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- 2021-06-16 发布
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3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加减运算及其
几何意义
问题
引航
1.
复数的加法、减法如何进行
?
复数加法、减法的几何意义如何
?
2.
复数的加减法与向量间的加减运算是否相同
?
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C,
设 分别与复数
z
1
=
a
+
bi
,
z
2
=
c
+
di(a,b,c,d
∈
R)
相对应,且 不共线
加法
减法
运算
法则
z
1
+z
2
=(a+c)+(b+d)i
z
1
-z
2
=(a-c)+(b-d)i
几何
意义
复数的和
z
1
+z
2
与向量
的坐标
对应
复数的差
z
1
-
z
2
与向量
的坐标对应
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
C,
设 分别与复数
z
1
=
a
+
bi
,
z
2
=
c
+
di(a,b,c,d
∈
R)
相对应,且 不共线
加法
减法
运
算
律
交换律
z
1
+z
2
=z
2
+__
结合律
(z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(_____)
z
1
z
2
+z
3
1.
判一判
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
复数与向量一一对应
.
(
)
(2)
复数与复数相加减后结果只能是实数
.
(
)
(3)
因为虚数不能比较大小
,
所以虚数的模也不能比较大小
.
(
)
【
解析
】
(1)
错误
.
复数与复平面上的点一一对应
,
则复数与以原点为起点的向量一一对应
,
而不是与向量一一对应
.
(2)
错误
.
复数与复数相加相减后依然是复数
,
可能为实数
,
也可能为虚数
.
(3)
错误
.
虚数的模是实数
,
实数可以比较大小
.
答案
:
(1)×
(2)×
(3)×
2.
做一做
(
请把正确的答案写在横线上
)
(1)
计算:
(3+5i)+(3-4i)=_______.
(2)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=________.
(3)
已知向量 对应的复数为
2-3i,
向量 对应的复数
为
3-4i
,则向量 对应的复数为
______.
【
解析
】
(1)(3+5i)+(3-4i)=6+i.
答案:
6+i
(2)
原式
=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i.
答案:
-11i
(3)
答案:
1-i
【
要点探究
】
知识点
1
复数的加法、减法运算
对复数加法、减法运算的五点说明
(1)
一种规定
:
复数的代数形式的加法法则是一种规定
,
减法是加法的逆运算
;
特殊情形
:
当复数的虚部为零时
,
与实数的加法、减法法则一致
.
(2)
运算律
:
实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立
.
实数的移项法则在复数中仍然成立
.
(3)
运算结果
:
两个复数的和
(
差
)
是唯一确定的复数
.
(4)
适当推广
:
可以推广到多个复数进行加、减运算
.
(5)
虚数单位
i:
在进行复数加减运算时
,
可将虚数单位
i
看成一个字母
,
然后去括号
,
合并同类项即可
.
【
微思考
】
(1)
两个复数的和是个什么数
,
它的值唯一确定吗
?
提示
:
仍然是个复数
,
是一个确定的复数
.
(2)
若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
-z
2
>0,
能否认为
z
1
>z
2
?
提示
:
不能
.
如
2+i-i>0,
但
2+i
与
i
不能比较大小
.
【
即时练
】
已知复数
z
1
=3+4i,z
2
=3-4i,
则
z
1
+z
2
=
(
)
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
【
解析
】
选
B.z
1
+z
2
=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.
知识点
2
复数加减运算的几何意义
对复数加减运算的两点说明
(1)
复数的加法
:
根据复数加法的几何意义知
,
两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数
.
(2)
复数的减法
:
根据复数减法的几何意义
,
两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数
.
【
知识拓展
】
注意类比思想方法的运用
.
复数与向量有着天然的联系
,
要注意向量知识在复数学习中的催化作用
.
【
微思考
】
(1)
类比绝对值
|x-x
0
|
的几何意义
,
说明
|z-z
0
|(z,z
0
∈C)
的几何意义
.
提示
:
|z-z
0
|(z,z
0
∈C)
的几何意义是复平面内点
Z
到点
Z
0
的距离
,
即
|ZZ
0
|=|z-z
0
|.
(2)
既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则来运
算,是不是就有
z
1
+
z
2
=
z
2
-
z
1
= 呢
?
提示
:
因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间的对应
关系;式子
z
1
+
z
2
=
z
2
-
z
1
= 的左边是复
数,而右边是向量,因此不能说
z
1
+
z
2
与
z
2
-
z
1
与 相等.
【
即时练
】
复数
z
1
=1+2i,z
2
=3+5i
分别对应复平面内
A,B
两点
,
则
A
,
B
两点
的距离为
___________.
【
解析
】
复数
z
1
=1+2i,z
2
=3+5i
分别对应复平面内
A,B
两点的
坐标为
(1
,
2)
,
(3
,
5)
,则
|AB|=
答案:
【
题型示范
】
类型一
复数的加法、减法运算
【
典例
1】
(1)
若
z
1
=2+i,z
2
=3+ai,
复数
z
1
+z
2
所对应的点在实轴上
,
则
a=
(
)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
(2)
计算
:①(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i);
②1+(i+i
2
)+(-1+2i)+(-1-2i).
【
解题探究
】
1.
复数
z
1
+z
2
的值是多少
?
实轴上的点所对应复数的虚部是多少
?
2.
题
(2)
中①各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多少
?②
中的
i
2
等于多少
?
【
探究提示
】
1.z
1
+z
2
=5+(a+1)i,
实轴上点的纵坐标为
0,
则实轴上的点所对应复数的虚部是
0.
2.①
各小括号内的复数所对应的实部分别是
1,-2,-2,1,
虚部分别是
2,1,-1,-2.②
中的
i
2
等于
-1.
【
自主解答
】
(1)
选
C.
由
z
1
+z
2
=5+(a+1)i
所对应的点在实轴上得
a=-1.
(2)①
原式
=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.
②
原式
=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i)=(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i
.
【
方法技巧
】
复数加减运算法则的记忆
(1)
复数的实部与实部相加减
,
虚部与虚部相加减
.
(2)
把
i
看作一个字母
,
类比多项式加减中的合并同类项
.
【
变式训练
】
计算
:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
【
解析
】
(1)
原式
=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)
原式
=5i-(4+i)=-4+4i.
【
误区警示
】
注意运算格式及范围避免出错
(1)
在进行复数减法运算时要注意格式
,
两复数相减所得结果依然是一个复数
,
其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差
.
注意中间用
“
+
”
号
,
如
z
1
=a+bi,z
2
=c+di,z
1
-z
2
=(a-c)+(b-d)i,
而不是
z
1
-z
2
=(a-c)-(b-d)i.
(2)
复数中出现字母时
,
首先要判断其是否为实数
,
再确定复数的实部与虚部
,
最后把实部与虚部分别相加
.
【
补偿训练
】
计算
(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
【
解析
】
原式
=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
类型二
复数的加法、减法运算的几何意义
【
典例
2】
(1)
在复平面内
,
平行四边形
ABCD(
顶点顺序为
ABCD)
的三个顶点
A,B,C
对应的复数分别是
1+3i,-i,2+i,
则点
D
对应的
复数为
.
(2)
已知
z
1
,
z
2
∈C
,
|z
1
|=|z
2
|=1
,
|z
1
+z
2
|=
求
|z
1
-
z
2
|
.
【
解题探究
】
1.
点
A,B,C
的坐标分别是多少?向量 与向量
是否相等?
2.
由复数的几何意义可知,
z
1
,z
2
,z
1
+z
2
在复平面上对应的点分
别为
Z
1
,Z
2
,Z
,则它们与原点构成了一个什么样的图形?
【
探究提示
】
1.
顶点
A,B,C
的坐标分别是
(1
,
3)
,
(0
,
-1)
,
(2
,
1)
;由平行四边形
ABCD
知,向量 与向量 相等
.
2.
在复平面内画出图形可知为平行四边形
.
【
自主解答
】
(1)
设
D(x,y),
类比向量的运算知 所以有
复数-
i
-
(1+3i)=2+i
-
(x+yi)
得
x=3,y=5,
所以
D
对应的复数
为
3+5i.
答案:
3+5i
(2)
设复数
z
1
,
z
2
,
z
1
+z
2
在复平面上对应的点分别为
Z
1
,
Z
2
,
Z
,由
|z
1
|=|z
2
|=1
知,以
OZ
1
,
OZ
2
为邻边的平行四边形是菱形,
在△
OZ
1
Z
中,由余弦定理,得
所以∠
OZ
1
Z=120°
,所以∠
Z
1
OZ
2
=60°
,因此,△
OZ
1
Z
2
是
正三角形,所以
|z
1
-
z
2
|=|Z
2
Z
1
|=1
.
【
延伸探究
】
若把题
(2)
中的条件“
|z
1
+z
2
|= ”
改为
“
|z
1
-z
2
|=1”
,则
|z
1
+z
2
|
等于多少?
【
解析
】
设复数
z
1
,
z
2
在复平面上对应的点分别为
Z
1
,
Z
2
,由
|z
1
|=|z
2
|=1
,
|z
1
-z
2
|=1
知,以
OZ
1
,
OZ
2
为邻边的平行四边形是
菱形
OZ
1
ZZ
2
,
OZ
为对角线,△
OZ
1
Z
2
为正三角形,由余弦定理,
得
|z
1
+z
2
|
2
=|z
1
|
2
+|z
2
|
2
-2|z
1
||z
2
|cos∠OZ
1
Z
,
因为∠
Z
1
OZ
2
=60°,
所以∠
OZ
1
Z=120°
,
所以
|z
1
+z
2
|=
【
方法技巧
】
利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)
技巧
:
①
形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
(2)
常见结论:在复平面内,
z
1
,
z
2
对应的点分别为
A
,
B
,
z
1
+
z
2
对应的点为
C
,
O
为坐标原点,则四边形
OACB
:
①为平行四边形;
②若
|z
1
+
z
2
|
=
|z
1
-
z
2
|
,则四边形
OACB
为矩形;
③若
|z
1
|
=
|z
2
|
,则四边形
OACB
为菱形;
④若
|z
1
|
=
|z
2
|
且
|z
1
+
z
2
|
=
|z
1
-
z
2
|
,则四边形
OACB
为正方形.
【
变式训练
】
如图所示,平行四边形
OABC
的顶点
O
,
A
,
C
分别表示
0,3
+
2i
,-
2
+
4i.
求:
(1)
表示的复数
.
(2)
对角线 表示的复数
.
(3)
对角线 表示的复数.
【
解题指南
】
(1)
中注意向量的起点与终点
.(2)
注意把向量
用向量 表示
.
(3)
借助向量的运算
【
解析
】
(1)
则 对应的复数为-
(3
+
2i)
,
即-
3
-
2i.
(2)
所以 对应的复数为
(3
+
2i)
-
(
-
2+4i)
=
5
-
2i.
(3)
所以 对应的复数为
(3
+
2i)
+
(
-
2
+
4i)
=
1
+
6i.
【
补偿训练
】
复数
z
1
=
1
+
2i
,
z
2
=-
2
+
i
,
z
3
=-
1
-
2i
,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
【
解析
】
设复数
z
1
,
z
2
,
z
3
在复平面内所对应的点分别为
A
,
B
,
C
,正方形的第四个顶点
D
对应的复数为
x
+
yi(x
,
y∈R)
,如图.
则 =
(x
+
yi)
-
(1
+
2i)
=
(x
-
1)
+
(y
-
2)i
,
=
(
-
1
-
2i)
-
(
-
2
+
i)
=
1
-
3i.
因为 所以
(x
-
1)
+
(y
-
2)i
=
1
-
3i.
所以
解得
故点
D
对应的复数为
2
-
i.
【
易错误区
】
复数运算中思维不严谨而致误
【
典例
】
设
x∈[0,2π),
复数
z
1
=cosx+isinx
对应的点在第
一象限中直线
y=x
的左上方
,z
2
=1-i,
则
|z
1
+z
2
|
的取值范围是
.
【
解析
】
由已知得
z
1
+z
2
=(cos x+1)+(sin x-1)i
,
所以
|z
1
+z
2
|=
因为复数
z
1
=cos x+isin x
对应的点在第一象限中直线
y=x
的左上方,且
x∈
[
0,2π)
,
所以
解得
所以
故
所以
答案:
【
常见误区
】
错解
错因剖析
忽视阴影处
x
的取值范围,想当然地认为
x
可以取[
0,2π)
范围内的任意实数
,
从
而
cos
(
x+
)的范围是[
-1,1
],故
得错误的结果为
【
防范措施
】
1
.题目条件的充分利用
解题时,要仔细审题,建立条件与所求之间的联系,实现题目条件向结论的正确转化,如本例根据已知条件,将
|z
1
+z
2
|
化为三角函数式,再化简求值
.
2.
注意条件的挖掘
已知复数
z=a+bi,
根据复数的几何意义,已知点的坐标所在位置,可得
a,b
的取值范围,如本例中根据
z
1
对应的点的位置可列不等式组,得到
x
的取值范围
.
【
类题试解
】
若复数
z
1
=2cos α+isin α,z
2
=cos α-
(sin α-1)i,α∈(0,π),
且
z
1
-z
2
<
0,
则
α=_________.
【
解析
】
由条件得
z
1
-z
2
=cos α+(2sin α-1)i,
因为
z
1
-z
2
<
0,
所以
由
2sin α-1=0,
得
sin α=
又
α∈(0,π),
所以
当
α=
时,
cos α=
>
0,
故舍去
,
所以
答案: