2018届二轮复习数列求和及综合应用课件（全国通用） 120页

第二讲　 数列求和及综合应用 【 必备知识 】 1. 常用的拆项公式 ( 其中 n∈N*) 2. 常见的求和方法 (1) 公式法 : 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和 . 对等比数列利用公式法求和时 , 一定注意公比 q 是否取 1. (2) 错位相减法 : 主要用于求数列 {a n · b n } 的前 n 项和 , 其中 {a n },{b n } 分别是等差数列和等比数列 . (3) 裂项相消法 : 把数列和式中的各项分别裂项后 , 消 去一部分从而计算和的方法 , 适用于求通项为 的 数列的前 n 项和 . (4) 分组求和法 : 一个数列既不是等差数列 , 也不是等比数列 , 若将这个数列适当拆开 , 重新组合 , 就会变成几个可以求和的部分 , 分别求和 , 然后再合并 . (5) 并项求和法 : 当一个数列为摆动数列 , 形如 (-1) n a n 的形式 , 通常分奇、偶 , 观察相邻两项是否构成新数列 . 【 真题体验 】 1.(2017 · 全国卷 Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 . 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动 . 这款软件的激活码为下面数学问题 的答案：已知 数列 1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 4 ， 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 16 ， … ，其中第一项是 2 0 ，接下来的两项是 2 0 ， 2 1 ， 再接下来的三项是 2 0 ， 2 1 ， 2 2 ，依此类推 . 求满足如下条件的最小整数 N ： N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 . 那么该款软件的激活码是 ( 　　 ) A.440 B.330 C.220 D.110 【 解析 】 选 A. 由题意得，数列如下： 1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 4 ， … 1 ， 2 ， 4 ， … ， 2 k-1 … 则该数列的前 1+2+ … +k= 项和为 =1+(1+2)+ … +(1+2+ … +2 k )=2 k+1 -k-2 ， 要使 >100 ，有 k≥14 ，此时 k+2<2 k+1 ，所以 k+2 是之后的等比数列 1 ， 2 ， … ， 2 k+1 的部分和，即 k+2=1+2+ … +2 t-1 =2 t -1 ， 所以 k=2 t -3≥14 ，则 t≥5 ，此时 k=2 5 -3=29 ， 对应满足的最小条件为 N= +5=440 ，故选 A. 2.(2015 · 全国卷 Ⅱ) 设 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 a 1 =-1,a n+1 =S n S n+1 , 则 S n =________. 【 解题导引 】 由已知得 a n+1 =S n+1 -S n =S n+1 · S n , 两边同时 除以 S n+1 · S n , 得 =-1, 构造数列 , 求 S n . 【 解析 】 由已知得 a n+1 =S n+1 -S n =S n+1 ·S n , 两边同时除以 S n+1 ·S n , 得 =-1, 故数列 是以 -1 为首项 , -1 为公差的等差数列 , 则 =-1-(n-1)=-n, 所以 S n =- . 答案 : - 3.(2016 · 全国卷 Ⅰ) 设等比数列 {a n } 满足 a 1 +a 3 =10, a 2 +a 4 =5, 则 a 1 a 2 … a n 的最大值为 ________. 【 解析 】 由于 {a n } 是等比数列 , 设 a n =a 1 q n-1 , 其中 a 1 是首项 ,q 是公比 . 所以 故 a n = , 所以 a 1 · a 2 ·…· a n = 当 n=3 或 4 时 , 取到最小值 -6, 此时 取到最大值 2 6 . 所以 a 1 · a 2 ·…· a n 的最大值为 64. 答案 : 64 4.(2016 · 全国卷 Ⅱ)S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 1 =1 ， S 7 =28. 记 b n =[lga n ] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [0.9]=0 ， [lg99]=1. (1) 求 b 1 ， b 11 ， b 101 . (2) 求数列 {b n } 的前 1000 项和 . 【 解题指南 】 由等差数列的两个独立的条件 a 1 =1 ， S 7 =28 ，可求出等差数列的通项公式，结合对数运算，可求出 b 1 ， b 11 ， b 101 的值，在此基础上，分段求出数列 {b n } 的前 1000 项和 . 【 解析 】 (1) 设 {a n } 的公差为 d ， S 7 = =7a 4 =28 ， 所以 a 4 =4 ，所以 d= =1 ，所以 a n =1+(n-1)×1=n. 所以 b 1 =[lga 1 ]=[lg1]=0 ， b 11 =[lga 11 ]=[lg11]=1 ， b 101 =[lga 101 ]=[lg101]=2. (2) 记 {b n } 的前 n 项和为 T n ，则 T 1000 =b 1 +b 2 + … +b 1000 =[lga 1 ]+[lga 2 ]+ … +[lga 1000 ]. 当 n=1 ， 2 ， … ， 9 时， 0≤lga n <1 ， b n =0 ； 当 n=10 ， 11 ， … ， 99 时， 1≤lga n <2 ， b n =1 ； 当 n=100 ， 101 ， … ， 999 时， 2≤lga n <3 ， b n =2 ； 当 n=1000 时， lga n =3 ， b n =3. 所以 T 1000 =0×9+1×90+2×900+3×1=1893. 【 大数据易错点 】 排序 1: 裂项求和时勿视系数致误 . 将通项直接裂开而没有注意系数变化 , 或乘以系数而不是系数的倒数 ; 排序 2: 裂项求和时相消项的规律出错致误 . 通项裂开后不是相邻项相消 , 未能观察分析出项相消的规律 ; 排序 3: 已知 S n 求 a n 、处理 S n 与 a n 关系式忽略验证第一 项致误 . 涉及 n≥2 前提下的运算、规律关系都要验证 第一项是否适合、规律是否包含第一项 ; 排序 4: 错位相减求和时项数出错致误 . 两式相减后需 要进行等比数列求和 , 项数一定要看清 , 建议利用公式 S n = 求和 , 避免项数出错 . 热点考向一　求数列的通项公式 命题解读 : 主要考査求等差、等比数列通项公式及含有相邻两项、连续几项、通项与前 n 项和关系的通项公式求法 , 依据等差、等比数列的定义和性质求解 , 在选择题、填空题、解答题中皆有考査 . 【 典例 1】 (1) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,a 1 =1,a 2 =2, 且对于任意 n>1,n∈N * , 满足 S n+1 +S n-1 =2(S n +1), 则 S 10 = 　 ( 　　 ) A.91 B.90 C.55 D.54 (2)(2017 · 平顶山一模 ) 已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 2S n =3a n -2(n∈N * ). 　世纪金榜导学号 92494055 ① 求 a n 和 S n ; ② 若 b n =log 3 (S n +1), 求数列 {b 2n } 的前 n 项和 T n . 【 解题导引 】 (1) 将 S n 之间的关系转化为 a n 之间的关系再求和 . (2) 先消去 S n 后判断数列的类型 , 求出 S n 后代入求出 b n , 最后求 T n . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 当 n=2 时 ,S 3 +S 1 =2(S 2 +1), 即 3+a 3 +1=2×4, 解得 a 3 =4. 当 n>1,n∈N * 时 ,S n+1 +S n-1 =2(S n +1), S n+2 +S n =2(S n+1 +1), 两式相减得 a n+2 +a n =2a n+1 , 故数列 {a n } 从第二项起是首项为 2, 公差为 2 的等差数列 , 所以 S 10 =1+2×9+ ×2=91. (2)① 因为 2S n =3a n -2, 所以 n=1 时 ,2S 1 =3a 1 -2, 解得 a 1 =2. 当 n≥2 时 ,2S n-1 =3a n-1 -2, 所以 2S n -2S n-1 =3a n -3a n-1 , 所以 2a n =3a n -3a n-1 , 所以 a n =3a n-1 , 所以数列 {a n } 是首项为 2, 公比为 3 的等比数列 , 所以 a n =2 · 3 n-1 , S n = =3 n -1. ② 因为 S n =3 n -1, 所以 b n =log 3 (S n +1)=log 3 3 n =n, 所以 b 2n =2n, 所以 T n =2+4+6+ … +2n= =n 2 +n. 【 规律方法 】 求数列通项的六种方法 (1) 归纳猜想法 : 先求出数列的前几项 , 通过归纳猜想得出数列的通项公式 , 一般出现在选择填空中 ; (2) 公式法 : 判断数列是否为等差与等比数列 , 利用公式求解 . (3) 利用 S n 求 a n : ① 知 S n 的关系式求 a n , 通过公式 a n = 求 ; ② 已知 S n 与 a n 的关系式求 a n : 利用 a n =S n -S n-1 (n≥2) 消去 S n , 得到关于 a n 的关系式 , 从而可以求 a n , 或消去 a n , 得 到关于 S n 的关系式 , 先求出 S n 再求 a n ; (4) 累加法 : 数列递推关系形如 a n+1 =a n +f(n), 其中数列 {f(n)} 前 n 项和可求 , 这种类型的数列求通项公式时 , 常用累加法 ( 叠加法 ). (5) 累乘法 : 数列递推关系形如 a n+1 =g(n)a n , 其中数列 {g(n)} 前 n 项积可求 , 此数列求通项公式一般采用累乘法 ( 叠乘法 ). (6) 构造法 :① 递推关系形如 a n+1 =pa n +q(p,q 为常数 ) 可 化为 a n+1 + (p≠1) 的形式 , 利用 是以 p 为公比的等比数列求解 ; ② 递推关系形如 a n+1 = (p 为非零常数 ) 可化为 的形式 . 【 变式 1+1】 1.(2017 · 宜昌二模 ) 已知数列 {a n } 满足 :a 1 =1,a n+1 = (n∈N * ), 若 b n+1 =(n-2λ) · (n∈N * ),b 1 =- λ, 且数列 {b n } 是单调递增数列 , 则实数 λ 的取值范围是 　 ( 　　 ) A.λ< B.λ<1 C.λ< D.λ< 【 解析 】 选 A. 因为数列 {a n } 满足 :a 1 =1,a n+1 = (n∈N * ), 所以 所以数列 是等比数列 , 首项为 +1=2, 公比为 2, 所以 +1=2 n , 所以 b n+1 =(n-2λ) =(n-2λ) · 2 n , 因为数列 {b n } 是单调递增数列 , 所以 b n+1 >b n , 所以 (n-2λ) · 2 n >(n-1-2λ) · 2 n-1 , 解得 λ <1, 但是当 n=1 时 , b 2 >b 1 , 因为 b 1 =- λ, 所以 (1-2λ) · 2>- λ, 解得 λ< . 综上所述 ,λ< . 2.( 新题预测 ) 若数列 {a n } 满足 a 1 =0,2a n =1+a n a n-1 (n≥2,n∈N * ), 则 a 2018 =________. 【 解析 】 当 n≥2 时 , 因为 2a n =1+a n a n-1 , 所以 (1-a n-1 )-(1-a n )=1-a n -a n-1 +a n a n-1 , 所以 (1-a n-1 )-(1-a n )=(1-a n )(1-a n-1 ) , 所以 =1, 因为 a 1 =0, 所以 =1, 所以 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列 , 所以 =1+(n-1)=n, 所以 =2018, 解得 a 2018 = . 答案 : 【 加练备选 】 1.(2017 · 池州二模 ) 已知等差数列 {a n } 的公差 d 为正数 ,a 1 =1,2(a n a n+1 +1)=tn(1+a n ),t 为常数 , 则 a n =________. 【 解析 】 因为 {a n } 为等差数列 , 所以 S n = , 又由题设 2(a n a n+1 +1)=tn(1+a n ), 即 a n a n+1 +1=tS n , 可得 a n+1 a n+2 +1=tS n+1 , 两式相减得 a n+1 (a n+2 -a n )=ta n+1 , a n+2 -a n =t, 由 2(a 1 a 2 +1)=t(1+a 1 ), 可得 a 2 =t-1, 由 a n+2 -a n =t 可知 a 3 =t+1, 因为 {a n } 为等差数列 , 所以令 2a 2 =a 1 +a 3 , 解得 t=4, 故 a n+2 -a n =4, 由此可得 {a 2n-1 } 是首项为 1, 公差为 4 的等差数列 , a 2n-1 =4n-3, {a 2n } 是首项为 3, 公差为 4 的等差数列 ,a 2n =4n-1, 所以 a n =2n-1. 答案 : 2n-1 2.(2017 · 菏泽一模 ) 在数列 {a n } 中 ,a 1 =1, (n∈N * ). (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n =1+ (n∈N * ), 求数列 {2nb n } 的前 n 项和 S n . 【 解析 】 (1) 因为 热点考向二　数列的求和问题 类型一 裂项相消法求和 【 典例 2】 (2017 · 自贡二模 ) 已知数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列 , 数列 {b n } 满足 b 1 =1,b 2 = , 若 n∈N * 时 ,a n b n+1 -b n+1 =nb n . 　世纪金榜导学号 92494056 (1) 求 {b n } 的通项公式 . (2) 设 c n = , 求 {c n } 的前 n 项和 S n . 【 题目拆解 】 本例可以拆分成以下几个小题 : 高考大题综合性较强 , 求解时 , 把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决 , 可化难为易 , 得步骤分 . 学会了快速拆解题目 , 就能在解大题时得高分、得满分 . (1) 判断数列 {b n } 是等比数列 , 求通项公式 . (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . (3) 裂项求数列 {c n } 的前 n 项和 . 【 规范解答 】 (1) 因为 a n b n+1 -b n+1 =nb n . 当 n=1 时 ,a 1 b 2 -b 2 =b 1 . 因为 b 1 =1,b 2 = , 所以 a 1 =3, 又因为 {a n } 是公差为 2 的等差数列 , 所以 a n =2n+1, 则 (2n+1)b n+1 -b n+1 =nb n . 化简 , 得 2b n+1 =b n , 即 所以数列 {b n } 是以 1 为首项 , 以 为公比的等比数列 , 所以 b n = . (2) 由 (1) 知 ,a n =2n+1, 所以 c n = 所以 S n =c 1 +c 2 +c 3 + … +c n 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误 : (1) 未对通项进行变形 , 从而无法裂项 , 求和致误 . (2) 裂项后弄错项的消去规律 , 保留项不正确致误 . 【 母题变式 】 1. 本例中若 c n = , 试求其前 n 项和 T n . 【 解析 】 c n = 2. 本例中若 c n = , 试求其前 n 项和 T n . 【 解析 】 因为 c n = 所以 T n = 类型二 错位相减法求和 【 典例 3】 (2017 · 郴州二模 ) 已知等差数列 {a n }, 满足 :a n+1 >a n (n∈N * ),a 1 =1, 该数列的前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列 ,a n +2log 2 b n =-1. 　世纪金榜导学号 92494057 (1) 分别求数列 {a n },{b n } 的通项公式 . (2) 求数列 {a n · b n } 的前 n 项和 T n . 【 解题导引 】 (1) 利用公差表示出数列 {a n } 的前三项 , 进而可以求出公差、通项 . (2) 利用错位相减法求和 . 【 规范解答 】 (1) 设 d 为等差数列 {a n } 的公差 , 且 d>0, 由 a 1 =1,a 2 =1+d,a 3 =1+2d, 分别加上 1,1,3 后成等比数列 , 得 (2+d) 2 =2(4+2d), 因为 d>0, 所以 d=2, 所以 a n =1+(n-1)×2=2n-1. 又因为 a n =-1-2log 2 b n , 所以 log 2 b n =-n, 即 b n = . 类型三 奇 ( 偶 ) 数项和问题 【 典例 4】 (2017 · 潍坊二模 ) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 2 =8,S 4 =40. 数列 {b n } 的前 n 项和为 T n , 且 T n -2b n +3=0,n∈N * . 　世纪金榜导学号 92494058 (1) 求数列 {a n },{b n } 的通项公式 . (2) 设 c n = , 求数列 {c n } 的前 n 项和 P n . 【 解题导引 】 (1) 通过基本量的运算求 a n , 消去 T n 判断数列 {b n } 的类型可以求通项 . (2) 当 n 为偶数时分组求和 , 当 n 为奇数时转化为偶数求或分组求和 . 【 规范解答 】 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 由题意 , 得 所以 a n =4n, 因为 T n -2b n +3=0, 所以当 n=1 时 ,b 1 =3, 当 n≥2 时 ,T n-1 -2b n-1 +3=0, 两式相减 , 得 b n =2b n-1 (n≥2), 则数列 {b n } 为等比数列 , 所以 b n =3 · 2 n-1 . (2) 当 n 为偶数时 ,P n =(a 1 +a 3 + … +a n-1 )+(b 2 +b 4 + … +b n ) = =2 n+1 +n 2 -2. 当 n 为奇数时 , 方法一 :n-1 为偶数 ,P n =P n-1 +c n =2 (n-1)+1 +(n-1) 2 -2+4n =2 n +n 2 +2n-1, 方法二 :P n =(a 1 +a 3 + … +a n-2 +a n )+(b 2 +b 4 + … +b n-1 ) = =2 n +n 2 +2n-1. 所以 P n = 【 规律方法 】 错位相减法求和的关注点 (1) 适用题型 : 等差数列 {a n } 与等比数列 {b n } 对应项相乘 ({a n · b n }) 型数列求和 . (2) 步骤 : ① 求和时先乘以数列 {b n } 的公比 ; ② 把两个和的形式错位相减 ; ③ 整理结果形式 . 【 通关 1+1】 (2017 · 青岛二模 ) 在公差不为 0 的等差数列 {a n } 中 , =a 3 +a 6 , 且 a 3 为 a 1 与 a 11 的等比中项 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 令 b n =a n · , 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n . 【 解析 】 (1) 设数列 {a n } 的公差为 d, 因为 =a 3 +a 6 , 所以 (a 1 +d) 2 =a 1 +2d+a 1 +5d 　① 因为 =a 1 · a 11 , 即 (a 1 +2d) 2 =a 1 · (a 1 +10d) 　② 因为 d≠0, 由①②解得 a 1 =2,d=3, 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =3n-1. (2)b n =a n · =(3n-1) · 2 3n-1 , 所以 T n =2 · 2 2 +5 · 2 5 +8 · 2 8 + … +(3n-4) · 2 3n-4 +(3n-1) · 2 3n-1 　① 8T n =2 · 2 5 +5 · 2 8 + … +(3n-4) · 2 3n-1 +(3n-1) · 2 3n+2 　② ① -② 得 -7T n =2 · 2 2 +3 · 2 5 +3 · 2 8 + … +3 · 2 3n-1 - (3n-1) · 2 3n+2 , 所以 T n = · 2 3n+2 , 所以数列 {b n } 的前 n 项和 T n = 【 加练备选 】 1.(2017 · 楚雄州一模 ) 已知数列 {a n } 中 , a 1 =3,a 2 =5, 且 {a n -1} 是等比数列 . (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 若 b n =na n , 求数列 {b n } 的前 n 项和 T n . 【 解析 】 (1) 因为 {a n -1} 是等比数列且 a 1 -1=2,a 2 -1=4, 所以 =2, 所以 a n -1=2 · 2 n-1 =2 n , 所以 a n =2 n +1. (2) 因为 b n =na n =n · 2 n +n, 所以 T n =b 1 +b 2 +b 3 + … +b n =(2+2×2 2 +3×2 3 + … +n · 2 n )+(1+2+3+ … +n), 令 T=2+2×2 2 +3×2 3 + … +n · 2 n , 则 2T=2 2 +2×2 3 +3×2 4 + … +n · 2 n+1 , 两式相减 , 得 -T=2+2 2 +2 3 + … +2 n -n · 2 n+1 = -n · 2 n+1 , 所以 T=2(1-2 n )+n · 2 n+1 =2+(n-1) · 2 n+1 , 因为 1+2+3+ … +n= , 所以 T n =(n-1) · 2 n+1 + . 2.(2017 · 潍坊一模 ) 已知数列 {a n } 是等差数列 , 其前 n 项和为 S n , 数列 {b n } 是公比大于 0 的等比数列 , 且 b 1 = -2a 1 =2,a 3 +b 2 =-1,S 3 +2b 3 =7. (1) 求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式 . (2) 令 c n = 求数列 {c n } 的前 n 项和 T n . 【 解析 】 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 等比数列 {b n } 的公比为 q>0, 且 b 1 =-2a 1 =2,a 3 +b 2 =-1,S 3 +2b 3 =7. 所以 a 1 =-1,b 1 =2,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q 2 =7, 解得 d=-2,q=2. 所以 a n =-1-2(n-1)=1-2n,b n =2 n . (2)c n = ① 当 n=2k(k∈N * ) 时 , 数列 {c n } 的前 n 项和 T n =T 2k =(c 1 +c 3 + … +c 2k-1 )+(c 2 +c 4 + … +c 2k ) =2k+ , ② 当 n=2k-1(k∈N * ) 时 , 数列 {c n } 的前 n 项和 T n =T 2k-2 +c 2k-1 =2(k-1)+ =2k+ 所以 T n = 热点考向三　与数列相关的综合问题 命题解读 : 数列综合应用主要体现在以下两点 :(1) 以 数列知识为纽带 , 在数列与函数、方程、不等式、解 析几何的交汇处命题 , 主要考査利用函数观点、不等 式的方法解决数列问题 , 往往涉及与数列相关的不等 式证明、参数的范围等 .(2) 以数列知识为背景的新 概念、创新型问题 , 除了需要用到数列知识外 , 还要运用函数、不等式等相关知识和方法 , 特别是题目条件中的 “ 新知识 ” 是解题的钥匙 , 此类问题往往思维难度较大 , 通常作为压轴题出现 . 【 典例 5】 (2017 · 奉贤区一模 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和 为 S n , 若 ≤ 2(n∈N * ), 则称 {a n } 是 “ 紧密数列 ” . 世纪金榜导学号 92494059 (1) 若 a 1 =1,a 2 = ,a 3 =x,a 4 =4, 求 x 的取值范围 . (2) 若 {a n } 为等差数列 , 首项为 a 1 , 公差为 d, 且 010 2 , 求正整数 n 的取值范围 . 【 解析 】 (1){a n +a n+1 } 为等比数列 , 因为 a 1 =a 2 =1,a 3 =3, 所以 a 1 +a 2 =1+1=2,a 2 +a 3 =1+3=4, 所以 {a n +a n+1 } 的公比为 2, 所以 a n +a n+1 =2 n , 所以 a 3 +a 4 =2 3 =8, 即 a 4 =5, 所以 a 4 +a 5 =2 4 =16, 即 a 5 =11. (2) 因为 b n =2 n +(-1) n , 所以 b n +b n+1 =2 n +(-1) n +2 n+1 +(-1) n+1 =3 · 2 n , 所以 {b n +b n+1 } 是以公比为 2 的等比数列 , 所以数列 {b n } 具有性质 P. (3) 因为 c 1 +c 2 + … +c n =n 2 +n, 所以 c 1 +c 2 + … +c n-1 =(n-1) 2 +n-1, 所以 c n =2n, 因为 d 1 =1,d 3 -d 2 =c 1 =2,d 2 +d 3 =c 2 =4, 所以 d 2 =1,d 3 =3, 因为数列 {d n } 具有性质 P, 由 (1) 可得 ,d n +d n+1 =2 n , 所以 d 4 =5,d 5 =11,d 6 =21,d 7 =43,d 8 =85,d 9 =171, 因为 d n >10 2 , 所以正整数 n 的取值范围是 [9,+∞).