【数学】2019届一轮复习人教A版理第8章第9节　第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系教案 9页

第九节　圆锥曲线的综合问题 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．‎ ‎(对应学生用书第146页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，‎ 由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；‎ Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；‎ Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．‎ 当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．‎ 当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·.‎ ‎[知识拓展]　过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．‎ ‎(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)‎ ‎(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．(　　)‎ ‎[解析]　(1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切．‎ ‎(2)错．当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切．‎ ‎(3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确．‎ ‎(4)错．当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)‎ A．相交　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 A　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]‎ ‎3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　[结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：一条过点(0,1)且平行于x轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线．]‎ ‎4．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．1或2 D．0‎ A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]‎ ‎5．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为________．‎ ‎16　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，则|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.]‎ 第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(对应学生用书第147页)‎ 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率，‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ ‎[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由 y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋7.‎ ‎[规律方法]　1.判断直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：‎ (1)消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0.‎ (2)重视“判别式Δ”起的限制作用.‎ ‎2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.‎ ‎[跟踪训练]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1)有两个不重合的公共点；‎ ‎(2)有且只有一个公共点．‎ ‎[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，‎ 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③‎ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)‎ ‎＝－8m2＋144.‎ ‎(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．‎ ‎(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③‎ 有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．‎ 弦长问题 ‎　(2018·广州综合测试(二))已知双曲线－y2＝1的焦点是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. ‎ ‎【导学号：97190306】‎ ‎(1)设椭圆C的方程；‎ ‎(2)设动点M，N在椭圆C上，且|MN|＝，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值．‎ ‎[解]　(1)双曲线－y2＝1的焦点坐标为(±，0)，离心率为.‎ 因为双曲线－y2＝1的焦点是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，‎ 所以a＝，且＝，解得b＝1.‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为|MN|＝＞2，所以直线MN的斜率存在．‎ 因为直线MN在y轴上的截距为m，‎ 所以可设直线MN的方程为y＝kx＋m.‎ 代入椭圆的方程＋y2＝1中，‎ 得(1＋6k2)x2＋12kmx＋6(m2－1)＝0.‎ 因为Δ＝(12km)2－24(1＋6k2)(m2－1)‎ ‎＝24(1＋6k2－m2)＞0，‎ 所以m2＜1＋6k2.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 根据根与系数的关系得x1＋x2＝－，‎ x1x2＝ 则|MN|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝· 因为|MN|＝，‎ 则·＝.‎ 整理得m2＝.‎ 令k2＋1＝t≥1，则k2＝t－1.‎ 所以m2＝＝ ‎≤＝.‎ 等号成立的条件是t＝，此时k2＝，m2＝满足m2＜1＋6k2，符合题意．‎ 故m的最大值为.‎ ‎[规律方法]　弦长的三种常用计算方法 (1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.‎ (2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.‎ (3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.‎ 易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：＋＝1(a＞b ‎＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋1交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB的面积．‎ ‎[解]　(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，‎ 由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，‎ 故椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)联立方程，得4x2＋2x－3＝0，‎ 且，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.又P到直线AB的距离为d＝，所以S△PAB＝|AB|·d＝··＝.‎ 中点弦问题 ‎　(1)在椭圆＋＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为(　　)‎ ‎【导学号：97190307】‎ A．x＋4y－5＝0　　　　 B．x－4y－5＝0‎ C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0‎ ‎(2)如图891，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ 则实数m的取值范围为________．‎ 图891‎ ‎(1)A　(2)∪　[(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 由①－②，‎ 得＋＝0，‎ 因为 所以＝－＝－，‎ 所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋4y－5＝0.‎ ‎(2)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0， ①‎ 将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－， ②‎ 由①②得m＜－或m＞.]‎ ‎[规律方法]　处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.‎ (2) 根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.‎ ‎[跟踪训练]　抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.]‎