河北省隆化县存瑞中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 13页

存瑞中学2019-2020学年高一年级第二学期期中考试 数学试题 说明：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.卷Ⅰ答案点击智学网上对应选项，卷Ⅱ将写在纸上对应题目的答案拍照上传至智学网，一题一张.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在数列{}中，若，，则=‎ A. 16 B. ‎17 ‎C. 18 D. 19‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系依次求对应项.‎ ‎【详解】因为，，所以，所以.选B.‎ ‎【点睛】本题考查由递推关系求项，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2.在中，角,,所对的边分别是，，，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求解.‎ ‎【详解】因为 ，所以,选C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎3.不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式即得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，解得.选D.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎4.若，，则与的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作差后因式分解，即可判断大小.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，即,选A.‎ ‎【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎5.记等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 36 B. ‎72 ‎C. 55 D. 110‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 所以.选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.在中，角，，所对的边分别是，，.若，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及二倍角公式化简得角的关系，最后根据角的关系确定三角形形状.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，‎ 从而.‎ 因为，,‎ 所以或，即或，‎ 故等腰三角形或直角三角形.选D.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎7.不重合的两个平面可以把平面分成（ ）部分 A. 2 B. 3或‎4 ‎C. 4 D. 2或3或4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两个平面平行和相交两种情况进行分析，得出答案.‎ ‎【详解】当两个平面相互平行时，把平面分成3部分.‎ 当两个平面相交时，把平面分成4部分.‎ 所以不重合的两个平面可以把平面分成3或4部分 故选：B ‎【点睛】本题考查空间平面把空间分成几部分的问题，属于基础题.‎ ‎8.在正项等比数列{}中，，则=‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算法则以及等比数列性质求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 选D.‎ ‎【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9.在中，角,,所对的边分别是，，，若，，则面积的最大值为（ ）‎ A. 4 B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据余弦定理得，再利用基本不等式得 ‎，最后根据三角形面积公式得结果.‎ ‎【详解】由余弦定理可得，因为,，所以，‎ 因为，所以，即，‎ 故的面积为.选B.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎10.等比数列{}的前n项和为，若则=（ ）‎ A. 10 B. ‎20 ‎C. 20或-10 D. -20或1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，所以（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）可解得答案.‎ ‎【详解】由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为 ‎∴（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）即 解得=20或-10‎ 由 所以=20‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和的性质，,注意值的取舍，属于中档题.‎ ‎11.若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 12 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有条件，则，可得答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以（当且仅当，时，等号成立），‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用均值不等式中的条件求最值问题，注意条件“‎1”‎的灵活应用，属于中档题.‎ ‎12.已知等比数列中，，则其前3项和的取值范围（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为,再分公比的正负利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】设公比为,则.‎ 当时, ,‎ 即当且仅当时取等号.‎ 当时, ,‎ 即,当且仅当时取等号.‎ 所以的取值范围是 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用,需要注意“一正二定三相等”的用法.属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.在等差数列中，，，则公差______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列公差性质列式得结果.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.若，则的最小值为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.数列满足，则数列的前6项和为_______．‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时‎6千米的速度行驶，同时乙船以每小时‎8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方位角的定义，可知= ，设出时间为t，则可表示出，，根据余弦定理可求出两船之间的距离表达式，进而可求出距离最小值及对应的时间t．‎ ‎【详解】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为 小时，此时甲船位于处，乙船位于处，则，，由余弦定理可得：=，故当时取最小值，故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，需灵活运用正余弦定理，属基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数不等式的解集为 ‎（1）求函数的解析式.‎ ‎（2）当关于的的不等式的解集为R时，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据不等式的解集，利用韦达定理列出方程，解得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由和二次函数的开口方向，可得，即可得到的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由不等式的解集可得： ，解得： ，则 .‎ ‎(2)由 可知，二次函数开口向下，满足题意时只需 ，‎ 即： .‎ ‎18.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为8，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理，将csinA＝acosC转化为，可得，从而可得角C的大小；(2)利用面积公式直接求解b即可 ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ 因为所以sinA＞0，从而，即，又，所以；‎ ‎(2)由 得b=8‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理的应用，面积公式的应用，考查化归思想属于中档题．‎ ‎19.设数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据和项与通项关系求解即可，（2）先化简，再根据裂项相消法求和.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以，即.‎ 因为，所以，所以.‎ 则数列是以首项为3，公比为3的等比数列，故.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20.在中，角,,所对的边分别是，，，已知 .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，为垂足，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以 ‎ 因为，所以,即.‎ 因为，所以，所以.‎ 则.‎ ‎（2）因为，所以,.‎ 在中，由余弦定理可得 ，即.‎ 由，得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.设数列{}是等差数列，数列{}的前项和满足,,且 ‎（1）求数列{}和{}的通项公式：‎ ‎（2）设为数列{}的前项和，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式时，可推导出，根据等比数列的定义可知数列是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式可求．从而可得 的值．由的值可得公差，从而可得首项．根据等差数列的通项公式可得．（2）用错位相减法求数列的和：先将的式子列出，然后左右两边同乘以等比数列的公比，并将等式右边空出一个位置，然后将两个式子相减，用等比数列的前项和公式整理计算，可得．‎ ‎【详解】（1）由(1)‎ 知当=1时,,．‎ 当2时,(2)‎ ‎(1)(2)得,‎ ‎(2)‎ 是以为首项以为公比的等比数列,‎ 故．‎ ‎（2）=．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①②得 ‎=．‎ ‎．‎ 考点：1公式法求通项公式；2错位相减法求数列的和．‎ ‎22.已知函数 ‎（1）当时，求不等式 的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解一元二次不等式即得结果，（2）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据基本不等式求对应函数最值，即得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以.‎ 所以，即，‎ 解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.‎ 因为，所以，‎ 则.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎