安徽省安庆市某中学2020届高三三模数学（文）试卷 14页

数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知复数，若，则实数 A. B. C. 2 D. ‎ 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 3. 同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为 A. B. C. D. ‎ 4. 执行如图所示的程序框图，输出的s的值为 A. B. C. D. ‎ 5. 已知数列的前n项之和，则 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ 6. 圆与圆的公共弦长为 A. B. C. D. ‎ 7. 已知，且，则 A. B. C. D. ‎ 8. 若，是夹角为的两个单位向量，而，，则向量和夹角为 A. B. C. D. ‎ 9. 已知函数，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ 1. 在正方形中，E、F分别是及的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体中必有 ‎ A. 所在平面 B. 所在平面 C. 所在平面 D. 所在平面 2. 如果关于x的不等式在恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 3. 已知的三边分别为a，b，c，若满足，则面积的最大值为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 函数在点处的切线方程为______．‎ 5. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为______．‎ 6. 已知，则M的最大值为______．‎ 7. 根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东方向的600km处的热带风暴中心B正以的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过______小时后该码头A将受到热带风暴的影响精确到．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 8. 若等比数列的前n项和为，满足，． 求数列的首项和公比q； 若，求n的取值范围． ‎ 9. 如图，在棱长为a的正方体中，P，Q，L分别为棱，，BC的中点． 求证：； 求四面体DPQL的体积． ‎ ‎ ‎ 1. 一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是5009，为了了 解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量单位：如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510 求这10袋白糖的平均重量和标准差s； 从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在的概率是多少？附：，，， ‎ 2. 已知抛物线：的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足 求抛物线的方程； 已知经过点的直线交抛物线于M，N两点，经过定点和M的直线与抛物线交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． ‎ 3. 研究函数在上的单调性； 求函数的最小值． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：． 求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程； 若点P在曲线上，点Q曲线上，求的最小值． ‎ 2. 已知函数． 当时，求解不等式； 已知关于x的不等式在R上恒成立，求参数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， ，即． 故选：D． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， 集合， 则， 故选：C． 化简集合N，再求交集即可． 考查集合的运算，同时考查了不等式的解法，基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数， 向上的点数之和小于5包含的基本事件有： ，，，，，，共6个， 向上的点数之和小于5的概率为． 故选：B． 基本事件总数，向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出向上的点数之和小于5的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，， 第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后，，，满足退出循环的条件； 故输出S值为 ‎， 故选：C． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，， ． 则． 故选：B． 利用递推关系即可得出． 本题主要考查数列求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属基础题． 两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆的圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长． 【解答】 解：圆与圆， 相减得：， 圆心到直线的距离，， 则公共弦长为． 故选C． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，即， ， ． 故选：B． 利用配角容易求出，进而求得的值． 本题考查正切的差角公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，是夹角为的单位向量， ． ‎ ‎． ． ． ． ． 两向量夹角范围为， ，的夹角为． 故选：C． 由向量的乘法运算及数量积运算求出，由向量模的公式求出，代入两向量夹角公式得答案． 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了多项式的乘法运算及数量积公式，考查了计算能力，是中档题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数， 当时，函数． 故选：A． 直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：在折叠过程中， 始终有，， 即，， 所以平面EFG． 故选A． 根据题意，在折叠过程中，始终有，，即，，由线面垂直的判定定理，易得平面EFG ‎，分析四个答案，即可给出正确的选择． 线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：当时，不等式显然成立，， 当时，由原不等式可得，， 令，且，则 易得函数在递增，单调递减， 故当时，取得最小值， 故． 故选：A． 当时，不等式显然成立，，当时，由原不等式可得，，然后构造函数，且，结合导数可研究单调性及最值，即可求解 本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离参数，转化为求解函数的最值或范围问题是常见的处理方式． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由三角形面积公式可得：， 可得：， ， ，可得：，解得：，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 当时，取得最大值，S的最大值为． 故选：B． 由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求，进而利用基本不等式，从而可求，从而利用二次函数的性质可求最值． 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，是基础题． 求出原函数的导函数，可得 ‎，再由直线的点斜式方程得答案． 【解答】 解：，， 则， 函数在点处的切线方程为， 即． 故答案为：． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， 即， ，， ，由于在递减，最大值为， 所以， 故答案为：． 求导，参数分离，根据右边函数的单调性求最值，得出结论． 考查导数法判断函数的单调性，参数分离解不等式，中档题． 15.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：由题意，，，，； 设，，，，则 ， ，，， 的最大值为1， 即的最大值为1． 故答案为：1． 由题意，，，设，，，，利用两角和的正弦公式，即可得出结论． 本题考查最大值的求解，考查两角和的正弦公式，正确换元是关键．属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为C． 若在点B处受到热带风暴的影响，则， 即， 即； 式两边平方并化简、整理得 或 ‎ ‎， 时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为． 故答案为：． 设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为若在点B处受到热带风暴的影响，则，求出t，即可得出结论． 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力． 17.【答案】解：，显然公比， ，解可得，， 由可得， ，即， 解可得，． ‎ ‎【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解； 结合及已知不等式可直接求解． 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 18.【答案】证明：H为CD的中点，连接QH，HL，P，Q，L分别为棱，，BC的中点． 所以，，，所以平面QHL，平面QHL，； 解：连接，，四边形，是平行四边形，四面体DPQL的体积就是四面体的体积， 几何体的体积为： ． ‎ ‎【解析】为CD的中点，连接QH，HL，证明平面QH，即可证明； 连接，，说明四边形，是平行四边形，四面体DPQL的体积就是四面体的体积，然后转化求解即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.【答案】解：根据题意，10袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510， 则其平均重量， 其方差 ‎ ‎； 则其标准差； 根据题意，由的结论，10袋白糖在之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，共8袋， 从10袋白糖中任取两袋，有种取法， 其中恰有一袋的重量不在的情况有种， 则恰有一袋的重量不在的概率． ‎ ‎【解析】根据题意，由数据的平均数、方差、标准差计算公式计算可得答案； 根据题意，分析可得有8袋白糖在之间，由组合式公式求出“从10袋白糖中任取两袋”和“其中恰有一袋的重量不在”的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案． 本题考查古典概型的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题． 20.【答案】解：由抛物线的方程可得焦点，满足的P的坐标为，P在抛物线上， 所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：； 设，，，则，， 直线MN的斜率， 则直线MN的方程为：，即， 同理可得直线ML的方程整理可得， 将，分别代入，的方程可得，消可得， 易知直线，则直线NL的方程为：， 即，故， 所以， 因此直线NL恒过定点． ‎ ‎【解析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，再由求出P的坐标，P又在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，即可求出抛物线的方程； 设M，N，L的坐标求出直线NM的斜率，进而由题意求出直线MN的方程，同理可得直线ML的方程，将A，B的坐标分别代入两个方程N，L的坐标关系，求出NL的斜率，进而求出直线NL的方程，可得恒过定点． 考查排污池的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中难题． 21.【答案】解：由，求导， 设，，， 所以在递减，则 故，所以在递减； 观察知为偶函数，故只需求时的最小值， 由，当时，设，则，显然递增， 而，， 由零点存在定理，存在唯一的，使得 当时，，递减， 当时，，递增， 而，，故时，， 即时，，则递减； 又当时，，，递增； 所以． ‎ ‎【解析】求导，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，即可求得在上的单调性； 根据函数的奇偶性，求导，构造新函数，根据函数的零点存在定理，及导数与函数单调性的关系，即可求得的最小值． 本题考查导数与函数的综合应用，考查导数与函数单调性及最值的关系，考查函数零点存在定理，考查转化思想，计算能力，属于中档题． 22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：． 曲线：转换为直角坐标方程为，整理得． 设点在曲线上，圆心， 所以：， 当时，‎ ‎， 所以的最小值． ‎ ‎【解析】直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换的应用求出结果． 利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：当时，， 当时，原不等式可化为，解可得， 此时不等式的解集； 当时，原不等式可化为，解可得 此时不等式的解集； 当时，原不等式可化为，解可得， 此时不等式的解集， 综上可得，不等式的解集， 当即时，显然不成立， 当即时，， 结合函数的单调性可知，当时，函数取得最小值， 若在R上恒成立，则，此时a不存在， 当即时， 若在R上恒成立，则，解可得， 此时a的范围， 综上可得，a的范围围． ‎ ‎【解析】把代入后结合绝对值不等式的求法即可求解； 由已知不等式的恒成立可转化为，结合函数的单调性求出函数的最小值即可求解． 本题主要考查了含有参数的绝对值不等式的求解及不等式恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用． ‎