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- 2021-06-16 发布
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江西省高安中学2019-2020学年上学期期末考试
高二年级数学理科A卷
一.选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.复平面内表示复数的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下列有关命题的说法错误的是( )
A.已知是椭圆的两个焦点,过点的直线与椭圆交于A,B两点,则 的周长为
B.若“”为假命题,则与均为假命题
C.若命题,则命题
D.两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于0
3.一个盒子里装有相同大小的黑球个,红球个,白球个.从中任取个,其中白球的个数记为,则概率等于表示的是( )
A. B. C. D.
4.2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学界的震动.在1859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论(素数即质数,).根据欧拉得出的结论,如右流程图中若输入的值为100,则输出的值应属于区间( )[来源:Zxxk.Com]
A. B. C. D.
5.已知,则二项式展开式中的常数项为( )
A.8 B.28 C.56 D.120
6.已知双曲线C:(a>0,b>0)的左焦点为F,以OF为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于原点O的A,B两点,若四边形AOBF的面积为,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x
7.针对“中学生追星问题”,某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查,其中女生人数是男生人数的,男生追星的人数占男生人数的,女生追星的人数占女生人数的.若有的把握认为是否追星和性别有关,则男生至少有( )
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635[来源:学科网ZXXK]
10.828
参考数据及公式如下:
A. 12 B. 11 C. 10 D. 18
8.某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷,试卷共4道解答题,要求将这6名教师分成4组,每组改一道解答题,其中2组各有2名教师,另外2组各有1名教师,则不同的分配方案的种数是( )
A.216 B.420 C.720 D.1080
9.已知函数的定义域为为的导函数,且满足,则不等式的解集是( )
A. B. C D.
10..如图所示,点F是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于x轴,则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.如图,在三棱柱中,侧棱底面,
是棱的中点,是的延长线的交点.若点在直线上,则下列结论正确的是( )
A.当点为线段的中点时,平面
B.当点为线段的三等分点时,平面
C.在线段的延长线上,存在一点,使得平面
D.不存在点,使与平面垂直
12.若曲线 和上分别存在点 ,使得 是以原点 为直角顶点的直角三角形, 交 轴于点 ,且 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)
收入(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
13.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:根据上表可得回归直线方程,则 .
14.随机变量的分布列为,其中 为常数,则 的值为__________.
15.若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是__________
16.已知函数f(x)=x3-3x+b与函数有相同的对称中心,若有最大值,则实数的取值范围是__________.
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分10分)在直角坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为 (为参数).
(1).已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为,判断点与直线的位置关系;
(2).设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
18. ( 本小题满分12分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若函数的值域为R,求实数的取值范围.
19.( 本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1).求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中间值作代表);
(2).由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数 ,近似为样本方差.
①利用该正态分布,求;
②某用户从该企业购买了件这种产品,记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数,利用①的结果,求.
附: .
若,则,
20. ( 本小题满分12分)
如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 , ,点 、 分别在线段 、 上,且 ,其中 ,连接 ,延长 与 的延长线交于点 ,连接
(1)求证:;
(2)若 时,求二面角 的正弦值;
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 时,求 值.
21.( 本小题满分12分)
已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,且线段的中点坐标为,椭圆的上顶点的坐标为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,若直线与的斜率之和为,求证:直线过定点.
22. ( 本小题满分12分)
已知函数
(1).若在定义域上不单调,求的取值范围;
(2).设,分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.
高二年级数学理A卷数学答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
D
A
B
B
C
A
D
A
B
D
C
二、填空题
13 9.8 14, 15 . 16.[-1,+∞)
三、解答题:(本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
17.解:1. 点的极坐标为,则直角坐标为,
把代入直线的方程,
因为,所以点在直线上. 。。。。。。。。。5分
2.因为点是曲线上的一个动点,则点的坐标可设为.
点到直线的距离为
.
所以当时, 取得最小值。。。。。。。。10分 .
18. (1)由已知不等式,得.
考虑到,不等式又可化为或
解得或.
所以不等式的解集为. 。。。。。。。6分
(2)设,则.
因为当且仅当时取等号,
所以.
因为函数的值域为,
所以有解,即.
因为,所以,即.
所以实数的取值范围是。。。。。。。。。12分
解:1.抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为:
,。。。。。。。2分
.。。。。。。。4分
2.①由1知, ,从而.。。。。。。。8分
②由①知,一个产品的质量指标值位于区间的概率为依题意知,
所以.。。。。。。。12分
20. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)在线段 上取一点 ,使得 , ,
且 ,
,
, 且 ,
且 ,
四边形为平行四边形,
,
又 平面 , 平面 ,
平面 .。。。。。。。。3分
(2)以 为坐标原点,分别以 , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系
,0, , ,0, , ,2, , ,2, , ,0, ,
, ,1, , ,0,
设平面 的一个法向量为 ,
, ,
,令 , , ,
设平面 的一个法向量为 ,
, ,[来源:Z。xx。k.Com]
,
令 , , , ,
,
,
二面角 的正弦值为 .。。。。。。。7分
(Ⅲ)令 , , , , ,
设平面 的一个法向量为 ,
, ,
,令 ,
,
由题意可得: ,
,
, .。。。。。。。12分
.
21.(1)设,,
因为线段的中点坐标为,所以,(2分)
又,,上述两式相减可得,
因为直线的斜率为,即,所以,(4分)
又因为椭圆的上顶点的坐标为,所以,
所以,所以椭圆的标准方程为,(5分)
(2)设点,,将代入,消去可得,
则,,(7分)
所以,
所以,化简得,(10分)
所以直线的方程为,即,
令,可得,所以直线过点,
故直线过定点.(12分)
22解:1.由已知,
①若在定义域上单调递增,则,即在上恒成立,而,所以;
②若在定义域上单调递减,则,即在上恒成立,而,[来源:学科网]
所以.因为在定义域上不单调,所以,即.。。。。。。。4分
2.由知,欲使在有极大值和极小值,必须.又,所以.
令的两根分别为,即的两根分别为,于是.。。。。。。。6分
不妨设,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以,所以
令,于是. ,.。。。。。。。9分
由,得.[来源:Z+xx+k.Com]
因为,
所以在上为减函数.
所以.。。。。。。。12分