2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题1 第2讲　函数与导数 5页

专题复习检测 A卷 ‎1．(2019年天津)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＜c＜b　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a　 D．c＜a＜b ‎【答案】A ‎【解析】a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝log25＞log24＝1，c＝0.50.2＜1，所以b最大．因为a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝.而log25＞log24＝2＞，所以＜，即a＜c.故选A．‎ ‎2．(2019年甘肃白银模拟)若函数f(x)＝有最大值，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－5，＋∞)　 B．[－5，＋∞)‎ C．(－∞，－5)　 D．(－∞，－5]‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，要使f(x)有最大值，则f(1)＝4＋a≥(1＋1)＝－1，解得a≥－5.‎ ‎3．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)‎ A．y＝ln(1－x)　 B．y＝ln(2－x)‎ C．y＝ln(1＋x)　　 D．y＝ln(2＋x)‎ ‎【答案】B ‎【解析】y＝ln x的图象与y＝ln(－x)的图象关于y轴即x＝0对称，要使新的图象与y＝ln x关于直线x＝1对称，则y＝ln(－x)的图象需向右平移2个单位，即y＝ln(2－x)．‎ ‎4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(　　)‎ A．a<－1　 B．a>－1‎ C．a>－　 D．a<－ ‎【答案】A ‎【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解．∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.‎ ‎5．(2019年云南玉溪模拟)函数f(x)＝x2ln x的最小值为(　　)‎ A．－　 B．　　‎ C．－　 D． ‎【答案】C ‎【解析】由f(x)＝x2ln x，得定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝e－.当0e－时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝e－时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(e－)＝－.故选C．‎ ‎6．(2019年贵州遵义模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由f(x＋4)＝f(x－2)，可得f(x＋6)＝f(x)，则f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.‎ ‎7．(2019年广东模拟)已知曲线f(x)＝aex＋b(a，b∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________.　‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由f(x)＝aex＋b，得f′(x)＝aex.因为曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.‎ ‎8．定义在R内的可导函数f(x)，已知y＝2f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的减区间是______．‎ ‎【答案】(2，＋∞)‎ ‎【解析】令f′(x)<0，则y＝2f′(x)<1，由图知，当x>2时，2f′(x)＜1，故y＝f(x)的减区间是(2，＋∞)．‎ ‎9．已知函数f(x)＝xex－ax2－x.‎ ‎(1)若f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，求f(x)的极小值；‎ ‎(2)若x≥0时，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)∵f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，∴f′(－1)＝0.‎ ‎∵f′(x)＝(x＋1)ex－2ax－1，∴2a－1＝0，a＝.‎ ‎∴f′(x)＝(x＋1)ex－x－1＝(x＋1)(ex－1)．‎ ‎∴f(x)在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，f(x)的极小值为f(0)＝0.‎ ‎(2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a，‎ 若a≤1，则x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，‎ 而g(0)＝0，∴当x≥0时，g(x)≥0.从而f(x)≥0.‎ 若a>1，则x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，‎ g(0)＝0，当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，从而f(x)<0.‎ 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎10．(2019年江苏节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．‎ ‎(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；‎ ‎(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．‎ ‎【解析】(1)若a＝b＝c，则f(x)＝(x－a)3.‎ 由f(4)＝8，得(4－a)3＝8，解得a＝2.‎ ‎(2)若a≠b，b＝c，f(x)＝(x－a)(x－b)2.‎ 令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.‎ f′(x)＝(x－b)2＋2(x－a)(x－b)＝(x－b)(3x－b－2a)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.‎ f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{－3,1,3}中，‎ 若a＝－3，b＝1，则＝－∉A，舍去．‎ 若a＝1，b＝－3，则＝－∉A，舍去．‎ 若a＝－3，b＝3，则＝－1∉A，舍去．‎ 若a＝3，b＝1，则＝∉A，舍去．‎ 若a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．‎ 若a＝3，b＝－3，则＝1∈A.‎ ‎∴f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．‎ 易知x＝1时，f(x)取得极小值－32.‎ B卷 ‎11．(2019年甘肃兰州模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)＋>0，f(2)＝，则关于x的不等式f(ln x)>＋2的解集为(　　)‎ A．(1，e2)　 B．(0，e2)‎ C．(e，e2)　 D．(e2，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】设g(x)＝f(x)－(x>0)，则g′(x)＝f′(x)＋>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(ln x)>＋2，可得f(ln x)－>2，又g(2)＝f(2)－＝2，所以待解不等式等价于解g(ln x)>g(2)．所以ln x>2，解得x>e2.故选D．‎ ‎12．(2018年江西师大附中月考)已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．‎ ‎【答案】[－1,1]‎ ‎【解析】令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即02，令f′(x)＝0得，x＝或x＝，易得0<<.‎ 当x∈∪时，f′(x)<0；‎ 当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．‎ ‎(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.‎ 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11.‎ 由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a＝－2＋a ‎，所以