新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：6-6-3 球的表面积和体积 课件（89张） 89页

6.3　球的表面积和体积　 必备知识·自主学习 1.球的相关概念 (1)球的大圆 球面被经过_____的平面截得的圆称为球的大圆. (2)球的小圆 球面被不经过_____的平面截得的圆称为球的小圆. 导思 1.球的表面积公式是什么? 2.球的体积公式是什么? 球心 球心 (3)直线与球相切 直线与球有唯一_____时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点. (4)切线长 过球外一点的所有切线的切线长都_____. 2.球的表面积和体积公式 S球面=_____,V球=________.其中R为球的半径. 交点 相等 4πR2 34 R 3  【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直.(　　) (2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数.(　　) 提示:(1)√　(2) √ 2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的 体积为(　　) A. Q B.Q C. Q D.2Q 【解析】选C.4πR2=64π⇒R=4,所以V= QR= Q. 1 3 4 3 1 3 4 3 3.(教材二次开发:习题改编)已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长 为2,则这个球的表面积为(　　) A.12π B.16π C.20π D.24π 【解析】选A.正方体的棱长为2,正方体的体对角线的长为2 ,即正方体外接 球的直径为2 ,半径为 .所以球的表面积为S=4 π( )2=12 π. 3 3 3 3 关键能力·合作学习 类型一　球的表面积(数学运算) 【题组训练】 1.若球的过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是(　　) D.2πC2 2.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是(　　) A.S正方体>S球 B.S正方体1)的球O1和球O2相切,且均与直二面角α-l-β的两个半平 面都相切,另有一个半径为1的小球O与这二面角的两个半平面也都相切,同时 与球O1和球O2都外切,则r的值为 (　　) 2 1 7 3A. 2 1 B. 7 3 C. D.2 2    【解析】选D.如图所示,过点O1,O2分别作O1M⊥l,O2N⊥l,垂足分别为点M,N,过点 O分别作OA⊥l,OB⊥O1O2, 则|O1M|=|O2N|= r, |OA|= ,|O1B|=|O2B|=r, |OO1|=|OO2|=r+1, |OB|= |AB|=|OA|+|OB|= 2 2 2 2 1 1OO O B 2r 1,   2 2r 1 2r,   所以 等式两边平方得2r+1=2r2-4r+2, 化简得2r2-6r+1=0,由于r>1, 解得r= . 【误区警示】一定要画出正确的截面图. 2r 1 2r 2   ， 7 3 2  二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错 的得0分) 5.一个正方体内有一个内切球,用一个平面去截,所得截面图形可能是图中的 (　　) 【解析】选AB.由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切,而与两侧 棱相离. 6.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个 方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体 积为18,则半球的说法正确的是 (　　) A.半径是3 B.体积为18π C.表面积为27π D.表面积为18π 【解析】选ABC.由题意可得方锥的高为球的半径R,且方锥的底面正方形的对 角线为球的直径2R, 所以正方形的边长a= 所以方锥的体积V= ·R=18, 解得R=3,所以A选项正确;所以半球的表面积为S= ·4πR2+πR2=3πR2=27π, 所以C选项正确; 半球体积为球的体积的一半,即V半球= πR3=18π,B选项正确. 【光速解题】选项逐一验证,计算准确. 2R 2R, 2   21 2R3 1 2 1 1 4V2 2 3  球 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是__________. 【解析】设大球的半径为R,则有 πR3=2× π×13,R3=2,所以R= . 答案: 4 3 4 3 3 2 3 2 8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,则该三棱锥的外接球的表 面积为________,该三棱锥的体积的最大值为________. 【解析】因为在三棱锥A-BCD中AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,所以AC= 取AC中点O,连接OB,OD, 则OA=OB=OC=OD= , 所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为O, 球半径r= ,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πr2=4×π× =5π. 当平面ADC⊥平面ABC时, 三棱锥A-BCD的体积最大, 2 21 2 5,  5 2 5 2 5 4 设D到平面ABC的距离为h, 则 ×AD×DC= ×AC×h, 解得h= 所以该三棱锥的体积的最大值为: V= ×S△ABC×h= × ×AB×BC×h = 答案:5π　 1 2 1 2 AD DC 2 1 2 .AC 5 5    1 3 1 3 1 2 1 1 2 2 51 2 .3 2 155      2 5 15 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积. 【解析】因为AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形, 其外接圆为过A,B,C的平面截球所得截面, 2r=30,r=15.由题意得 +152=R2, 解得R2=300,R=10 . 所以S=4πR2=1 200π, V= 2R( )2 3  334 4R 10 3 4 000 3 .3 3      10.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3 dm,水面直径2 dm,放入一个铁球后, 水恰好把铁球淹没,求该铁球的体积. 3 【解析】设铁球的半径为r,则放入铁球后水深为3r,上底面半径为 r,此时 铁球与水的体积和为 ·π·( r)2·3r=3 πr3.原来水的体积为 ·π·( )2·3=3 π,铁球的体积为 πr3, 则3 π+ πr3=3πr3,解得r3= . 所以铁球的体积V= 所以该铁球的体积为 . 3 1 3 3 1 3 3 4 3 4 3 9 5 4 9 12 .3 5 5   12 5  【创新迁移】 1.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为 、高为3的圆锥,三棱锥V-ABC内 接于球O,已知OA⊥OB,AC⊥BC,则三棱锥V-ABC的体积的最大值为________. 3 【解析】圆锥的母线长为 设球O的半径为r,则 ,解得r=1. 因为OA⊥OB,OA=OB=1,所以AB= , 因为AC⊥BC,所以C在以AB为直径的圆上, 所以当平面OAB⊥平面ABC时, O到平面ABC的距离最大为 , 故V到平面ABC的最大距离为 +1. 又C到AB的最大距离为 ,△ABC面积最大为 3 9 2 3  ， r 3 r 3 2 3  2 2 2 2 22 2 1 222 2   ， 所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为 所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为 . 答案: 1 1 2 2 2 22 ( 1) .3 2 2 2 12       2 2 12  2 2 12  2.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上. 若圆锥的底面面积是这个球表面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者与体 积较大者的高的比值为多少? 3 16 【解析】该几何体的轴截面如图, 设球的半径为R,圆锥底面半径为r, 由题意得πr2= ×4πR2,所以r= R. 所以OO1= 体积较小的圆锥的高AO1=R- R= R, 体积较大的圆锥的高BO1=R+ R= R, 所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 3 16 3 2 2 2 1R r R.2   1 2 1 2 1 2 3 2 1 3