2018-2019学年天津市和平区第一中学高一下学期期中数学试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年天津市和平区第一中学高一下学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．以下说法正确的有几个（ ）‎ ‎①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【解析】对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.‎ ‎【详解】‎ ‎①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎2．在中，角，，的对边分别是，，，且，则角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形的内角和定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，即，即，也即，故，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式、三角形的内角和定理，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎3．在中，若且，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量的数量积和夹角，求得的值，再由三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 由得，由三角形面积公式得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量数量积的运算，考查三角形面积公式，属于基础题.‎ ‎4．设、、为平面，为、、直线，则下列判断正确的是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据线面、面面有关的定理，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：在平面内或者平行于，这个条件，才能判定.B选项不正确，因为可能平行于.C选项不正确，因为当时，或者.D选项正确，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，得到，直线，则可得到.综上所述，本小题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线面、面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎5．某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且三棱锥的高为2，底面等腰直角三角形的斜边长是2，利用锥体的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且三棱锥的高为2，底面等腰直角三角形的斜边长是2，可求两直角边长为，所以三棱锥的底面积为，可得三棱锥的体积为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎6．点为的重心，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据余弦定理求得，于是得到△ABC为直角三角形，然后建立平面直角坐标系，根据重心得到点G的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，且C=90°．‎ 以点C为原点，边CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 又G为△ABC的重心，‎ ‎∴点G的坐标为．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是判断出三角形的形状，然后通过建立平面直角坐标系，根据几何图形得到三角形的重心坐标，将问题转化为向量的坐标运算处理．解题时要注意已知三角形三个顶点的坐标求重心坐标的方法．‎ ‎7．在正方体，中，点是正方形的中心，关于直线下列说法正确的（ ）‎ A． B．平面 C． D．平面 ‎【答案】B ‎【解析】在正方体中，推导出，从而平面平面，由此能得到平面，得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在正方体中，点是四边形的中心，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中明确几何体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎8．一个圆锥的高和底面直径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出圆锥的底面半径和高，由此得出圆柱的底面半径和高，再求两者的侧面积比.‎ ‎【详解】‎ 不妨设圆锥的底面半径为，高为，设圆柱的底面半径，高为.根据圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等.得，记得 ‎.圆锥的母线长为，故两者侧面积比为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆锥、圆柱的体积、侧面积有关计算，属于基础题.‎ ‎9．平行六面体的底面是菱形，且，，，则二面角的平面角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出二面角的平面角，利用余弦定理计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 连接交于，连接，由于四边形是菱形，所以.由于，所以，所以，所以.故是二面角的平面角.由于，，，所以,,所以，而.在三角形中，由余弦定理得.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用几何法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎10．如图，在的边、上分别取点、，使，与交于点，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】用向量作为基底分别表示，根据平面向量的基本定理，列出关于的方程组求得的值，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得,‎ ‎,‎ 根据平面向量的基本定理，可得，解得，‎ 所以，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的三角形法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及合理应用平面向量的基本定理得到关于的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎11．已知向量，满足，，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，然后根据数量积的运算律可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题时注意这一结论的运用，同时还应注意要进行合理的变形，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎12．如图，平面，且，，则异面直线与所成的角的正切值等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出线线角，然后解直角三角形求得线线角的正切值.‎ ‎【详解】‎ 过作，过作，则四边形为矩形,,，故直线和直线所成的角为.不妨设,由于平面，故,所以.由于 ，所以平面，所以.在直角三角形中.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查异面直线所成的角的作法，考查异面直线所成角的正切值的计算，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎13．如图，在直棱柱中，，，则二面角的平面角的正弦值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ 过作交于，过作,交于，连接.由于三棱柱为直三棱柱，故，所以平面，所以，因此平面，所以.故是二面角的平面角的补角，由于，，故.在直角三角形中，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用几何法求二面角的正弦值，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.‎ ‎14．在中，角、、的对边分别为、、，，则内角的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由得，化简得，两边除以得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15．已知正方体的棱长为，点是棱的中点，则点到平面的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点到平面的距离等价于点到平面的距离，过作，交于，证得平面，利用等面积法求得点到平面的距离，也即点到平面的距离.‎ ‎【详解】‎ 由于是的中点，故点到平面的距离等价于点到平面的距离，过作，交于，由于，，故平面.在直角三角形中，，所以,解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.‎ ‎16．如图，在直角梯形中，，若分别是边上的动点，满足，其中，若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量的运算，求得，，又由，化简得到，再由，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由图可知，向量，，‎ 又，所以，‎ 所以,‎ 又，可得，‎ 又由，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算及性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及利用向量的数量积的运算公式和向量的投影的定义，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．设，其中向量，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，求函数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴=.‎ ‎（2）由题意,得 ‎,‎ 在中,由及正弦定理知,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 又∵,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴函数.‎ 即函数的取值范围是.‎ ‎18．如图，在几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）连接交于，证得由此证得平面.(2)根据菱形的几何性质得到，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此得到，故平面，由此证得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接（如图），使得，易证 平面，平面，平面 ‎（2）是菱形，，平面平面 平面平面，是矩形，‎ 平面，平面，‎ ‎，，平面，平面，‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎19．如图1所示，在矩形中，，为的中点，沿将折起，如图2所示，分别为的中点，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）取中点，连接，通过证明线线平行，证得平面平面，由此证得平面.（2）连接，，根据等腰三角形的性质，证得，利用勾股定理证得，由此证得平面，进而证得平面平面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取中点，连接（如图），易证平面 平面，，平面，‎ 平面平面，平面，平面 ‎ ‎ ‎（2）证明：连接，，，为中点 ‎，，‎ ‎，平面，，平面 平面平面平面 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20．如图，四棱锥的底面是菱形，底面，、分别是、的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若是边的中点，求异面直线与所成角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据四边形是菱形，证得，由平行得到，结合，证得平面，由此证得平面平面.（2）作出线面角，然后解直角三角形求得线面角的正弦值.（3）作出异面直线所成的角，然后利用余弦定理求得角的余弦值，进而求得其正切值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：是菱形，，‎ ‎，底面，，，平面 ‎，平面，平面 平面平面 ‎（2）过点作于，易证，，平面 ‎，平面，是在平面上的射影 即为所求，在中，，‎ ‎（3）分别取，中点，，易证，‎ 即为异面直线与所成角或其补角 在中，，，‎ ‎　‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线角的正切值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎