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- 2021-06-16 发布
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南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期末模拟检测试卷(二) 2020-06-22
时间:120 分钟 满分:150 分
一、单项选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.已知集合 , ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.设 ,其中 , 是实数,则 ( )
A.1 B. C. D.2
3.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系
统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成
一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ,计算其体积 的近似公式
它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近似公式 相当于将
圆锥体积公式中的 近似取为( )
A. B. C. D.
5.函数 与 的图象如图所示,则
的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
}032|{ 2 ≤−−= xxxA 12|{ <≤−= xxB }Zx ∈ =BA
}1,2{ −− }0,1{− }0,2{− }1,1{−
yixi +=+ 1)1( x y =+ || yix
2 3
ξ ( )21,N σ ( 4) 0.9P ξ < = 1( )2P ξ− < < =
0.2 0.3 0.4 0.6
L h V 21 .36v L h≈
π 22
75v L h≈
π
22
7
25
8
157
50
355
113
( )y f x= ( )y g x=
( ) ( )y f x g x= ⋅
6. 的展开式的中间项为( )
A. B. C. 40 D.
7.已知 , ,则 ( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线 ( , ), , 分别为 的左,右焦点,过
作与一条渐近线垂直的直线,与渐近线交于 ,与双曲线右支交于 ,若 ,
则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共 2 个小题,每小题 5 分,共 10 分,
9.已知 的最小正周期为 ,则下列说法正确的有
( )
A. B.直线 是函数 图象的一条对称
轴
C.函数 在 上为增函数 D. 是函数 图象的一个对称
中心
10.已知 P 是椭圆 C: 上的动点,Q 是圆 D: 上的动点,则( )
A.C 的焦距为 B.C 的离心率为 C.圆 D 在 C 的内部 D. 的最
小值为
11. 下列命题中,正确命题的是( )
A. 已知随机变量服从二项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X)=20,则 p=2
3
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变
6
3 )
4
12(
x
x −
40− 240x− 240x
5
3)4sin( =− πα )2,0(
πα ∈ =αcos
2
10
3 2
10
2
2
7 2
10
1: 2
2
2
2
=−
b
y
a
xC 0>a 0>b 1F 2F C 1F
H P HFPF 11 4=
15
3
21
3
5
3
7
3
( ) ( )22 3 2 1 0f x cos x sin xω ω ω= + − > π
2ω =
3x
π= ( )y f x=
( )f x [0, ]6
π
)0,12
5( π ( )y f x=
2
2 16
x y+ = ( )2 2 11 5x y+ + =
5 30
6
PQ
2 5
5
C. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ>1)=p,则 P(-1<ξ≤0)=1
2
-p
D. 某人在 10 次射击中,击中目标的次数为 X,X~B(10,0.8),则当 X=8 时概率最大
12 对于定义域为 D 的函数 f(x),若存在区间[m,n ]⊆D,同时满足下列条件:
① f(x)在[m,n ]上是单调的;
②当定义域是[m,n ]时,f(x)的值域也是[m,n ],则称[m,n ]为该函数的“和谐区间”.
下列函数存在“和谐区间”的是( )
A. f(x)=2x B. f(x)=3-2
x
C. f(x)=x2-2x D. f(x)=lnx+2
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.向量 ,若 与 共线,则实数 __________.
14.已知圆 关于直线 对称,则 的最小值
为_____.
15.已知 是抛物线 上的动点,点 在 轴上的射影是 ,点 的坐标为 ,则
的最小值是__________.
16.在正方体 中,E 为棱 CD 的中点,F 为棱 的中点,且平面 BEF 与
交于点 G,与 交于点 H,则 ______, ______.
( ) ( ), 4 , 1,a x b x= − = − a b x =
( ) ( )2 22 1 2x y− + − = ( )1 0, 0ax by a b+ = > > 2 1
a b
+
P 2 4y x= P y M A ( )2,3
PA PM+
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA
1DD 1AC
1
DG
DD
=
1
AH
HC
=
四、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10 分)已知各项均不相等的等差数列 的前 项和为 ,且 是等比数列
的前 项.
(1)求 ; (2)设 ,求 的前 项和 .
18.(12 分)如图,在平面直角坐标系 中,以 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的终
边分别与单位圆交于点 , .若点 的横坐标是 ,点 B 的纵坐标是 .
(1)求 的值;(2)求 的值.
{ }na 4 10 1 2 4, ,a a a
{ }nb 3
,n na b ( )
1
1n n
n n
c b a a
= + + { }nc n nS
xOy x α β
A B A
10
103
5
52
)cos( βα − βα +
19.(12 分)如图,在直三棱柱 中,点 , 分别为线段 , 的中
点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 在边 上, ,求证: .
20.(12 分)读书可以使人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气书籍是文
化的重要载体,读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况,随
机抽取了 名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频
率分布直方图,将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读
书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低
xO
y
A
B
111 CBAABC − M N BA1 1AC
//MN CCBB 11
D BC 1DCAD ⊥ ADMN ⊥
A
B CD
M N
A1
B1 C1
n
于 10 分钟的有 10 人.
(1)求 , 的值;
(2)根据已知条件完成下面的
列联表,并判断是否有 95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?
(3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 名学生,每
次抽取 名,已知每个人是否被抽到互不影响,记被抽取的“读书之星”人数为随机变
量 ,求 的分布列和期望 .
附: ,其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的左、右焦点分
非读书之
星
读书之星 总计
男
女
总计
n p
2 2×
3
1
X X ( )E X
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
)( 0
2 kKP ≥
0k
10 55
别为 F1,F2,P 为椭圆上一点(在 x 轴上方),连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q,设PF1→
=
λF1Q→
.
(1)若点 P 的坐标为 (1,3
2
),且△PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程;
(2)若 PF2 垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 e∈[1
2
, 2
2
],求实数 λ 的取值范围.
22.(12 分)已知函数 f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R.
(1)当 a=b=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程;
(2)当 b=2a+1 时,讨论函数 f(x)的单调性;
x
O
y
P
F1
F2Q
南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期末模拟检测试卷(二)答案 2020-06-22
一、选择题:(1)B (2)B (3)C (4)B (5)A (6)B (7)A (8)C
二、多项选择:(9)CD (10)BC (11) BCD(12)BD.
三、填空题:(13) (14)9 (15) (16) ,
四、解答题:
17、解:(1)设数列 的公差为 ,
由题意知: ①
又因为 成等比数列,
所以 ,
,
,
又因为 ,
所以 . ②
由①②得 ,
所以 ,
, , ,
.
(2)因为 ,
所以
2± 110 −
4
1
5
2
{ }na d
( )
1 2 3 4 1 1
4 4 14 + 4 6 102a a a a a d a d
× −+ + + = = + =
1 2 4, ,a a a
2
2 1 4a a a= ⋅
( ) ( )2
1 1 1 3a d a a d+ = ⋅ +
2
1d a d=
0d ≠
1a d=
1 1, 1a d= =
na n=
1 1 1b a= = 2 2 2b a= = 2
1
2bq b
= =
12n
nb −∴ =
( )1 11 1 12 21 1
n n
nc n n n n
− − = + = + − + +
0 1 1 1 1 1 1 12 2 ... 2 1 2 2 3 1
n
nS n n
− = + + + + − + − +⋅⋅⋅+ − +
所以数列 的前 项和 .
18.解: 因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A,且点 A 的横坐标是 3
10
,
所以,由任意角的三角函数的定义可知,cosα= 3
10
,
从而 sinα= 1-cos2α=
10
. …………………… 2 分
因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B,且点 B 的纵坐标是2
5
,
所以 sinβ=2
5
,从而 cosβ=- 1-sin2β=-
5
. …………………… 3 分
(1)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
= 3
10
×(-
5)+
10
×2
5
=-
10
. …………………… 6 分
(2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=
10
×(-
5)+ 3
10
×2
5
=
2
. …………………… 11 分
因为 α 为锐角,β 为钝角,故 α+β∈(π
2
,3π
2
),
所以 α+β=3π
4
. …………………… 12
分
19.证明:(1)如图,连结 A1C.
在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1C1C 为平行四边形.
又因为 N 为线段 AC1 的中点,
所以 A1C 与 AC1 相交于点 N,
即 A1C 经过点 N,且 N 为线段 A1C 的中点. ……………… 2 分
因为 M 为线段 A1B 的中点,
所以 MN∥BC. ……………… 4 分
又 MN⊄平面 BB1C1C,BC⊂平面 BB1C1C,
所以 MN∥平面 BB1C1C. …………………… 6
分
1 2 111 2 1
n
n
−= + −− +
12 1
n
n
= − +
{ }nc n 12 1
n
nS n
= − +
A
B CD
M N
A1
B1 C1
(第 16 题)
(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC.
又 AD⊂平面 ABC,所以 CC1⊥AD. …………………… 6 分
因为 AD⊥DC1,DC1⊂平面 BB1C1C,CC1⊂平面 BB1C1C,CC1∩DC1=C1,
所以 AD⊥平面 BB1C1C. …………………… 8 分
又 BC⊂平面 BB1C1C,所以 AD⊥BC. …………………… 10 分
又由(1)知,MN∥BC,所以 MN⊥AD. …………………… 12
分
20.【详解】(1)
解得: ,
所以 .
(2)因为 ,所以“读书之星”有
从而 列联表如下图所示:
非读书之星 读书之星 总计
男
女
总计
将 列联表中的数据代入公式计算得
因为 ,所以没有 以上的把握认为“读书之星”与性别有关
(3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 .
由题意可知
所以
,
( )0.005 0.018 0.020 0.022 0.025 10 1P+ + + + + × =
0.01P =
10
0. 101 0n = =
100n = 100 0.25 25× =
2 2×
30 15 45
45 10 55
75 25 100
2 2×
( )2
2 100 30 10 15 45 100 3.03045 55 75 25 33K
× × − ×= = ≈× × ×
3.030 3.841< 95%
1
4
1~ 3, 4X B
( ) 3
0 3
0 1 1 270 4 1 4 64P X C ×
− =
= =
( ) 3
2
1 1 271 1 4 64
1
4P X C = = − =×
所以 的分布列为
故 .
21.
解:(1)因为 F1,F2 为椭圆 C 的两焦点,且 P,Q 为椭圆上的点,
所以 PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2 的周长为 4a.
由题意,得 4a=8,解得 a=2. …………………… 2
分
因为点 P 的坐标为 (1,3
2
),所以 1
a2+ 9
4b2=1,
解得 b2=3.
所以椭圆 C 的方程为x2
4 +y2
3 =1. …………………… 5 分
(2)方法一:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0.设 Q(x1,y1).
因为 P 在椭圆上,所以c2
a2+ y
b2=1,解得 y0=b2
a ,即 P(c,b2
a ). ……………………
7 分
因为 F1(-c,0),所以PF1→
=(-2c,-b2
a ),F1Q→
=(x1+c,y1).
由PF1→
=λF1Q→
,得-2c=λ(x1+c),-b2
a =λy1,
解得 x1=-λ+2
λ
c,y1=-b2
λa,所以 Q(-λ+2
λ
c,-b2
λa). …………………… 11
分
因为点 Q 在椭圆上,所以(λ+2
λ
)2e2+ b2
λ2a2=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,
因为 λ+1≠0,
( ) 2
2
3
1 92 1 4 64
1
4P X C ×
= = − =
( ) 3
3
3
4
13 64
1P X C
=
= =
X
X 0 1 2 3
P 27
64
27
64
9
64
1
64
( ) 1 33 4 4E X = × =
所以(λ+3)e2=λ-1,从而 λ=3e2+1
1-e2 = 4
1-e2-3. …………………… 14
分
因为 e∈[1
2
, 2
2
],所以1
4≤e2≤1
2,即7
3≤λ≤5.
所以 λ 的取值范围为[
7
3,5]. …………………… 16
分
方法二:因为 PF2⊥x 轴,且 P 在 x 轴上方,故设 P(c,y0),y0>0.
因为 P 在椭圆上,所以c2
a2+ y
b2=1,解得 y0=b2
a ,即 P(c,b2
a ). ……………………
7 分
因为 F1(-c,0),故直线 PF1 的方程为 y= b2
2ac(x+c).
由{y=(x+c),
+=1, 得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c,b2
a ).设 Q(x1,y1),
则 x1+c=- 2b2c
4c2+b2,即-c-x1= 2b2c
4c2+b2. ……………………
11 分
因为PF1→
=λF1Q→
,
所 以 λ = 2c
-c-x1= 4c2+b2
b2 = 3c2+a2
a2-c2 = = 3e2+1
1-e2 = 4
1-e2-
3. …………………… 14 分
因为 e∈[1
2
, 2
2
],所以1
4≤e2≤1
2,即7
3≤λ≤5.
所以 λ 的取值范围为[
7
3,5]. …………………… 16
分
22.解:(1)因为 a=b=1,所以 f(x)=x 2-x+lnx,
从而 f ′(x)=2x -1+1
x
.
因为 f(1)=0,f ′(1)=2,故曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-0=2(x-1),
即 2x-y-2=0. ……………………
3 分
(2)因为 b=2a+1,所以 f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,
从而 f ′(x)=2ax-(2a+1)+1
x=2ax2-(2a+1)x+1
x =(2ax-1)(x-1)
x ,x>0. ………… 5
分
当 a≤0 时,
x∈(0,1)时,f ′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,
所以,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.…………………… 7
分
当 0<a<1
2
时,
由 f ′(x)>0 得 0<x<1 或 x> 1
2a,由 f ′(x)<0 得 1<x< 1
2a,
所以 f(x)在区间(0,1)和区间( 1
2a,+∞)上单调递增,在区间(1, 1
2a)上单调递减.
当 a=1
2
时,
因为 f ′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号),
所以 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当 a>1
2
时,
由 f ′(x)>0 得 0<x< 1
2a或 x>1,由 f ′(x)<0 得 1
2a<x<1,
所以 f(x)在区间(0, 1
2a)和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( 1
2a,1)上单调递减.
…………………… 10
分