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  • 2021-06-16 发布

江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟(二)数学试题

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南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷(二) 2020-06-22 时间:120 分钟 满分:150 分 一、单项选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.已知集合 , ,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 2.设 ,其中 , 是实数,则 ( ) A.1 B. C. D.2 3.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系 统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成 一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ,计算其体积 的近似公式 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近似公式 相当于将 圆锥体积公式中的 近似取为( ) A. B. C. D. 5.函数 与 的图象如图所示,则 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. }032|{ 2 ≤−−= xxxA 12|{ <≤−= xxB }Zx ∈ =BA  }1,2{ −− }0,1{− }0,2{− }1,1{− yixi +=+ 1)1( x y =+ || yix 2 3 ξ ( )21,N σ ( 4) 0.9P ξ < = 1( )2P ξ− < < = 0.2 0.3 0.4 0.6 L h V 21 .36v L h≈ π 22 75v L h≈ π 22 7 25 8 157 50 355 113 ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= ⋅ 6. 的展开式的中间项为( ) A. B. C. 40 D. 7.已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线 ( , ), , 分别为 的左,右焦点,过 作与一条渐近线垂直的直线,与渐近线交于 ,与双曲线右支交于 ,若 , 则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分, 9.已知 的最小正周期为 ,则下列说法正确的有 ( ) A. B.直线 是函数 图象的一条对称 轴 C.函数 在 上为增函数 D. 是函数 图象的一个对称 中心 10.已知 P 是椭圆 C: 上的动点,Q 是圆 D: 上的动点,则( ) A.C 的焦距为 B.C 的离心率为 C.圆 D 在 C 的内部 D. 的最 小值为 11. 下列命题中,正确命题的是(  ) A. 已知随机变量服从二项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X)=20,则 p=2 3 B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变 6 3 ) 4 12( x x − 40− 240x− 240x 5 3)4sin( =− πα )2,0( πα ∈ =αcos 2 10 3 2 10 2 2 7 2 10 1: 2 2 2 2 =− b y a xC 0>a 0>b 1F 2F C 1F H P HFPF 11 4= 15 3 21 3 5 3 7 3 ( ) ( )22 3 2 1 0f x cos x sin xω ω ω= + − > π 2ω = 3x π= ( )y f x= ( )f x [0, ]6 π )0,12 5( π ( )y f x= 2 2 16 x y+ = ( )2 2 11 5x y+ + = 5 30 6 PQ 2 5 5 C. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ>1)=p,则 P(-1<ξ≤0)=1 2 -p D. 某人在 10 次射击中,击中目标的次数为 X,X~B(10,0.8),则当 X=8 时概率最大 12 对于定义域为 D 的函数 f(x),若存在区间[m,n ]⊆D,同时满足下列条件: ① f(x)在[m,n ]上是单调的; ②当定义域是[m,n ]时,f(x)的值域也是[m,n ],则称[m,n ]为该函数的“和谐区间”. 下列函数存在“和谐区间”的是(  ) A. f(x)=2x B. f(x)=3-2 x C. f(x)=x2-2x D. f(x)=lnx+2 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.向量 ,若 与 共线,则实数 __________. 14.已知圆 关于直线 对称,则 的最小值 为_____. 15.已知 是抛物线 上的动点,点 在 轴上的射影是 ,点 的坐标为 ,则 的最小值是__________. 16.在正方体 中,E 为棱 CD 的中点,F 为棱 的中点,且平面 BEF 与 交于点 G,与 交于点 H,则 ______, ______. ( ) ( ), 4 , 1,a x b x= − = −  a b x = ( ) ( )2 22 1 2x y− + − = ( )1 0, 0ax by a b+ = > > 2 1 a b + P 2 4y x= P y M A ( )2,3 PA PM+ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 1DD 1AC 1 DG DD = 1 AH HC = 四、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知各项均不相等的等差数列 的前 项和为 ,且 是等比数列 的前 项. (1)求 ; (2)设 ,求 的前 项和 . 18.(12 分)如图,在平面直角坐标系 中,以 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的终 边分别与单位圆交于点 , .若点 的横坐标是 ,点 B 的纵坐标是 . (1)求 的值;(2)求 的值. { }na 4 10 1 2 4, ,a a a { }nb 3 ,n na b ( ) 1 1n n n n c b a a = + + { }nc n nS xOy x α β A B A 10 103 5 52 )cos( βα − βα + 19.(12 分)如图,在直三棱柱 中,点 , 分别为线段 , 的中 点. (1)求证: 平面 ; (2)若 在边 上, ,求证: . 20.(12 分)读书可以使人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气书籍是文 化的重要载体,读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况,随 机抽取了 名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频 率分布直方图,将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读 书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低 xO y A B 111 CBAABC − M N BA1 1AC //MN CCBB 11 D BC 1DCAD ⊥ ADMN ⊥ A B CD M N A1 B1 C1 n 于 10 分钟的有 10 人. (1)求 , 的值; (2)根据已知条件完成下面的 列联表,并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关? (3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 名学生,每 次抽取 名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机变 量 ,求 的分布列和期望 . 附: ,其中 . 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左、右焦点分 非读书之 星 读书之星 总计 男 女 总计 n p 2 2× 3 1 X X ( )E X ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + )( 0 2 kKP ≥ 0k 10 55 别为 F1,F2,P 为椭圆上一点(在 x 轴上方),连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q,设PF1→ = λF1Q→ . (1)若点 P 的坐标为 (1,3 2 ),且△PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程; (2)若 PF2 垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 e∈[1 2 , 2 2 ],求实数 λ 的取值范围. 22.(12 分)已知函数 f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R. (1)当 a=b=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)当 b=2a+1 时,讨论函数 f(x)的单调性; x O y P F1 F2Q 南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷(二)答案 2020-06-22 一、选择题:(1)B (2)B (3)C (4)B (5)A (6)B (7)A (8)C 二、多项选择:(9)CD (10)BC (11) BCD(12)BD. 三、填空题:(13) (14)9 (15) (16) , 四、解答题: 17、解:(1)设数列 的公差为 , 由题意知: ① 又因为 成等比数列, 所以 , , , 又因为 , 所以 . ② 由①②得 , 所以 , , , , . (2)因为 , 所以 2± 110 − 4 1 5 2 { }na d ( ) 1 2 3 4 1 1 4 4 14 + 4 6 102a a a a a d a d × −+ + + = = + = 1 2 4, ,a a a 2 2 1 4a a a= ⋅ ( ) ( )2 1 1 1 3a d a a d+ = ⋅ + 2 1d a d= 0d ≠ 1a d= 1 1, 1a d= = na n= 1 1 1b a= = 2 2 2b a= = 2 1 2bq b = = 12n nb −∴ = ( )1 11 1 12 21 1 n n nc n n n n − −  = + = + − + +  0 1 1 1 1 1 1 12 2 ... 2 1 2 2 3 1 n nS n n −  = + + + + − + − +⋅⋅⋅+ − +  所以数列 的前 项和 . 18.解: 因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A,且点 A 的横坐标是 3 10 , 所以,由任意角的三角函数的定义可知,cosα= 3 10 , 从而 sinα= 1-cos2α= 10 . …………………… 2 分 因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B,且点 B 的纵坐标是2 5 , 所以 sinβ=2 5 ,从而 cosβ=- 1-sin2β=- 5 . …………………… 3 分 (1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = 3 10 ×(- 5)+ 10 ×2 5 =- 10 . …………………… 6 分 (2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = 10 ×(- 5)+ 3 10 ×2 5 = 2 . …………………… 11 分 因为 α 为锐角,β 为钝角,故 α+β∈(π 2 ,3π 2 ), 所以 α+β=3π 4 . …………………… 12 分 19.证明:(1)如图,连结 A1C. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 为平行四边形. 又因为 N 为线段 AC1 的中点, 所以 A1C 与 AC1 相交于点 N, 即 A1C 经过点 N,且 N 为线段 A1C 的中点. ……………… 2 分 因为 M 为线段 A1B 的中点, 所以 MN∥BC. ……………… 4 分 又 MN⊄平面 BB1C1C,BC⊂平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C. …………………… 6 分 1 2 111 2 1 n n −= + −− + 12 1 n n = − + { }nc n 12 1 n nS n = − + A B CD M N A1 B1 C1 (第 16 题) (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC. 又 AD⊂平面 ABC,所以 CC1⊥AD. …………………… 6 分 因为 AD⊥DC1,DC1⊂平面 BB1C1C,CC1⊂平面 BB1C1C,CC1∩DC1=C1, 所以 AD⊥平面 BB1C1C. …………………… 8 分 又 BC⊂平面 BB1C1C,所以 AD⊥BC. …………………… 10 分 又由(1)知,MN∥BC,所以 MN⊥AD. …………………… 12 分 20.【详解】(1) 解得: , 所以 . (2)因为 ,所以“读书之星”有 从而 列联表如下图所示: 非读书之星 读书之星 总计 男 女 总计 将 列联表中的数据代入公式计算得 因为 ,所以没有 以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 . 由题意可知 所以 , ( )0.005 0.018 0.020 0.022 0.025 10 1P+ + + + + × = 0.01P = 10 0. 101 0n = = 100n = 100 0.25 25× = 2 2× 30 15 45 45 10 55 75 25 100 2 2× ( )2 2 100 30 10 15 45 100 3.03045 55 75 25 33K × × − ×= = ≈× × × 3.030 3.841< 95% 1 4 1~ 3, 4X B     ( ) 3 0 3 0 1 1 270 4 1 4 64P X C    ×     − =   = = ( ) 3 2 1 1 271 1 4 64 1 4P X C = = − =×   所以 的分布列为 故 . 21. 解:(1)因为 F1,F2 为椭圆 C 的两焦点,且 P,Q 为椭圆上的点, 所以 PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2 的周长为 4a. 由题意,得 4a=8,解得 a=2. …………………… 2 分 因为点 P 的坐标为 (1,3 2 ),所以 1 a2+ 9 4b2=1, 解得 b2=3. 所以椭圆 C 的方程为x2 4 +y2 3 =1. …………………… 5 分 (2)方法一:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0.设 Q(x1,y1). 因为 P 在椭圆上,所以c2 a2+ y b2=1,解得 y0=b2 a ,即 P(c,b2 a ). …………………… 7 分 因为 F1(-c,0),所以PF1→ =(-2c,-b2 a ),F1Q→ =(x1+c,y1). 由PF1→ =λF1Q→ ,得-2c=λ(x1+c),-b2 a =λy1, 解得 x1=-λ+2 λ c,y1=-b2 λa,所以 Q(-λ+2 λ c,-b2 λa). …………………… 11 分 因为点 Q 在椭圆上,所以(λ+2 λ )2e2+ b2 λ2a2=1, 即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1, 因为 λ+1≠0, ( ) 2 2 3 1 92 1 4 64 1 4P X C    ×       = = − = ( ) 3 3 3 4 13 64 1P X C     =  = = X X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 ( ) 1 33 4 4E X = × = 所以(λ+3)e2=λ-1,从而 λ=3e2+1 1-e2 = 4 1-e2-3. …………………… 14 分 因为 e∈[1 2 , 2 2 ],所以1 4≤e2≤1 2,即7 3≤λ≤5. 所以 λ 的取值范围为[ 7 3,5]. …………………… 16 分 方法二:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0. 因为 P 在椭圆上,所以c2 a2+ y b2=1,解得 y0=b2 a ,即 P(c,b2 a ). …………………… 7 分 因为 F1(-c,0),故直线 PF1 的方程为 y= b2 2ac(x+c). 由{y=(x+c), +=1, 得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0. 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c,b2 a ).设 Q(x1,y1), 则 x1+c=- 2b2c 4c2+b2,即-c-x1= 2b2c 4c2+b2. …………………… 11 分 因为PF1→ =λF1Q→ , 所 以 λ = 2c -c-x1= 4c2+b2 b2 = 3c2+a2 a2-c2 = = 3e2+1 1-e2 = 4 1-e2- 3. …………………… 14 分 因为 e∈[1 2 , 2 2 ],所以1 4≤e2≤1 2,即7 3≤λ≤5. 所以 λ 的取值范围为[ 7 3,5]. …………………… 16 分 22.解:(1)因为 a=b=1,所以 f(x)=x 2-x+lnx, 从而 f ′(x)=2x -1+1 x . 因为 f(1)=0,f ′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-0=2(x-1), 即 2x-y-2=0. …………………… 3 分 (2)因为 b=2a+1,所以 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx, 从而 f ′(x)=2ax-(2a+1)+1 x=2ax2-(2a+1)x+1 x =(2ax-1)(x-1) x ,x>0. ………… 5 分 当 a≤0 时, x∈(0,1)时,f ′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0, 所以,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.…………………… 7 分 当 0<a<1 2 时, 由 f ′(x)>0 得 0<x<1 或 x> 1 2a,由 f ′(x)<0 得 1<x< 1 2a, 所以 f(x)在区间(0,1)和区间( 1 2a,+∞)上单调递增,在区间(1, 1 2a)上单调递减. 当 a=1 2 时, 因为 f ′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号), 所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当 a>1 2 时, 由 f ′(x)>0 得 0<x< 1 2a或 x>1,由 f ′(x)<0 得 1 2a<x<1, 所以 f(x)在区间(0, 1 2a)和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( 1 2a,1)上单调递减. …………………… 10 分

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