【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11概率高考专题突破六学案 12页

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 ‎【考点自测】‎ ‎1．在可行域内任取一点，其规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是( )‎ A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意知，可行域为正方形，输出数对(x，y)形成的图形为图中阴影部分，‎ 故所求概率为 P＝＝.‎ ‎2．(2017·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：‎ Y X y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a ‎10‎ a＋10‎ x2‎ c ‎30‎ c＋30‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )‎ A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20‎ C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30‎ 答案 A 解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当与相差越大时，X与Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，与相差越大，故选A.‎ ‎3．(2017·金华模拟)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )‎ A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a 答案 A 解析 ＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.故选A.‎ ‎4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班男生的人数为________．‎ 答案 33‎ 解析 根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故这个班男生的人数为33.‎ ‎5．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ 气温(℃)‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎－1‎ 用电量(度)‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程为＝x＋中的＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．‎ 答案 68‎ 解析 根据题意知＝＝10，＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，‎ 所以＝40－(－2)×10＝60，‎ 所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，‎ 所以用电量约为68度.‎ 题型一 古典概型与几何概型 例1 (1)(2017·榆林二模)若函数f(x)＝在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是( )‎ A. B．1－ C. D. 答案 B 解析 当0≤x<1时，f(x)0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，‎ ‎(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 满足a2>b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，‎ 所以所求事件的概率为＝.‎ ‎(2)(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．‎ 答案 解析 易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，‎ 又大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.‎ 题型二 概率与统计的综合应用 例2 (2017·西安质检)长时间用手机上 严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B两班学生手机上 的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上 的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．‎ ‎(1)你能否估计哪个班级平均每周上 时间较长？‎ ‎(2)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率．‎ 解 (1)A班样本数据的平均值为(9＋11＋14＋20＋31)＝17，‎ 由此估计A班学生每周平均上 时间为17小时；‎ B班样本数据的平均值为 (11＋12＋21＋25＋26)＝19，‎ 由此估计B班学生每周平均上 时间为19小时．‎ 所以B班学生上 时间较长．‎ ‎(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，分别为9,11,14，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个，分别为11,12,21.从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同的情况，‎ 分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，‎ 其中a>b的情况有(14,11)，(14,12)2种，‎ 故a>b的概率P＝.‎ 思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．‎ 跟踪训练2某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求图中实数a的值；‎ ‎(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ 解 (1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03.‎ ‎(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.‎ ‎(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M 包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝.‎ 题型三 概率与统计案例的综合应用 例3 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会 学类、自然 学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会 学类的男生、女生均为45人．‎ ‎(1)分别计算抽取的样本中男生、女生选择社会 学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会 学类的学生人数；‎ ‎(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成以下2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为 类的选择与性别有关？‎ 选择自然 学类 选择社会 学类 合计 男生 女生 合计 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.500‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解 (1)由条件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生选择社会 学类的频率为＝，‎ 女生选择社会 学类的频率为＝.‎ 由题意，知男生总数为1200×＝700，‎ 女生总数为1200×＝500，‎ 所以估计选择社会 学类的人数为 ‎700×＋500×＝600.‎ ‎(2)根据统计数据，可得列联表如下：‎ 选择自然 学类 选择社会 学类 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 则k＝＝≈5.1429>5.024，‎ 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为 类的选择与性别有关．‎ 思维升华统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．‎ 跟踪训练3近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：‎ ‎(1)请将如图的列联表补充完整．若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽多少人？‎ ‎(2)为了研究患三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关.‎ 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 ‎6‎ ‎30‎ 女 总计 ‎36‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)‎ 解 (1)完善补充列联表如下：‎ 患三高疾病 不患三高疾病 总计 男 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 总计 ‎36‎ ‎24‎ ‎60‎ 在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为＝，‎ 所以女性应该抽取12×＝3(人)．‎ ‎(2)根据2×2列联表，则K2的观测值 k＝＝10>7.879.‎ 所以可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为患三高疾病与性别有关．‎ ‎1．某单位对职员中的老年、中年、青年进行健康状况调查，其中老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知在老年职员中抽取了24人，则在青年职员中抽取的人数为____________．‎ 答案 36‎ 解析 ∵老年、中年、青年职员的人数之比为k∶5∶3，‎ ‎∴＝，解得k＝2，∴在青年职员中抽取的人数为120×＝36.‎ ‎2．在不等式组所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________．‎ 答案 解析 不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)，1种情况，所以能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是.‎ ‎3．(2018·唐山模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80的为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：K2＝.‎ 解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上(含25周岁)组工人60名，25周岁以下组工人40名．‎ 所以样本中日平均生产件数不足60的工人中，25周岁以上(含25周岁)组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．‎ 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上(含25周岁)组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上(含25周岁)组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得k＝ ‎＝＝≈1.79.‎ 因为1.79＜2.706.‎ 所以没有90 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．‎ ‎4．(2018·北京海淀区模拟)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖，其余结果为不中奖．‎ ‎(1)求中二等奖的概率；‎ ‎(2)求不中奖的概率．‎ 解 (1)记“中二等奖”为事件A.‎ 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．‎ 记两个小球的编号之和为x，由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x＝5，x＝6.‎ 事件x＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，‎ 故P(x＝5)＝＝；‎ 事件x＝6的取法有1种，即{2,4}，故P(x＝6)＝.‎ 所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝.‎ ‎(2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件，由题意可知，事件包括三个互斥事件：中一等奖(x＝7)，中二等奖(事件A)，中三等奖(x＝4)．‎ 事件x＝7的取法有1种，即{3,4}，故P(x＝7)＝；‎ 事件x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种，‎ 故P(x＝4)＝＝.‎ 由(1)可知，P(A)＝.‎ 所以P()＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 所以不中奖的概率为P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；‎ ‎(2)试预测加工10个零件需要的时间．‎ ‎(注：b＝，＝－，iyi＝52.5，＝54)‎ 解 (1)由表中数据得 ＝×(2＋3＋4＋5)＝3.5，‎ ＝×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，‎ ‎∴＝＝0.7，‎ ＝3.5－0.7×3.5＝1.05.‎ ‎∴＝0.7x＋1.05.‎ 回归直线如图所示．‎ ‎(2)将x＝10代入线性回归方程，得 ＝0.7×10＋1.05＝8.05，‎ 故预测加工10个零件需要8.05小时．‎ ‎6．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，‎ 同时得到如下表所示的频率分布表：‎ 分数段(分)‎ ‎[50，70)‎ ‎[70，90)‎ ‎[90，110)‎ ‎[110，130)‎ ‎[130，150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；‎ ‎(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．‎ 解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，‎ ‎∴a＝0.1，b＝3.‎ ‎∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，‎ ‎∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8.‎ 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P＝1－0.1－0.25＝0.65.‎ ‎(2)所有可能的结果为 ‎(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，‎ 取出的两个样本中数字之差小于或等于10的结果为(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10个，‎ ‎∴P(A)＝.‎