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  • 2021-06-16 发布

高考数学考点18 平面向量的概念及其线性运算

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1 考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量; 向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量 或 ; 模 或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于 0 的向量,方向是任意的 记作 零向量方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 常用 表示 非零向量 的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 平行向量又叫共线向量 与 共线可记 为 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 1.向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 AB a | |AB | |a 0 e a | | a a a b a b 0 a b  a b 0 0 2 2.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一的一个实数 λ,使得 . 【注】限定 a≠0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性.学+ b a 3 考向一 平面向量的基本概念 解决向量的概念问题应关注以下七点: (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即平行向量,它们均与起点无关. (4)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量. (5)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈. (6)非零向量 a 与 的关系: 是 a 方向上的单位向量.+网 (7)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小. 典例 1 下列命题正确的是 A.单位向量都相等 B.模为 0 的向量与任意向量共线 C.平行向量不一定是共线向量 D.任一向量与它的相反向量不相等 1.给出下列四个命题: ①若 ,则 ; ②若 是不共线的四点,则 是四边形 为平行四边形的充要条件; ③若 , ,则 ; ④ 的充要条件是 且 . 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ | | a a | | a a a b a b , , ,A B C D AB DC  ABCD a b b c a c a b a b ∥a b 4 C.③④ D.②④ 考向二 向量的线性运算 平面向量线性运算问题的求解策略: (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三 角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在线性运算中同样适用. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧: ①观察各向量的位置; ②寻找相应的三角形或多边形; ③运用法则找关系; ④化简结果. 典例 2 若 、 、 、 是平面内任意四点,给出下列式子: ① ,② ,③ . 其中正确的有 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 【答案】B 【解析】① 的等价式是 = ,左边= + ,右边= + , 不一定相等; ② 的等价式是 = ,左边=右边= ,故正确; ③ 的等价式是 = + ,左边=右边= ,故正确. 所以正确的有 2 个,故选 B. 【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键. 2.如图,在直角梯形 中, , 为 边上一点, , 为 的中点,则 A B C D AB CD BC DA      AC BD BC AD      AC BD DC AB      AB CD BC DA      AB DA  BC  CD AB AD BC DC AC BD BC AD      AC  AD BC  BD DC AC BD DC AB      AC AB  BD DC BC 5 A. B. C. D. 典例 3 如图,在平行四边形 中,对角线 与 交于点 , ,则 ____________. 【答案】2 【解析】由平行四边形法则,得 ,故 λ=2. 3 . 已 知 中 , 为 边 上 靠 近 点 的 三 等 分 点 , 连 接 , 为 线 段 的 中 点 , 若 ,则 A. B. C. D. 考向三 共线向量定理的应用 共线向量定理的主要应用: (1)证明向量共线:对于非零向量 a,b,若存在实数 λ,使 a=λb,则 a 与 b 共线. (2)证明三点共线:若存在实数 λ,使 ,则 A,B,C 三点共线. 【注】证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点. ABCD AC BD O AB AD AO      2AB AD AC AO      ABC△ D BC B AD E AD CE mAB nAC    m n  1 3 1 2 1 4 1 2 AB AC  6 (3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 典例 4 已知两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a−b),求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【答案】(1)证明见解析;(2)k=1 或−1. 【解析】(1)∵ =a+b, =2a+8b, =3(a−b), ∴ + =2a+8b+3(a−b)=5(a+b)=5 , ∴ , 共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使得 ka+b=λ(a+kb), ∴(k−λ)a=(λk−1)b. ∵a,b 是两个不共线的非零向量, ∴k−λ=λk−1=0, ∴k2−1=0, ∴k=1 或−1. 【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线. 对于第(2)问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出 ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一 条件,列出方程组,解出参数. 4.已知 为 内一点,且 , ,若 , , 三点共线,则 的值为 A. B. C. D. O ABC△  1 2AO OB OC    AD t AC  B O D t 1 4 1 3 1 2 2 3 7 1.下列说法正确的是 A.向量 与向量 是共线向量,则点 必在同一条直线上 B.两个有共同终点的向量,一定是共线向量 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 2.已知 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则与向量 平行的向量为 A. B. C. D. 3.设 D 为△ABC 所在平面内一点, ,则 A. B. C.   D. 4.已知 为两非零向量,若 ,则 与 的夹角的大小是 A. B. C. D. 5.已知非零向量 ,且 ,则一定共线的三点是 A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 6.如图, 在 的内部, 为 的中点,且 ,则 的面积与 的面积的比值为 A.3 B.4 C.5 D.6 AB CD , , ,A B C D OA AB AC  AB BC CD    AB AF CD    AB CD DE    4BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 5 4 4AD AB AC     1 4 5 5AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ,a b   a b a b a b 90 60 45 30 ,a b 2 , 5 6 , 7 2AB BC CD        a b a b a b O ABC△ D AB 2OA OB OC   0   ABC△ AOC△ 8 7.已知 , 为平面向量,若 与 的夹角为 , 与 的夹角为 ,则 A. B. C. D. 8.在 中,点 满足 ,过点 的直线与 , 所在直线分别交于点 , ,若 , ,则 的最小值为 A.3 B.4 C. D. 9.已知正方形 ABCD 的边长为 1,设 , , ,则 _______. 10.设 , 是不共线的两个非零向量,若 , , ,且点 , , 在同一直线上,则 __________.学% 1.(2018 年高考新课标Ⅰ卷理科)在 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则 A. B. C. D. 2.(2015 年高考新课标Ⅰ卷理科)设 为 所在平面内一点, ,则 A. B. C. D. 3.(2015 年高考北京卷理科)在 中,点 M,N 满足 =2 , .若 =x +y ,则 x=________; y=________. 4.(2015 年高考新课标Ⅱ卷理科)设向量 , 不平行,向量 与 平行,则实数 _________. a b a b a π 3 a b b π 4 a b 3 3 6 4 5 3 6 3 ABC△ P 2BP PC  P AB AC M N AM mAB  ( 0, 0)AN nAC m n    2m n 8 3 10 3 AB  a BC  b AC  c   a b c a b 12OA k  a b 4 5OB   a b 10OC k   a b A B C k  ABC△ AD BC E AD EB  3 1 4 4AB AC  1 3 4 4AB AC  3 1 4 4AB AC  1 3 4 4AB AC  D ABC△ 3BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 4 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ABC△ a b  a b 2a b   9 1.【答案】B 2.【答案】D 【解析】由题意得, 那么 【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查,重在对加法法则、减法法则的理解,要特别注意首尾 顺次相接的若干向量的和为 的情况.一般将向量放在具体的几何图形中,常见的有三角形、四边形(平 行四边形、矩形、菱形、梯形)、正六边形等. 在解决这类问题时,要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用.当运用三角形加法法则时,要注 意两个向量首尾顺次相接,当两个向量共起点时,可以考虑用减法. 3.【答案】B 【 解 析 】 如 图 , 中 , 为 边 上 靠 近 点 的 三 等 分 点 , 为 线 段 的 中 点 , 则 , , , , , . 故选 B. 0 ABC△ D BC B E AD CB AB AC    2 2 2 3 3 3CD CB AB AC       1 1 1 1 1 5 2 3 3 2 3 6CE CD CA AB AC AC AB AC               CE mAB nAC    1 5,3 6m n    1 2m n    10 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用,考查了学生的推理与运算能力.解本题时,根据题 意画出图形,结合图形利用平面向量的线性运算的三角形法则和平行四边形法则,用 、 表示 , 求出 的值即可. 4.【答案】B 【解析】设线段 的中点为 ,则 ,因为 ,所以 ,则 ,由 三点共线,得 , 解得 .故选 B. 【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法: ① 三点共线 ; ② 为平面上任一点, 三点共线 ,且 . 1.【答案】D 【解析】对于 A,若向量 与向量 是共线向量,则 或点 在同一条直线上, 故 A 错误; 对于 B,共线向量是指方向相同或相反的向量,两个有共同终点的向量,其方向可能既不相同又不相反, 故 B 错误; 对于 C,长度相等的向量不一定是相等向量,还需要方向相同,故 C 错误; 对于 D,相等向量是大小相等、方向相同的向量,故两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同, 故 D 正确. 故选 D. 【名师点睛】本题考查向量的基本定义,关键是理解向量有关概念的定义.解题时,根据题意,结合向 量的定义依次分析四个命题,综合即可得答案. 2.【答案】B AB AC CE ,m n BC M 2OB OC OM    2AO OB OC    AO OM   1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 4AO AM AB AC AB AD AB ADt t                  , ,B O D 1 1 14 4t  1 3t  , ,A B C AB AC   O , ,A B C OA OB OC      1   AB CD AB CD∥ A B C D, , , 11 【解析】因为 , 故选 B. 【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件,在正六边形中,首先利用向量的加法运算法则,结合 向量共线的条件,对选项逐个分析,求得正确结果. 3.【答案】B 【解析】 ,故选 B. 4.【答案】A 【解析】因为 ,即所围成的平行四边形的对角线长度相等,所以该平行四边形为正方形或 长方形,由此可得 的夹角为 90°,故选 A. 【名师点睛】根据向量的加减法则,结合几何图象特征即可. 5.【答案】A 【解析】由向量的加法法则可得 , 所以 与 共线,又两线段过同点 ,所以 三点一定共线.故选 A. 【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用,向量的加法法则,考查利用向量的共线来证明三点共 线,意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时,由向量加法的“三角形”法则,可得 ,从而可得结果. 【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算,属于中档题.解决向量小题的常用方法有:数形结合, 2 2AB BC CD AD AO OA            5 5 1 5 4 4 4 4AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC                     a b a b ,a b 5 6 7 2BD BC CD         a b a b 2 4 2AB   a b AB BD B , ,A B D 2BD AB  12 向量的三角形法则、平行四边形法则等;建系将向量坐标化;向量基底化,选基底时一般选择已知大小 和方向的向量为基底.解决本题时,根据平面向量的几何运算可知 O 为 CD 的中点,从而得出答案. 7.【答案】D 【解析】如图所示: 在平行四边形 中, , , 在 中,由正弦定理可得, ,故选 D. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的运算法则、几何意义以及正弦定理在解三角形中的应用,属于中 档题.!网 【名师点睛】考查向量减法的几何意义,共线向量基本定理,以及基本不等式的应用,属中档题.解本题 时,用 , 表示出 ,根据三点共线得出 的关系,最后利用基本不等式得出 的最小 ABCD , ,AB AD AC     a b a b π π,3 4BAC DAC    ABC△ π 2sin 64 2 π 33sin 3 2   a b AM AN AP ,m n 2m n 13 值. 9.【答案】2 【解析】如图, ,所以 ,又 , ,故答案为 . 【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则,及其几何意义,属于基础题.向量的运算有两种方法, 一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,二是坐标运算:建立坐标系转化为解析几何 问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).运算法则是: (1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差); (2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和). 10.【答案】 【解析】由题得 因为点 , , 在同一直线上,所以 故答案为 . 【名师点睛】(1)本题主要考查向量的运算和共线向量的性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握 水平.(2) 三点共线 . 1.【答案】A 【解析】根据向量的运算法则,可得 ,所以 ,故选 A.  a b c 2  a b c a 1a  2  a b c 2 2 3    4 7 , 4 5 ,AB OB OA k CB OB OC k              a b a b A B C 4 7 2, .4 5 3 k kk       2 3 , ,A B C  AB BC   1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC             1 1 1 3 1 2 4 4 4 4BA BA AC BA AC         3 1 4 4EB AB AC    14 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题,涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算. 2.【答案】A 【解析】由题知 ,故选 A. 3.【答案】 【解析】由题中条件得 + + + ( )= =x +y ,所以 x= ,y= . 1 1 ( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB               1 4 3 3AB AC  

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