重庆市第一中学校2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 19页

重庆市第一中学2019-2020学年高二上学期10月考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故选A.‎ ‎2.在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（ ）‎ A. 108 B. 90 C. 72 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于，所以，应选答案A．‎ 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质，然后整体代换前项和中的，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．‎ ‎3.经过点,的直线在x轴上的截距为( )‎ A. 2 B. C. D. 27‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0得x＝27．故选D．‎ 考点：求直线方程及截距．‎ ‎4.在中，，，，则的大小为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理，利用大边对大角可求为锐角，即可利用特殊角的三角函数值求解，得到答案．‎ ‎【详解】在中，因为，，，‎ 由正弦定理，可得，‎ ‎∵，可得，所以为锐角，∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎5.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 (　 　)‎ A. (－∞，－2)∪ B. ‎ C. (－2，0) D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 方程为 ＋(y＋a)2＝1－a－ 表示圆，则1－a－＞0，－2＜a＜. 答案　D ‎6.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【详解】如图，取AD的中点G，‎ 连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角 设棱长为2，则EG=，GF=1，EF=‎ cos∠GEF=，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎7.已知数列为等比数列，，，则的值为（ ）‎ A. 16 B. 8 C. -8 D. -16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，可得，可得．‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎8.设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若为坐标原点可得，从而可求得，根据，可得轨迹为圆，为直径，从而求得结果.‎ ‎【详解】若为坐标原点，即为中点，则 ‎ ‎ 又 在以点为圆心的圆上，且为直径 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用轨迹方程求解椭圆中的角度问题，关键是能够利用长度关系确定点的轨迹为圆.‎ ‎9.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.‎ 故选C．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎10.已知点，圆：，点为在圆上一点，点在轴上，则的最小值为（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，转化为在轴上找一点，使得到点和点距离之和最小问题，只需作关于轴的对称点，连接，则与轴交点即为点．半径即为的最小值．‎ ‎【详解】由题意知，圆的方程化为：；‎ 所以，圆心，半径为1；‎ 如图所示，作点关于轴的对称点；‎ 连接，交圆与点，交轴与点，则的值最小；‎ 否则，在轴上另取一点，连接，，，‎ 由于与关于轴对称，所以，；‎ 所以，；‎ ‎（三角形中两边之和大于第三边）．‎ 故的最小值为；‎ 故选：C．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了点关于直线的对称问题，属于作图题，数形结合有利于解决问题，属于基础题 ‎11.如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．‎ ‎【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，‎ 所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，‎ 所以球的表面积为：．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎12.在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知设M（x，），N（x，），ø代入椭圆方程，得N（b，），由α为直线ON的倾斜角，得tanα，由此能求出椭圆C的离心率的取值范围．‎ ‎【详解】解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，‎ ‎∴M、N两点的横坐标相等，‎ 纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN＝OP＝a，‎ 可设M（x，），N（x，），ø 代入椭圆方程得：|x|b，得N（b，），‎ α为直线ON的倾斜角，tanα，，‎ ‎∴，‎ ‎∴e．‎ ‎∴椭圆C的离心率的取值范围为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、离心率计算公式、平行四边形的性质、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.椭圆焦距长是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得椭圆的a，b，由c==，即可得到焦距2c．‎ ‎【详解】椭圆=1的a=3，b=2，‎ 可得c==，‎ 即有椭圆的焦距为2c=2，‎ 故答案：2．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要是椭圆的焦距的求法，注意运用椭圆的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知圆：与直线相交于，两点．若，则实数的值为______．‎ ‎【答案】-11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化圆的方程为标准方程，利用圆心到直线的距离与弦长和半径的关系列方程求出的值．‎ ‎【详解】圆：化为标准方程是；‎ 则圆心，半径为（其中）；‎ 所以圆心到直线的距离为 ‎，‎ 化简得，‎ 解得．‎ 故答案为：-11．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了点到直线的距离应用问题，是中档题．‎ ‎15.已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题得因为的面积为，所以因为，所以故填.‎ ‎16.设为数列的前项和，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式求出结果．‎ ‎【详解】设为数列的前项和，①‎ 当时，解得，‎ 当时，②‎ ‎①-②得，即（常数），‎ 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．‎ 则（首项符合通项）．‎ 故，‎ 所以.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列的前项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知直线．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）当时，求直线与之间的距离．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由两直线垂直可知两直线斜率之积为-1，或一条斜率为0，另一条斜率不存在；（2）由两直线平行可知斜率相等，由此求得a值，通过两直线的系数可求得直线间的距离 试题解析：（1）由知，解得； ……4‎ ‎（2）当时，有解得， ……8‎ ‎，即，距离为．……10‎ 考点：两直线平行垂直的判定及直线间的距离 ‎18.已知椭圆的焦点在轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为1．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件列出方程组，求出，，得到椭圆方程．‎ ‎（2）将直线方程与椭圆联立，利用韦达定理，弦长公式转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，‎ 且右焦点到右顶点的距离为1．‎ 可得：．‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线，可得直线方程为：，‎ 联立，设 ， ‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质、椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及设而不求思想方法的应用，是中档题．‎ ‎19.如下图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内．现测得长为100米，，，，．‎ ‎（1）求△的面积；‎ ‎（2）求船的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得，所以；（2）由题意，，，结合正弦定理得，在中，由余弦定理得，可得在中，.‎ 试题解析：（1）由题意，，，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴（平方米）．‎ ‎（2）由题意，，，‎ 在△中，，即，‎ ‎∴，‎ 在△中，‎ ‎，‎ 在△中，．‎ 故船长米．‎ 考点：正、余弦定理的应用．‎ ‎20.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面 ‎，且是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）利用，可得多面体的体积.‎ ‎（1）证明：取AD的中点N，连接MN，NF．‎ 在△DAB中，∵M是BD的中点，N是AD的中点，‎ ‎∴MN∥AB，MN，‎ 又∵EF∥AB，EF，‎ ‎∴MN∥EF，且MN＝EF．‎ ‎∴四边形MNEF为平行四边形，则EM∥FN，‎ 又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，‎ 故EM∥平面ADF；‎ ‎（2）解：∵∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，EB，EF＝1，BC，‎ ‎∴多面体ABCDEF的体积V＝VF﹣ABD+VF﹣BED+VE﹣BDC ‎（）．‎ ‎21.已知圆C的圆心C在直线上．‎ 若圆C与y轴的负半轴相切，且该圆截x轴所得的弦长为，求圆C的标准方程；‎ 已知点，圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使为坐标原点，求圆心C的纵坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心在直线上，可设圆心，再根据圆C与y轴负半轴相切得，弦长为列方程可解得，从而可得圆C的标准方程；‎ 根据可得点M的轨迹为圆，记为圆D，再根据圆C和圆D有公共点列式可解得．‎ ‎【详解】解：因为圆C的圆心在直线上，所以可设圆心为 因为圆C与y轴负半轴相切，所以，半径，‎ 又因为该圆截学轴所得弦的弦长为，‎ 所以，解得，‎ 因此，圆心为，半径 所以圆C的标准方程为 圆C的半径为3，设圆C的圆心为，由题意，‎ 则圆C的方程为 又因为，，设 则，整理得，‎ 它表示以为圆心，2为半径的圆，记为圆D，‎ 由题意可知：点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．‎ 所以，且 所以，即，解得，‎ 解得 所以圆心C的纵坐标的取值范围时 ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了方程的思想，考查了化归与转化的数学思想方法，属中档题．有关直线和圆相交所得的弦长，一方面可以利用联立直线的方程和圆的方程，解方程组求得交点的坐标，然后利用两点间的距离公式来求解，这样求解运算量较大.另一个方面可以先求得圆心到直线的距离，然后利用来求得.‎ ‎22.已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足时，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为，根据其与圆相切可得，联立方程组可得 ‎，根据韦达定理求出和，，所以整理可得，根据向量数量积的定义可得，换元设，则，最后再根据均值不等式求出面积的取值范围.‎ 试题解析：（1）设椭圆方程为，‎ 由条件有解得，.‎ ‎∴椭圆的方程为：.‎ ‎（2）依题结合图形知直线的斜率不为零，‎ ‎∵直线即与圆：相切，‎ ‎∴得.‎ 设，，‎ 由 消去整理得，‎ 得.‎ 又，点到直线距离，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎,令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴的取值范围为：.‎ 考点：椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.‎ ‎ ‎