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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年第一学期八县(市、区)期中联考
高中二年数学科试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)
1.已知命题,使得,则为( )
A. ,总有 B. ,总有
C. ,使得 D. ,使得
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.
【详解】命题是特称命题,则命题的否定是总有成立,
故选:B
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.属于基础题
2.已知中心在原点的等轴双曲线,右顶点为,则双曲线的焦距等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中的关系式,计算可求解.
【详解】因为双曲线为等轴双曲线,所以,
因为右顶点为,所以,
所以焦距.
故选:C
【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题.
3.不等式的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得,根据充分,必要条件的概念分析可求解.
【详解】由不等式得,解得,
因为=,所以选项为充要条件,
因为Ü,所以选项为充分不必要条件,
因为Ú,且Ú,所以选项是既不充分也不必要条件,
因为Ü,所以选项是必要不充分条件.
故选:A
【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题.
4.下列命题中正确的是( )
A. 命题“若,则”的否命题为“若,则”;
B. 命题“若平面向量共线,则方向相同”的逆否命题为假命题;
C. 命题“若或,则”是真命题;
D. 命题“若,则中至少有一个大于等于”的逆命题是真命题.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知,不正确;
根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知,正确;
根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知,不正确;
根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,,不正确.
【详解】对于,命题“若,则”的否命题为“若,则”,故不正确;
对于,因为时,满足向量共线,但是不能说方向相同,所以命题“若平面向量共线,则方向相同”是假命题,所以其逆否命题也是假命题,故正确;
对于,因为命题“若或,则”的逆否命题”若,则且”是假命题,所以原命题也是假命题,故不正确;
对于,因为命题“若,则中至少有一个大于等于”的否命题”若,则都小于2”是假命题,所以逆命题也是假命题,故不正确.
故选:B
【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断,属于基础题.
5.已知椭圆的中心在原点,长轴长为,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的几何性质得到后,讨论焦点的位置可得椭圆方程.
【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,
因为椭圆的长轴长为,且两个焦点恰好将长轴三等分,
所以,
所以,所以,
当焦点在轴上时,椭圆的标准方程为,
当焦点在轴上时,椭圆标准方程为,
故选:D
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和几何性质,属于基础题.
6.如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且.用表示向量的结果是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得.
【详解】如图所示:
因为
.
故选:D
【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.
7.空间四边形中若则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得.
【详解】因为
,
因为,,所以,
所以,
故选:B
【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题.
8.已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影为点,点的坐标为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义,得=,
再利用两点之间连线段最短可得.
【详解】如图所示:
设抛物线的焦点为,则,
因为,
当且仅当三点共线,且在线段上时,取得等号.
故选:B
【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.
9.如图,在正方体中,、分别为、的中点,为上一动点,记为异面直线与所成的角,则的集合是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
分别以边所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系:
设正方体边长为1,,并能确定以下几点坐标:
;
∴
∴
∴
∴
故选A
10.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同,点是两曲线的一个交点,且垂直轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别在双曲线和抛物线中求出的坐标为和,由此列式可求得.
【详解】不妨设在第一象限内,
则在双曲线中,,,
在抛物线中,,
所以,且,
所以,所以,所以,
所以,
所以或(舍).
故选:C
【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.
11.已知椭圆与双曲线有公共焦点且两条曲线在第一象限的交点为点,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程可知焦点在轴上,所以,再联立椭圆与双曲线方程解得点的纵坐标的绝对值,然后利用面积公式可求得.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上,
所以椭圆的焦点在轴上,
所以,即,
联立 ,所以,所以,
所以,
所以 ,
所以,即点的纵坐标的绝对值为,
又,
所以的面积为.
故选:C
点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.
12.已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点,右焦点,线段中点为,且,则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设,所以,根据定比分点坐标公式可得弦的中点坐标,再根据弦的中点在椭圆内列不等式可解得.
【详解】设,
因为,,所以,
因为,所以,
由定比分点坐标公式得,,化简得,
所以弦的中点坐标为,
根据弦的中点在椭圆内可得,
所以,所以,又离心率,所以.
故选:A
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡相应位置.)
13.命题“”是真命题,则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意列式或且,可解得.
【详解】因为命题“”是真命题,
所以对任意实数都成立,
所以或且,
所以或,
综上所述:实数的取值范围是.
故答案为:
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题.
14.双曲线的一条弦恰被点平分,则这条弦所在的直线方程是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设弦为,,,将的坐标代入椭圆方程作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.
【详解】设弦为,,,
所以,,
所以,
所以,
又弦的中点为,
所以,,
所以,
由点斜式得弦所在直线的方程为:,
即.
故答案为: .
【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题.
15.已知A、B是过抛物线焦点F的直线与抛物线的交点,O
是坐标原点,满足,则的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得倾斜角的三角函数值,然后结合面积公式和三角函数的定义可得p的值.
【详解】设焦点弦的倾斜角为,
由抛物线焦点弦的焦半径公式可知:,,
故:,解得:,故,
设原点到直线AB的距离为h,则,
由三角函数的定义可得:,即,解得:.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式,抛物线中的三角形问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.如图所示,在直四棱柱中,底面为菱形,且,为侧棱的中点,分别是线段和线段上的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中正确的序号是_____________.
①在△内总存在与平面平行的线段;
②平面⊥平面;
③三棱锥的体积为定值;
④△可能为直角三角形.
【答案】①②③
【解析】
【分析】
对于①,取的中点,则可证就是满足条件的线段;
对于②,可证与平面垂直,再由平面与平面垂直的判定定理可证;
对于③,可用等体积法求得三棱锥的体积为定值;
对于④, 设,,可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.
【详解】如图所示:
取的中点,的中点,的中点,连,,
对于①,根据梯形中位线有,又,所以,
所以四边形为平行四边形,所以,
又平面,平面,
所以平面,故①正确;
对于②,在直四棱柱中,底面为菱形,,所以,又直四棱柱的侧面与底面垂直,所以平面,而,所以平面,因为平面,所以平面⊥平面,故②正确,
对于③,设,则为定值,故③正确;
对于④, 设,,则,,,
因为,所以△为等腰三角形,所以不可能为直角,
又
,
因为,所以或时, 取得最小值,最小值为,
所以,
所以>0,所以恒为锐角,不可能为直角,故④不正确.
故答案为:①②③
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等体积法求体积,余弦定理判断三角形形状,属于中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.若命题实数满足,命题实数满足.
(1)当且为真命题时,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1) 为真命题时,与都是真命题,用和或取公共部分即可得到;
(2)利用真子集关系列式即可得到.
【详解】解:(1)由,得,
当时,由,得或,
∴或,
为真命题,真且真,
,
∴实数的取值范围为.
(2)因为,由,得,
设,
是的必要不充分条件,,
,
又∴,
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.
18.(1)已知中心在原点的双曲线的焦点坐标为,且渐近线方程为,求双曲线的标准方程;
(2)在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足,当点在该圆上运动时,求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据,,,联立解方程组可解得,,从而可得;
(2)设出的坐标为,根据中点公式可得的坐标,再将的坐标代入椭圆方程可得.
【详解】解:(1)依题可知双曲线的焦点在轴上,
则设其方程为:,且①
双曲线的渐近线方程为,即②
又③,由①②③得
得双曲线方程为:
(2)设轨迹上任一点的坐标为,点的坐标为,
则依题意可知点坐标为
的中点为,即
点圆上运动,,所以,
,
经检验所求方程符合题意,
点的轨迹方程为.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.
19.如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行常用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行的性质定理,三是利用面面平行的性质;(2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析:(I)记与的交点为,连接,∵、分别是
的中点,是矩形
∴四边形是平行四边形,∴∥,∵平面
平面,∴∥平面6分
(Ⅱ)在平面中过作于,连接,
∵
∴平面,∴是在平面上的射影,
由三垂线定理点得
∴是二面角的平面角,
在中,,
∴
二面角的大小为8分
另解:以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,
,设与交于点,则
(I)易得:,
则∥,由面,故∥面;
(Ⅱ)取面的一个法向量为,面的一个法向量为,
则,
故二面角的大小为.
考点:证明线面平行及求二面角
20.已知抛物线的方程为,上一点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程及点的坐标;
(2)过点的直线与抛物线交于点,与轴交于点,设,,求证:是定值..
【答案】(1),(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用抛物线的定义列式可解得,可得抛物线,令,可得的值;
(2) 设直线的方程为,并代入抛物线,由韦达定理以及向量关系可解得.
【详解】解:(1)依题意得抛物线的准线为,
抛物线上一点到焦点的距离为,由抛物线的定义可得,,
抛物线的方程为,
,.
(2)当直线的斜率不存在时不符合题意,故直线的斜率必存在且不为.
直线过点,设直线的方程为,
当时,,点坐标,
设,
由,得,整理得,
,,
,,
,,
即同理可得
,
即是定值.
【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,向量的线性运算,属于中档题.
21.如图所示,等腰梯形中,,,,为中点,与交于点,将沿折起,使点到达点的位置(平面).
(1)证明:平面⊥平面;
(2)若,试判断线段上是否存在一点(不含端点),使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在点为的中点时,使直线与平面所成角的正弦值为,
【解析】
【分析】
(1)利用线面垂直的判定定理证平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB⊥平面ABCE可得;
(2)利用证明OP⊥OB,然后以O为原点,分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量可求得直线与平面所成角的正弦值,根据已知列等式可解得.
【详解】解:(1)证明:连接,在等腰梯形ABCD中,,,
为中点,四边形为菱形,⊥AE,
,即,且平面平面,∴AE⊥平面POB
又AE⊂平面ABCE,平面POB⊥平面ABCE.
(2)由(1)可知四边形为菱形,在等腰梯形ABCD中正三角形同理
,,∴OP⊥OB,
由(1)可知,以O为原点,分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
由题意得,各点坐标为,,,,,
∴,设,
,
设平面的一个法向量为,
则,即,
取,得,所以=(0,1,),
设直线与平面所成角为,
则,即,
化简得:,解得,
存在点为的中点时,使直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.
22.已知椭圆的离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为.过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段长度的最大值,并求此时点的坐标.
【答案】(1)(2)取得最大值,此时点P位置是椭圆的左顶点
【解析】
【分析】
(1)根据离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为,列式可解得;
(2)先求出点的横坐标的取值范围,再设出过点P的圆的切线方程为,根据圆心到直线的距离求出,可得,根据韦达定可得,再求出弦长,并利用单调性求出最大值即可.
【详解】解:(1)∵椭圆的离心率为,
所以,所以,又,
∴,
当时,,∴,
∴椭圆的方程是.
(2)设,由得,(舍去),
因为在椭圆上,过作椭圆的切线有两条,
如图所示:
∴.
设过点P的圆的切线方程为,
∵圆心到直线的距离为1,
∴,化简得,
∴.所以,
设则,
∴,
∴.
∵是椭圆上的点,∴,所以,
∴,
令,,
∴在上单调递减,
在内也是单调递减,
所以时,取得最小值1,时,取得最大值,
又,所以 ,
∴,
所以当时,取得最大值,
此时点P位置是椭圆的左顶点.
【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,,点到直线距离,圆的切线方程,利用单调性求最大值,属于难题.