【数学】2020届一轮复习人教A版第61课等差数列学案（江苏专用） 6页

第61课　等 差 数 列 ‎1. 等差数列的概念(B级要求).‎ ‎2. 等差数列的通项公式与前n项和公式(C级要求).‎ ‎3. 等差数列与一次函数、二次函数的关系(A级要求).‎ ‎1. 阅读：必修5第35～48页.‎ ‎2. 解悟：①理解等差数列、等差中项的定义及符号语言；②写出等差数列的常用性质；③体会课本中推出等差数列的通项公式和求和公式的方法.‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第47、48页习题第4、5、6、7题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则数列{an}的公差为　4　.‎ 解析：设数列{an}的公差为d，由题意得a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝24，S6＝6a1＋d＝48，联立由①×3－②得(21－15)·d＝24，所以d＝4.‎ ‎2. 已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，则a100＝　98　.‎ 解析：由等差数列性质知S9＝＝＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，所以公差d＝＝1，所以a100＝a10＋90d＝98.‎ ‎3. 在等差数列{an}中，已知S8＝24，S16＝32，那么S24＝　24　.‎ 解析：因为数列{an}是等差数列，所以S8，S16－S8，S24－S16成等差数列.因为S8＝24，S16－S8＝8，所以S24－S16＝－8，所以S24＝－8＋32＝24.‎ ‎4. 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为　－　.‎ 解析：设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由题意得 解得所以这五个数分别为－，，1，，或，，1，，－，故它们的积为－.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 等差数列基本量的计算 例1　设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和.‎ ‎(1) 求Sn；‎ ‎(2) 求Tn及Tn的最小值.‎ 解析：(1) 设数列{an}的公差为d，‎ 依题意得 解得 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋＝.‎ ‎(2) 由(1)知Sn＝，所以＝.‎ 设bn＝＝，‎ 则bn＋1－bn＝－＝，‎ 所以数列{bn}是公差为，首项为b1＝＝a1＝－2的等差数列.‎ 又Tn为数列的前n项和，‎ 所以Tn＝－2n＋×＝.‎ 因为函数y＝的图象开口向上，对称轴为直线x＝，‎ 所以当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝＝－5.‎ 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝4，S9－S6＝27，则S10＝　65　.‎ 解析：设数列{an}的公差为d.因为Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝4，S9－S6＝27，所以解得所以S10＝10×2＋×1＝65.‎ ‎【注】 等差数列计算问题的通性通法：‎ ‎(1) 等差数列计算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.‎ ‎(2) 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题的思路.‎ 考向❷ 等差数列的判定与证明 ‎　　例2　已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*).求证：数列{bn}是等差数列.‎ 解析：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，‎ 所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－，‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.‎ 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.‎ ‎(1) 设bn＝an＋1－an，证明：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2) 求数列{an}的通项公式.‎ 解析：(1) 由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.‎ 又b1＝a2－a1＝1，‎ 所以数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.‎ ‎(2) 由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，‎ 即an＋1－an＝2n－1，‎ 所以 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，‎ 所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.‎ 又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2.‎ ‎【注】 等差数列的四个判定方法：‎ ‎(1) 定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.‎ ‎(2) 等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列.‎ ‎(3) 通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.‎ ‎(4) 前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.‎ 考向❸ 等差数列性质的应 ‎　　例3　(1) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝　10　；‎ 解析：(1) 因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.‎ ‎(2) 已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝　21　Ｗ.‎ 解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.‎ ‎(1) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝　3　；‎ 解析：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12‎ ‎－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.‎ ‎(2) 在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值为　－2 018　.‎ 解析：由题意知数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1，所以S2 018＝－2 018.‎ ‎【注】 等差数列的性质：‎ ‎(1) 项的性质：在等差数列{an}中，由am－an＝(m－n)d得＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)与点(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.‎ ‎(2) 和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是　20　.‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.‎ ‎2. 在等差数列{an}中，已知S30＝20，S90＝80，则S60＝　　.　‎ 解析：设S60＝x，则S30，S60－S30，S90－S60成等差数列，所以20＋(80－x)＝2(x－20)，解得x＝.‎ ‎3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，那么数列{|an|}的前6项和T6＝　18　.‎ 解析：由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且an＝2n－7.当n≤3时，an<0；当n≥4时，an>0，所以T6＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝18.‎ ‎4. 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，则当n为　12或13　时，Sn取得最大值，最大值为　130　.‎ 解析：因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.‎ 方法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0，所以当n≤12时，an>0；当n≥14时，an<0.所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，‎ 且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.‎ 方法二：Sn＝20n＋×＝－n2＋n＝－＋.‎ 因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.‎ ‎1. 等差数列的通项公式与前n项和公式中的五个基本量：a1，d，n，an，Sn，知三求二.‎ ‎2. 等差数列是一种特殊的数列，求解数列的问题时要注意方程思想及等差数列性质的应用.‎ ‎3. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎