山东省烟台市莱阳市第一中学2020届高三上学期10月月考数学试题 17页

‎2019—2020学年高三10月月考检测 数学试卷 一、单选题 ‎1.已知集合，，则的真子集的个数为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二次不等式求得集合A，根据对数函数的单调性求得集合B，然后确定出集合，进而可得真子集的个数．‎ ‎【详解】由题意得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴的真子集的个数为个．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】一个含有个元素的集合的子集个数为个，真子集的个数为（）个，非空子集的个数为（）个，非空真子集的个数为（）个．‎ ‎2.“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 得不到，比如无意义，，根据对数函数在定义域上是增函数，则，由于是增函数,可得到，“”是“”必要不充分条件，故选C.‎ ‎3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象如图，则φ=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像可求得，再代入最大值点，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为|φ|＜，因此，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数图像求解析式，考查学生的看图分析能力，注意求φ时，最好代入最值点，避免出现两个解，属基础题.‎ ‎4.已知平面向量的夹角为，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将模平方后利用数量积的定义计算其结果，然后开根号得出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎ ，因此，，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用平面向量的数量积来求平面向量的模，通常利用平方法结合平面向量数量积的定义来进行求解，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎5.已知向量且与互相垂直，则（　　）‎ A. B. C. . D. .‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与互相垂直，则，计算可得出答案.‎ ‎【详解】由题意，，解得.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】1.已知两个非零向量，，.‎ ‎2.设，则或.‎ ‎3..‎ ‎6.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 9 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列下标和性质可求得，结合对数的运算法则可求得结果.‎ ‎【详解】由等比数列下标和的性质可得：，‎ 等比数列的各项均为正数，，‎ ‎.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列下标和性质应用，涉及到对数的运算，属于基础题.‎ ‎7.等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过数列性质判断，再通过数列的正负判断的最小值.‎ ‎【详解】∵等差数列中，，∴，即.又，∴的前项和的最小值为.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了数列和的最小值，将的最小值转化为的正负关系是解题的关键.‎ ‎8.在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则 的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值 ‎【详解】在中，‎ 由正弦定理可得 化为：‎ 即 在中，，故 ‎,‎ 可得，即 故选 ‎【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎9.以下关于的命题，正确的是 A. 函数在区间上单调递增 B. 直线需是函数图象的一条对称轴 C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.‎ ‎【详解】‎ A选项，函数先增后减，错误 B选项，不是函数对称轴，错误 C选项，，不是对称中心，错误 D选项，图象向左平移需个单位得到，正确 故答案选D ‎【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．‎ ‎【详解】解：是定义在上的偶函数，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 在，上是增函数，‎ 在，上为减函数，‎ 则，‎ 即，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎11.点为所在平面内一点，则的形状为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得OA和BC垂直，由得到OA是∠BAC角平分线，综合即可判断△ABC的形状.‎ ‎【详解】,‎ 所以.‎ AO在∠BAC角平分线上，‎ 所以AO既在BC边的高上，也是∠BAC的平分线，‎ 所以△ABC是等腰三角形.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12.已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.‎ ‎【详解】由题，‎ 即 ‎ 由累加法可得： ‎ 即 对于任意的，不等式恒成立 即 ‎ 令 ‎ 可得且 即 ‎ 可得或 故选B ‎【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13.已知数列为等差数列且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等差数列的性质求得，代入正弦函数即可．‎ ‎【详解】在等差数列中，由，得，‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，求特殊三角函数值，属于基础题，题目意在考查对等差数列性质和特殊三角函数的掌握情况．‎ ‎14.已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，令后可得的值．‎ ‎【详解】，令，‎ 则，故．填．‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意为常数．‎ ‎15.已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出与的坐标，再根据与夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数的取值范围，．‎ ‎【详解】向量，，，，‎ 若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，‎ 即，且，‎ 求得，且．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．‎ ‎16.在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 由余弦定理得：（当且仅当时取等号）‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17.设函数，其中.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小值为，最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用辅助角公式化简，并利用解方程，解方程求得的值.（2）求得图像变换后的解析式，根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）因为.‎ 由题设知，所以，故，又，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得.所以.，‎ 所以当，即时，取得最小值，‎ 当，即时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的最值的求法.‎ ‎18.已知向量，，函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）的增区间是，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出 的面积..‎ 详解】（1）‎ 令，‎ 解得 ‎∴的增区间是，‎ ‎（2）‎ ‎∵‎ ‎∴解得 又∵∴中，‎ 由正弦定理得 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.‎ ‎19.已知数列的前项和为，且2，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和；‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用 求解；‎ ‎（2）由（1）知，，差比数列，利用错位相减法求其前n项和.‎ ‎【详解】（1）由题意知成等差数列，所以 ① ,‎ 可得 ②‎ ‎①-②得，又，，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）可得，用错位相减法得：‎ ‎　①‎ ‎　②‎ ‎①-②可得.‎ ‎【点睛】已知 与的关系式利用公式求解 错位相减法求等差乘等比数列的前n项和．‎ ‎20.数列满足：，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.‎ ‎【答案】（1）；（2）10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）n=1时，可求得首项，n≥2时，将已知中的n用n-1代换后，与已知作差可得，再验证n=1也符合，即可得到数列{an}的通项；（2）由（1）可得bn的通项公式，由裂项相消法可得Sn，再由不等式，得到所求最小值n．‎ ‎【详解】（1）∵．‎ n=1时，可得a1＝4，‎ n≥2时，．‎ 与．‎ 两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，‎ ‎∴．n=1时，也满足，∴.‎ ‎（2）=‎ ‎∴Sn，又，可得n>9，‎ 可得最小正整数n为10．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将n换为n﹣1，以及裂项相消的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎21.如图，已知菱形的边长为2，，动点满足，.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 时，分别为的中点，可得，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到按照向量点积公式展开得到结果.‎ ‎【详解】（1）当时，分别为的中点，‎ 此时易得且的夹角为，则 ‎;‎ ‎（2）‎ ‎，故.‎ ‎【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎22.已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）判断函数零点个数;‎ ‎（3）用表示的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）函数只有一个零点；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，代入得为直线的斜率，利用点斜式可求直线方程；‎ ‎（2）先求导数，结合导数的符号，判定零点的个数；‎ ‎（3）为增函数，转化为恒成立，然后利用分离参数法求解.‎ ‎【详解】（1）∵，∴切线的斜率，.‎ ‎∴函数在点处的切线方程为.‎ ‎（2）∵，，∴，，，‎ ‎∴存在零点，且.∵，‎ ‎∴当时，；当时，由得 ‎.∴在上是减函数.‎ ‎∴若，，，则.∴函数只有一个零点，且.‎ ‎（3）解：，故，‎ ‎∵函数只有一个零点，∴，即.∴.‎ ‎∴在为增函数在，恒成立.‎ 当时，即在区间上恒成立.‎ 设，只需，‎ ‎，在单调递减，在单调递增.‎ 的最小值，.‎ 当时，，由上述得，则在恒成立.‎ 综上述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用，切线问题求解时注意是在某点处的切线还是过某点的切线，利用导数求解参数的取值范围时，常用分离参数法，然后求解最值，综合性较强，难度较大，侧重考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎ ‎