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  • 2021-06-16 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第五章 3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

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‎[基础题组练]‎ ‎1.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量=(1,1),n=(1,-1),且n·=2,则n·等于(  )‎ A.-2          B.2‎ C.0 D.2或-2‎ 解析:选B.n·=n·(+)=n·+n·=(1,-1)·(-1,-1)+2=0+2=2.‎ ‎2.(2020·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1,则|-+|等于(  )‎ A.0 B. C.2 D.2 解析:选C.正方形ABCD的边长为1,则|-+|2=|+|2=||2+||2+2·=12+12+12+12=4,所以|-+|=2,故选C.‎ ‎3.(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.(  )‎ A.若a·b<0则x>0,y>0‎ B.若a·b<0则x<0,y<0‎ C.若a·b>0则x<0,y<0‎ D.若a·b>0则x>0,y>0‎ 解析:选A.由a·c>0,b·c>0,若a·b<0,‎ 可举a=(1,1),b=(-2,1),c=(0,1),‎ 则a·c=1>0,b·c=1>0,a·b=-1<0,‎ 由c=xa+yb,即有0=x-2y,1=x+y,‎ 解得x=,y=,则可排除B;‎ 若a·b>0,可举a=(1,0),b=(2,1),c=(1,1),‎ 则a·c=1>0,b·c=3>0,a·b=2>0,‎ 由c=xa+yb,即有1=x+2y,1=y,解得x=-1,y=1,‎ 则可排除C,D.故选A.‎ ‎4.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是(  )‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C.由(+)·=||2,得·(+-)=0,即·(++)=0,‎ 所以2·=0,所以⊥.‎ 所以∠A=90°,又因为根据条件不能得到||=||.故选C.‎ ‎5.已知正方形ABCD的边长为2,点F是AB的中点,点E是对角线AC上的动点,则·的最大值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选B.以A为坐标原点,,方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则F(1,0),C(2,2),D(0,2),设E(λ,λ)(0≤λ≤2),则=(λ,λ-2),=(1,2),所以·=3λ-4≤2.‎ 所以·的最大值为2.故选B.‎ ‎6.(2020·金华市东阳二中高三月考)若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=λ|a+b|,λ∈,则b与a-b的夹角的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.因为|a|=|b|=λ|a+b|,λ∈,‎ 不妨设|a+b|=1,则|a|=|b|=λ.‎ 令=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,‎ 则平行四边形OACB为菱形.‎ 故有△OAB为等腰三角形,故有∠OAB=∠OBA=θ,‎ 且0<θ<.‎ 而由题意可得,b与a-b的夹角,‎ 即与的夹角,等于π-θ,‎ ‎△OAC中,由余弦定理可得|OC|2=1=|OA|2+|AC|2-2|OA|·|AC|·cos 2θ=λ2+λ2-2·λ·λcos 2θ,‎ 解得cos 2θ=1-.‎ 再由≤λ≤1,可得≤≤,所以-≤cos 2θ≤,所以≤2θ≤,所以≤θ≤,‎ 故≤π-θ≤,即b与a-b的夹角π-θ的取值范围是.‎ ‎7.(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么|a-2b|=________.‎ 解析:因为平面向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,所以a·b=4·4·cos 120°=-8,‎ 所以|a-2b|=====4.‎ 答案:4 ‎8.(2020·嘉兴一中高考适应性考试)设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影为2,则a·b=________,e1与e2的夹角为________.‎ 解析:设e1,e2的夹角为θ,因为a在b上的投影为2,‎ 所以==2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cos θ+1=2,解得cos θ=,则θ=.‎ a·b=(2e1+e2)·e2‎ ‎=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cos θ+1=2.‎ 答案:2  ‎9.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点Q为边CD上一个动点,=λ,点P为线段BQ (含端点)上一个动点.若λ=1,则·的取值范围为________.‎ 解析:当λ=1时,Q为CD的中点.‎ 设=m,=n,=μ(0≤μ≤1).‎ 易知=-m+n,=+=m+μ=m+μn,‎ =-=m+μn-n=m+(μ-1)n,‎ 所以·=·=·=4+4μ(μ-1)=5μ2-8‎ μ+4.‎ 根据二次函数性质可知,当μ=时上式取得最小值;当μ=0时上式取得最大值4.所以·的取值范围为.‎ 答案: ‎10.(2020·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足=(1,),=(-,1),则凸四边形ABCD的面积为________;·的取值范围是________.‎ 解析:由=(1,),=(-,1)得⊥,且||=2,||=2,所以凸四边形ABCD的面积为×2×2=2;因为ABCD为凸四边形,所以AC与BD交于四边形内一点,记为M,则·=(-)·(-)=·+·-·-·,‎ 设=λ,=μ,则λ,μ∈(0,1),且=-λ,=(1-λ),‎ =-μ,=(1-μ),所以·=-4μ(1-μ)-4λ(1-λ)∈[-2,0),所以有λ=μ=时,·取到最小值-2.‎ 答案:2 [-2,0)‎ ‎11.已知m=,n=(cos x,1).‎ ‎(1)若m∥n,求tan x的值;‎ ‎(2)若函数f(x)=m·n,x∈[0,π],求f(x)的单调递增区间.‎ 解:(1)由m∥n得,sin-cos x=0,‎ 展开变形可得,sin x=cos x,‎ 即tan x=.‎ ‎(2)f(x)=m·n=sin+,‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得,-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.‎ 又x∈[0,π],所以当x∈[0,π]时,‎ f(x)的单调递增区间为和.‎ ‎12.(2020·金华市东阳二中高三月考)设O是△ABC的三边中垂线的交点,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,已知b2-2b+c2=0,求·的取值范围.‎ 解:因为O是△ABC的三边中垂线的交点,故O是三角形外接圆的圆心,‎ 如图所示,延长AO交外接圆于点D.‎ 因为AD是⊙O的直径,所以∠ACD=∠ABD=90°.‎ 所以cos∠CAD=,cos∠BAD=.‎ 所以·=·(-)‎ ‎=·-· ‎=||||·cos∠CAD-||||·cos∠BAD=||2-||2‎ ‎=b2-c2‎ ‎=b2-(2b-b2)(因为c2=2b-b2)‎ ‎=b2-b=-.‎ 因为c2=2b-b2>0,解得0