【数学】2018届一轮复习人教A版交集与并集问题学案 4页

‎1.3.1交集与并集 问题导学 一、集合的交集、并集运算 活动与探究1‎ ‎(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于(　　)．‎ A．{0,1} B．{－1,0,1}‎ C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}‎ ‎(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.‎ 迁移与应用 ‎1．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于(　　)．‎ A．{0,1} B．{－1,0,1}‎ C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}‎ ‎2．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则下图中阴影部分表示的集合是(　　)．‎ A．{2,4,6} B．{1,3,6}‎ C．{1,2,3,4,6} D．{6}‎ ‎3．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.‎ 求集合的交集、并集运算，首先应看清集合中元素的取值范围，化简集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，用“空心点”表示．‎ 二、交集、并集的简单应用 活动与探究2‎ 设集合A＝{－4,‎2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}．已知A∩B＝{9}，求a的值以及A∪B.‎ 迁移与应用 若集合M＝{－1，a,3}，N＝{a＋2，a－2}，且M∩N＝{3}，则a＝__________. ‎ 处理集合中的参数问题时，要始终具有检验意识，除了按照条件进行检验外，还应根据集合元素的互异性进行检验．‎ 三、交集、并集性质的应用 活动与探究3‎ 设集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范围．‎ 迁移与应用 ‎1．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．‎ ‎2．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类条件，解答时常借助A∪B＝B⇔A⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B进行转化求解．‎ ‎(2)当集合A，B满足A⊆B时，如果集合B是一个确定的集合，而集合A 不确定时，要考虑A＝和A≠两种情况，切不可漏解．‎ ‎(3)求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时，要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解．‎ 当堂检测 ‎1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B等于(　　)．‎ A．{3,5} B．{3,6} C．{3,7} D．{3,9}‎ ‎2．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于(　　)． ‎ A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}‎ C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}‎ ‎3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是(　　)．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__________．‎ ‎5．已知A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3,‎2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求a的值．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ ‎1．(1)A∩B　A交B　{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎(2)①B∩A　②⊆　③⊆　④A　⑤‎ 预习交流1　提示：这种说法不正确，两个集合没有公共元素时，它们的交集是空集，但不能说它们没有交集，任何两个集合都可以进行交集运算．‎ 预习交流2　提示：不一定．两个非空集合的交集可能是空集，也可能是非空集合．交集是否为非空集合主要取决于它们是否有公共元素．‎ ‎2．(1)A∪B　A并B　{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎(2)①B∪A　②⊆　③⊆　④A　⑤A 预习交流3　(1)提示：不对．不能简单地认为A∪B是由A中的所有元素和B中的所有元素简单拼凑构成的集合．并集作为一个集合，其元素满足互异性，相同的元素只能算作一个．因此A∪B中，最多含有5个元素，也可能含有3个或4个元素．‎ ‎(2)提示：A∪B中的元素可以分为以下三类：①在A中不在B中的元素；②在B中不在A中的元素；③既在A中也在B中的元素．‎ ‎(3)提示：由交集、并集的定义，结合Venn图可知，当A∩B＝A(或A∪B＝B)时，能推得A⊆B.所以交集、并集具有以下重要的性质：‎ A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.‎ 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　思路分析：(1)首先化简M，N，然后再求交集．[ ]‎ ‎(2)集合A，B都是无限集，可借助数轴直观求解A∩B，A∪B.‎ ‎(1)B　解析：由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1，2,3}，‎ 所以M∩N＝{－1,0,1}．故选B.‎ ‎(2)解：分别在数轴上表示集合A和B，‎ 根据交集、并集的定义，由上图知，‎ A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．‎ 迁移与应用　1．A ‎2．C　解析：阴影部分表示的集合是A∪B＝{1,2,3,4,6}．‎ ‎3．解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．‎ ‎ ‎ 活动与探究2　思路分析：由A∩B＝{9}知，9是集合A和B的公共元素且是唯一的公共元素，由此求出a的值，确定A，B，然后求A∪B，要注意集合中的元素满足互异性．‎ 解：由于A∩B＝{9}，‎ 所以9是集合A与B的唯一的公共元素，‎ 因此9∈A，于是2a－1＝9或a2＝9.‎ 若‎2a－1＝9，得a＝5，这时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，[ 学_科_网]‎ 则A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，因此a＝5不合题意．‎ 若a2＝9，则a＝±3.‎ 当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，集合B中的元素不满足互异性，故a＝3不合题意．‎ 当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，则A∩B＝{9}，‎ 故a＝－3符合题意，这时A∪B＝{－4，－7,9，－8,4}．‎ 综上，实数a＝－3，A∪B＝{－4，－7,9，－8,4}．‎ 迁移与应用　5　解析：由于M∩N＝{3}，‎ 所以3∈N.‎ 若a＋2＝3，则a＝1，这时M＝{－1,1,3}，N＝{3，－1}，不符合M∩N＝{3}；‎ 若a－2＝3，则a＝5，这时M＝{－1,5,3}，N＝{7,3}，符合题意，故a＝5.‎ 活动与探究3　思路分析：由条件A∩B＝B知B⊆A，然后对B分是否为进行讨论，求出a的取值范围．‎ 解：∵A∩B＝B，∴B⊆A.∵A＝{－2}≠，‎ ‎∴B＝或B≠.‎ 当B＝时，方程ax2＋x＋1＝0无实数解，‎ 即∴∴a＞.‎ B≠时，当a＝0时，方程变为x＋1＝0，即x＝－1，‎ ‎∴B＝{－1}．此时A∩B＝，不满足条件，舍去．‎ 当a≠0时，‎ 依题意知方程ax2＋x＋1＝0有相等的实根，即Δ＝0，‎ ‎∴1－‎4a＝0.∴a＝.‎ 此时方程变为x2＋x＋1＝0，‎ 其解为x＝－2，满足条件．综上可得a≥.‎ 迁移与应用　1．解：如图．‎ 由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，集合A的右端点应介于1和3之间，可以为3但不能为－1，∴1＜a≤3.‎ ‎2．解：A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A.集合B有两种情况，B＝或B≠.‎ 当B＝时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，‎ ‎∴Δ＝16－‎4a＜0.∴a＞4.‎ 当B≠时，若Δ＝0，则a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；‎ 若Δ＞0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解．∴a＝4. ‎ 综上可知a的取值范围是a≥4.‎ ‎【当堂检测】[ ]‎ ‎1．D ‎2．A　解析：借助数轴，易知A∪B＝{x|x≥－1}．‎ ‎3．D　解析：由B∩A＝B可得B⊆A，因此B就是A的子集，所以符合条件的集合B一共有4个：，{2}，{－3}，{2，－3}． ‎ ‎4．a≤1‎ ‎5．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.‎ 易知a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或‎2a－1＝－3.‎ 若a－3＝－3，即a＝0，‎ 此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，‎ 则A∩B＝{1，－3}，这与已知矛盾．‎ 若‎2a－1＝－3，则a＝－1，‎ 此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－4,2}，‎ 则A∩B＝{－3}，符合题意．综上可知a＝－1.‎