2019年高考数学高分突破复习课件专题六 第4讲 41页

第4讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位　利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、 对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单 的问题. 1.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0) 处的切线方程为(　　) A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x 解析　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，可得a＝1， 所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的 切线方程为y＝x. 答案　D 真 题 感 悟 2.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　 　) A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1 解析　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1， 则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0a＝－1， 则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f′(x)>0；当－2x1，设t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)，试证明 t>0. (2)证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0， 所以x1x2＝1. 又∵x2>x1>0，所以x2>1. 又t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2) 1.导数的几何意义 函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处 的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 易错提醒　求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前 者点P为切点，后者点P不一定为切点. 考 点 整 合 2.四个易误导数公式 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递 增，但f′(x)≥0. ②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时， 则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或 f′(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问 题来求解. 4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左 侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和 最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒　若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而 不充分条件. 热点一　导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析　(1)令x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x， 又f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)， ∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0. 探究提高　1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之 间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得 到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程 变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值. 又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直， 所以k1k2＝－1，解得a＝1. 热点二　利用导数研究函数的单调性 考法1　确定函数的单调性(区间) 【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围. 解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0. f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a). ①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a＝0时，f(x)在R上单调递增； (2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立. 所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0. 解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3. 令f′(x)<0，得00或 f′(x)<0. 2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a， b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数 的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围. (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解. 【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数). (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围. 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， (2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立. 因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立. 因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0， 热点三　利用导数研究函数的极值和最值 考法1　求函数的极值、最值 【例3－1】 (2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； (2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围. 解　(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e. 由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1. 此时f(1)＝3e≠0. 所以a的值为1. (2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex. 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值. 所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点. 探究提高　1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a 值，切记，需检验切线是否与x轴重合. 2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极 值点时也要注意是极大值点还是极小值点. (2)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函 数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 【训练3】 已知函数f(x)＝excos x－x. 解　(1)∵f(x)＝ex·cos x－x，∴f(0)＝1， f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，∴f′(0)＝0， ∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1. (2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令g(x)＝f′(x)， ∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立， 令f′(x)＝0，即x2＋ax＋1＝0，其中Δ＝a2－4. ①当a2－4≤0时，即－2≤a≤2时，x2＋ax＋1≥0恒成立. ∴f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上递增，函数无极值点. 若a>2，则x10， 当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0， 故x1是f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点. 综上：当a<－2时，f(x)有两个极值点， 当a≥－2时，f(x)无极值点. 当x∈(0，1)时，ex(x－1)＋ln x＋x2－1<0，即h′(x)<0，h(x)单调递减； x∈(1，＋∞)时，ex(x－1)＋ln x＋x2－1>0， 即h′(x)>0，h(x)单调递增. 因此x＝1为h(x)的极小值点，即h(x)≥h(1)＝e＋1，故a≤e＋1. 探究提高　1.求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的 左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来 求解. 【训练4】 已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的 最大值. 当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. ∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点； 当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值， ∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x. 则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增， 1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接， 而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最 大值与最小值. 3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极 大值； (2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的 必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极 大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点. 4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、 大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论. 5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不 等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维— —已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合 的思想.