n2-n2)=(an2+b).
(1)求a,b的值;
(2)用数学归纳法证明上述恒等式.
解 (1)由题意1×(n2-12)+2×(n2-22)+3×(n2-32)+…+n(n2-n2)=(an2+b),
上述等式分别取n=1,2得
解得
(2)由(1)得1×(n2-12)+2×(n2-22)+3×(n2-32)+…+n(n2-n2)=(n2-1),
证明:①当n=1时,左边=1×(12-12)=0,右边=×12×(12-1)=0,等式成立.
②假设当n=k时,等式成立,即1×(k2-12)+2×(k2-22)+3×(k2-32)+…+k(k2-k2)=k2(k2-1),
则当n=k+1时,左边=1×[(k2-12)+(2k+1)]+2×[(k2-22)+(2k+1)]+…+k[(k2-k2)+(2k+1)]
=1×(k2-12)+2×(k2-22)+3×(k2-32)+…+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+3+…+k)
=k2(k2-1)+(2k+1)·k(k+1)
=k(k+1)(k2+3k+2)
=(k+1)2k(k+2)
=(k+1)2[(k+1)2-1],
所以当n=k+1时等式成立,
综上所述,对任意n∈N*,原等式成立.
核心规律
数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题,证明过程的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,当n=k+1时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.
满分策略
1.在用数学归纳法证明问题的过程中,要注意从k到k+1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误.
2.解题中要注意步骤的完整性和规范性,过程中要体现数学归纳法证题的形式.
板块三 启智培优·破译高考
规范答题系列7——数学归纳法中的“归纳—猜想—证明”问题
[2018·河南安阳模拟]已知正项数列{an}中,对于一切的n∈N*
均有a≤an-an+1成立.
(1)证明:数列{an}中的任意一项都小于1;
(2)探究an与的大小关系,并证明你的结论.
解题视点 (1)→→
(2)→
解 (1)证明:由a≤an-an+1得an+1≤an-a.
∵在数列{an}中,an>0,
∴an+1>0,
∴an-a>0,
∴0(n∈N*)成立,其初始值至少应取( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 B
解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.故选B.
2.一个关于自然数n的命题,如果验证当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于( )
A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对
答案 B
解析 本题证的是对n=1,3,5,7,…命题成立,即命题对一切正奇数成立.
3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是________.
答案
解析 不等式的左边增加的式子是+-=,故填.
7.若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=________.
答案
解析 c1=2(1-a1)=2×=,
c2=2(1-a1)(1-a2)=2××=,
c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×××=,
故由归纳推理得cn=.
8.[2018·桥西区期末]用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N*)时,从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是________.
答案 4k+2
解析 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·5…(2n-1)(n∈N*)时,从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2(2k+1).故答案为4k+2.
9.[2018·泉州模拟]已知数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,记其前n项和为Sn,试用a1,d,n表示Sn,并用数学归纳法证明.
解 Sn=na1+d,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:①n=1时,左边=S1=a1,右边=a1+d=a1,等式成立.
②假设n=k时,等式成立,即Sk=ka1+d,
当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=ka1+d+a1+kd
=(k+1)a1+d
=(k+1)a1+d,
即n=k+1时,等式成立.
综合①②知,对于任意的正整数n,都有Sn=na1+d成立.
10.[2018·溧水月考]设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1+Sn=(n+1)an+1-an-1,n∈N*.
(1)若数列{an}是等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)设a2=6,求证:数列{an}是等差数列.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,
∵Sn+1+Sn=(n+1)an+1-an-1,
∴(n+1)a1+d+na1+d=(n+1)(a1+nd)-[a1+(n-1)d]-1,
化简,得:a1-(n+1)d+1=0,
即n+=0对任意n∈N*都成立,
∴解得
∴an=2+4(n-1)=4n-2.
(2)证明:∵a2=6,∴S2+S1=2a2-a1-1=a1+a2+a1,
化简得a2=a1+1=6,所以a1=2,
当n=2时,则a1+a2+a3+a1+a2=3a3-a2-1,
∴2a3=a2+2a1+1=×6+2×2+1=20,
∴a3=10,∴a1,a2,a3成等差数列,首项为2,公差为4,
故猜想:an=4n-2(n∈N*).
下面利用数学归纳法来证明数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列:
显然当n=1,2,3时,命题成立;
假设当n=k时成立,即ak=4k-2,
∴Sk=×k=2k2,
∴Sk+1+Sk=(k+1)ak+1-ak-1,
即2Sk+ak+1=(k+1)ak+1-ak-1,
∴kak+1=2Sk+ak+1=4k2+(4k-2)+1=4k2+2k,
∴ak+1=4k+2=4(k+1)-2,
∴当n=k+1时也成立,
综上所述,数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列.
[B级 知能提升]
1.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )
A.n+1 B.2n
C. D.n2+n+1
答案 C
解析 1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域.
2.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开( )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
答案 A
解析 假设当n=k时,原式能被9整除,
即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.
当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.
3.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是________.
答案 (5,7)
解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1;
4=1+3=2+2=3+1;
5=1+4=2+3=3+2=4+1;
…;
一个整数n所拥有数对为(n-1)对.
设1+2+3+…+(n-1)=60,∴=60.
∴n=11时还多5对数,且这5对数和都为12,
12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,
∴第60个数对为(5,7).
4.[2018·保定模拟]已知f(x)=x-x2,设0