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- 2021-06-16 发布
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§8.5 空间中的垂直关系
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容.题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想.
1.直线与平面垂直
图形
条件
结论
判
定
a⊥b,b⊂α(b为α内的任意一条直线)
a⊥α
a⊥m,a⊥n,m、n⊂α,m∩n=O
a⊥α
a∥b,a⊥α
b⊥α
性
质
a⊥α,b⊂α
a⊥b
a⊥α,b⊥α
a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性
质
定
理
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
概念方法微思考
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?
提示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面.
2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面吗?
提示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线,则这两条直线都垂直于第三个平面,那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知,这两个相交平面的交线与这两条垂线平行,所以该交线垂直于第三个平面.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × )
(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( √ )
(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( × )
(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √ )
(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( × )
题组二 教材改编
2.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,其他选项均是正确的.
3.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心;
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,
在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,
所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.
(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.
∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,
∴PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,
∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC,
∴AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,
∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,
即O为△ABC的垂心.
题组三 易错自纠
4.若l,m为两条不同的直线,α为平面,且l⊥α,则“m∥α”是“m⊥l”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l,充分性成立;
若l⊥α且m⊥l,则m∥α或者m⊂α,必要性不成立,
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件,故选A.
5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是( )
A.与AC,MN均垂直
B.与AC垂直,与MN不垂直
C.与AC不垂直,与MN垂直
D.与AC,MN均不垂直
答案 A
解析 因为DD1⊥平面ABCD,
所以AC⊥DD1,
又因为AC⊥BD,DD1∩BD=D,
所以AC⊥平面BDD1B1,
因为OM⊂平面BDD1B1,
所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2,
则OM==,MN==,
ON==,
所以OM2+MN2=ON2,
所以OM⊥MN.故选A.
6.如图所示,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥AB
B.平面VAC⊥平面VBC
C.MN与BC所成的角为45°
D.OC⊥平面VAC
答案 B
解析 由题意得BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC.因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.
证明 因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC,
所以AD⊥B1B.
因为BC∩B1B=B,BC,B1B⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥平面B1BCC1.
因为B1F⊂平面B1BCC1,
所以AD⊥B1F.
方法一 在矩形B1BCC1中,
因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2,
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,
所以∠CFD=∠C1B1F,
所以∠B1FD=90°,
所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF,
所以B1F⊥平面ADF.
方法二 在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3,
所以B1D==.
在Rt△B1C1F中,B1C1=2,C1F=1,
所以B1F==.
在Rt△DCF中,CF=2,CD=1,
所以DF==.
显然DF2+B1F2=B1D2,
所以∠B1FD=90°.
所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF,
所以B1F⊥平面ADF.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性;③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直,则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1 如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,
则AB∥EF.
又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,
BC⊂平面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2018·全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
(1)证明 由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.
又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD,AC⊂平面ACD,
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.
又BP=DQ=DA,所以BP=2.
如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,
则QE∥DC且QE=DC.
由已知及(1)可得,DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,QE=1.
因此,三棱锥Q-ABP的体积为
VQ-ABP=×S△ABP×QE
=××3×2sin 45°×1=1.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
跟踪训练2 (2018·锦州调研)如图,三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA⊥PC,PB=2.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(2)若PA=PC,求三棱锥P-ABC的体积.
证明 (1)如图,取AC的中点O,连接BO,PO,
因为△ABC是边长为2的正三角形,
所以BO⊥AC,BO=.
因为PA⊥PC,所以PO=AC=1.
因为PB=2,所以OP2+OB2=PB2,
所以PO⊥OB.
因为AC∩OP=O,AC,OP⊂平面PAC,
所以BO⊥平面PAC.
又OB⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)解 因为PA=PC,PA⊥PC,AC=2,
所以PA=PC=.
由(1)知BO⊥平面PAC,
所以VP-ABC=VB-APC=S△PAC·BO=××××=.
题型三 垂直关系的综合应用
命题点1 直线与平面所成的角
例3 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:△PBC是直角三角形;
(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)证明 ∵AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点.
∴BC⊥AC,
∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,
又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,
∴△BPC是直角三角形.
(2)解 如图,过A作AH⊥PC于H,
∵BC⊥平面PAC,
∴BC⊥AH,
又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,
∴AH⊥平面PBC,
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角,
∵PA⊥平面ABC,
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角,
∵tan∠PCA==,
又PA=2,∴AC=,
∴在Rt△PAC中,AH==,
∴在Rt△ABH中,sin∠ABH===,
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
命题点2 与垂直有关的探索性问题
例4 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.
(1)求证:C1E∥平面ADF;
(2)设点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF.
(1)证明 连接CE交AD于O,连接OF.
因为CE,AD为△ABC的中线,
则O为△ABC的重心,故==,故OF∥C1E,
因为OF⊂平面ADF,C1E⊄平面ADF,
所以C1E∥平面ADF.
(2)解 当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.
证明如下:因为AB=AC,AD⊂平面ABC,
故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥平面ABC,BB1⊂平面B1BCC1,
故平面B1BCC1⊥平面ABC.
又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,AD⊂平面ABC,
所以AD⊥平面B1BCC1,
又CM⊂平面B1BCC1,
故AD⊥CM.
又BM=1,BC=2,CD=1,FC=2,
故Rt△CBM≌Rt△FCD.
易证CM⊥DF,又DF∩AD=D,DF,AD⊂平面ADF,
故CM⊥平面ADF.
又CM⊂平面CAM,
故平面CAM⊥平面ADF.
思维升华 对命题条件的探索的三种途径
途径一:先猜后证.
途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.
途径三:将几何问题转化为代数问题.
跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面ABCD,EF∥AB,EG∥AD,EF=EG=1.
(1)求证:平面CFG⊥平面ACE;
(2)在AC上是否存在一点H,使得EH∥平面CFG?若存在,求出CH的长,若不存在,请说明理由.
(1)证明 连接BD交AC于点O,则BD⊥AC.
设AB,AD的中点分别为M,N,连接MN,则MN∥BD,
连接FM,GN,则FM∥GN,且FM=GN,
所以四边形FMNG为平行四边形,
所以MN∥FG,所以BD∥FG,所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD,所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE,
又因为AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,
所以FG⊥平面ACE.
又FG⊂平面CFG,所以平面CFG⊥平面ACE.
(2)解 存在.设平面ACE交FG于Q,则Q为FG的中点,
连接EQ,CQ,取CO的中点H,连接EH,
由已知易知,平面EFG∥平面ABCD,
又平面ACE∩平面EFG=EQ,
平面ACE∩平面ABCD=AC,
所以CH∥EQ,
又CH=EQ=,
所以四边形EQCH为平行四边形,所以EH∥CQ,
又CQ⊂平面CFG,EH⊄平面CFG,
所以EH∥平面CFG,
所以在AC上存在一点H,使得EH∥平面CFG,
且CH=.
1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
答案 C
解析 因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.
2.(2019·通辽模拟)已知直线l,m与平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是( )
A.若l∥m,则必有α∥β
B.若l⊥m,则必有α⊥β
C.若l⊥β,则必有α⊥β
D.若α⊥β,则必有m⊥α
答案 C
解析 对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,所以选项A错误;
对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,所以选项B错误;
对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β.所以选项C正确;
对于选项D,直线m可能和平面α不垂直,所以选项D错误.
3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.
4.(2019·大连适应性检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则( )
A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1
C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1
答案 D
解析 对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点,所以点N∈平面CDD1C1,点M∉平面CDD1C1,所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线,
又因为直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,故选项A错;
对于选项B,正方体中易知NB≠NC1,因为点M是BC1的中点,所以直线MN 与直线BC1不垂直,故选项B不对;
对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1,因为N是CD1的中点,
所以MC=MD1,这与MC≠MD1矛盾,故假设不成立,所以选项C不对;
对于选项D,分别取B1C1,C1D1的中点P,Q,连接PM,QN,PQ.
因为点M是BC1的中点,
所以PM∥CC1且PM=CC1.
同理QN∥CC1且QN=CC1.
所以PM∥QN且PM=QN,
所以四边形PQNM为平行四边形.
所以PQ∥MN.
在正方体中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC,
因为AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1,CC1⊂平面ACC1,
所以PQ⊥平面ACC1.
因为PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1.
故选项D正确.
5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图,取正三角形ABC的中心O,连接OP,
则∠PAO是PA与平面ABC所成的角.
因为底面边长为,
所以AD=×=,AO=AD=×=1.
三棱柱的体积为×()2AA1=,
解得AA1=,
即OP=AA1=,
所以tan∠PAO==,
因为直线与平面所成角的范围是,
所以∠PAO=.
6.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
答案 4
解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
则△PAB,△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC,且AC∩PA=A,
得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,
因此△ABC,△PBC也是直角三角形.
7.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.
答案 AB
解析 ∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足_______时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 ∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________.
答案
解析 连接A1C1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.
因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2,
又AA1=1,所以AC1=3,
所以sin∠AC1A1==.
10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________.
答案
解析 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C==.
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若AF⊥EF,求证:平面PAD⊥平面ABCD.
证明 (1)因为四边形ABCD是矩形,
所以AB∥CD.
又AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,
所以AB∥平面PDC,
又因为AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF,
所以AB∥EF.
(2)因为四边形ABCD是矩形,
所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF,(1)中已证AB∥EF,
所以AB⊥AF.
又AB⊥AD,
由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D,
所以AF∩AD=A,AF,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥平面PAD,
又AB⊂平面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD.
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=,AD=CD=1,∠ADC=120°,点M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=PB.
(1)证明:MN∥平面PDC;
(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值.
(1)证明 因为AB=BC,AD=CD,
所以BD垂直平分线段AC.
又∠ADC=120°,
所以MD=AD=,AM=.
所以AC=.
又AB=BC=,
所以△ABC是等边三角形,
所以BM=,所以=3,
又因为PN=PB,
所以==3,
所以MN∥PD.
又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,
所以MN∥平面PDC.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥PA,
又BD⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
由(1)知MN∥PD,
所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角,
故∠DPM即为所求的角.
在Rt△PAD中,PD=2,
所以sin∠DPM===,
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.
13.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.那么,在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF
答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,
∴AH⊥平面EFH,B正确;
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确;
∵AG⊥EF,EF⊥GH,AG∩GH=G,AG,GH⊂平面HAG,
∴EF⊥平面HAG,
又EF⊂平面AEF,
∴平面HAG⊥平面AEF,过点H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,∴C不正确;
由条件证不出HG⊥平面AEF,∴D不正确.故选B.
14.(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1D1与棱A1A,A1B1,A1D1
所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与A1A,A1B1,A1D1平行,故正方体ABCD-A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.
取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大,此截面面积为S正六边形EFGHMN=6×××sin 60°=.
故选A.
15.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;
④在折起过程中,一定不会有EC⊥AD.
答案 ①②
解析 由已知,在未折叠的原梯形中,
易知四边形ABCE为矩形,
所以AB=EC,所以AB=DE,
又AB∥DE,
所以四边形ABED为平行四边形,
所以BE=AD,折叠后如图所示.
①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP.
因为M,N分别是AD,BE的中点,
所以点P为AE的中点,故NP∥EC.
又MP∩NP=P,DE∩CE=E,
所以平面MNP∥平面DEC,
故MN∥平面DEC,①正确;
②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC,
所以AE⊥MP,AE⊥NP,
又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP,
又MN⊂平面MNP,所以MN⊥AE,②正确;
③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,
从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,
与BE和AD是异面直线矛盾,③错误;
④当EC⊥ED时,EC⊥AD.
因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,
所以EC⊥平面AED,AD⊂平面AED,
所以EC⊥AD,④不正确.
16.在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF∥AB,M为BC的中点.
(1)求证:FM∥平面BDE;
(2)若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离.
(1)证明 取BD的中点O,连接OM,OE,
因为O,M分别为BD,BC的中点,
所以OM∥CD,且OM=CD.
因为四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB,
又EF∥AB,所以CD∥EF,
又AB=CD=2EF,
所以EF=CD,
所以OM∥EF,且OM=EF,
所以四边形OMFE为平行四边形,
所以MF∥OE.
又OE⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,
所以MF∥平面BDE.
(2)解 由(1)得FM∥平面BDE,
所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离.
取AD的中点H,连接EH,BH,
因为EA=ED,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,
所以EH⊥AD,BH⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD,
平面ADE∩平面ABCD=AD,EH⊂平面ADE,
所以EH⊥平面ABCD,所以EH⊥BH,
易得EH=BH=,所以BE=,
所以S△BDE=××=.
设点F到平面BDE的距离为h,
连接DM,则S△BDM=S△BCD=××4=,
连接EM,由V三棱锥E-BDM=V三棱锥M-BDE,
得××=×h×,
解得h=,
即点F到平面BDE的距离为.