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- 2021-06-16 发布
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[基础题组练]
1.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量=(1,1),n=(1,-1),且n·=2,则n·等于( )
A.-2 B.2
C.0 D.2或-2
解析:选B.n·=n·(+)=n·+n·=(1,-1)·(-1,-1)+2=0+2=2.
2.(2020·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1,则|-+|等于( )
A.0 B.
C.2 D.2
解析:选C.正方形ABCD的边长为1,则|-+|2=|+|2=||2+||2+2·=12+12+12+12=4,所以|-+|=2,故选C.
3.(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.( )
A.若a·b<0则x>0,y>0
B.若a·b<0则x<0,y<0
C.若a·b>0则x<0,y<0
D.若a·b>0则x>0,y>0
解析:选A.由a·c>0,b·c>0,若a·b<0,
可举a=(1,1),b=(-2,1),c=(0,1),
则a·c=1>0,b·c=1>0,a·b=-1<0,
由c=xa+yb,即有0=x-2y,1=x+y,
解得x=,y=,则可排除B;
若a·b>0,可举a=(1,0),b=(2,1),c=(1,1),
则a·c=1>0,b·c=3>0,a·b=2>0,
由c=xa+yb,即有1=x+2y,1=y,解得x=-1,y=1,
则可排除C,D.故选A.
4.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:选C.由(+)·=||2,得·(+-)=0,即·(++)=0,
所以2·=0,所以⊥.
所以∠A=90°,又因为根据条件不能得到||=||.故选C.
5.已知正方形ABCD的边长为2,点F是AB的中点,点E是对角线AC上的动点,则·的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B.以A为坐标原点,,方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则F(1,0),C(2,2),D(0,2),设E(λ,λ)(0≤λ≤2),则=(λ,λ-2),=(1,2),所以·=3λ-4≤2.
所以·的最大值为2.故选B.
6.(2020·金华市东阳二中高三月考)若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=λ|a+b|,λ∈,则b与a-b的夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选B.因为|a|=|b|=λ|a+b|,λ∈,
不妨设|a+b|=1,则|a|=|b|=λ.
令=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则平行四边形OACB为菱形.
故有△OAB为等腰三角形,故有∠OAB=∠OBA=θ,
且0<θ<.
而由题意可得,b与a-b的夹角,
即与的夹角,等于π-θ,
△OAC中,由余弦定理可得|OC|2=1=|OA|2+|AC|2-2|OA|·|AC|·cos 2θ=λ2+λ2-2·λ·λcos 2θ,
解得cos 2θ=1-.
再由≤λ≤1,可得≤≤,所以-≤cos 2θ≤,所以≤2θ≤,所以≤θ≤,
故≤π-θ≤,即b与a-b的夹角π-θ的取值范围是.
7.(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么|a-2b|=________.
解析:因为平面向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,所以a·b=4·4·cos 120°=-8,
所以|a-2b|=====4.
答案:4
8.(2020·嘉兴一中高考适应性考试)设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影为2,则a·b=________,e1与e2的夹角为________.
解析:设e1,e2的夹角为θ,因为a在b上的投影为2,
所以==2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cos θ+1=2,解得cos θ=,则θ=.
a·b=(2e1+e2)·e2
=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cos θ+1=2.
答案:2
9.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点Q为边CD上一个动点,=λ,点P为线段BQ (含端点)上一个动点.若λ=1,则·的取值范围为________.
解析:当λ=1时,Q为CD的中点.
设=m,=n,=μ(0≤μ≤1).
易知=-m+n,=+=m+μ=m+μn,
=-=m+μn-n=m+(μ-1)n,
所以·=·=·=4+4μ(μ-1)=5μ2-8
μ+4.
根据二次函数性质可知,当μ=时上式取得最小值;当μ=0时上式取得最大值4.所以·的取值范围为.
答案:
10.(2020·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足=(1,),=(-,1),则凸四边形ABCD的面积为________;·的取值范围是________.
解析:由=(1,),=(-,1)得⊥,且||=2,||=2,所以凸四边形ABCD的面积为×2×2=2;因为ABCD为凸四边形,所以AC与BD交于四边形内一点,记为M,则·=(-)·(-)=·+·-·-·,
设=λ,=μ,则λ,μ∈(0,1),且=-λ,=(1-λ),
=-μ,=(1-μ),所以·=-4μ(1-μ)-4λ(1-λ)∈[-2,0),所以有λ=μ=时,·取到最小值-2.
答案:2 [-2,0)
11.已知m=,n=(cos x,1).
(1)若m∥n,求tan x的值;
(2)若函数f(x)=m·n,x∈[0,π],求f(x)的单调递增区间.
解:(1)由m∥n得,sin-cos x=0,
展开变形可得,sin x=cos x,
即tan x=.
(2)f(x)=m·n=sin+,
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得,-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
又x∈[0,π],所以当x∈[0,π]时,
f(x)的单调递增区间为和.
12.(2020·金华市东阳二中高三月考)设O是△ABC的三边中垂线的交点,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,已知b2-2b+c2=0,求·的取值范围.
解:因为O是△ABC的三边中垂线的交点,故O是三角形外接圆的圆心,
如图所示,延长AO交外接圆于点D.
因为AD是⊙O的直径,所以∠ACD=∠ABD=90°.
所以cos∠CAD=,cos∠BAD=.
所以·=·(-)
=·-·
=||||·cos∠CAD-||||·cos∠BAD=||2-||2
=b2-c2
=b2-(2b-b2)(因为c2=2b-b2)
=b2-b=-.
因为c2=2b-b2>0,解得0