2018届二轮复习数列通项、求和、综合应用学案（江苏专用） 9页

专题9：数列通项、求和、综合应用(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＝2nan－1(n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝；（2）an＝2．‎ ‎2．(1) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________． ‎ ‎(2) 已知数列{an}中，a1＋‎2a2＋…＋nan＝n2(n＋1)，则an＝ ．‎ ‎(3) 已知数列{an}中，a‎1a2…an＝n2，则an＝ ．‎ 答案： (1)－．=；(2) an＝2n；(3) an＝．‎ ‎3．(1)已知数列{an}中，a1＝1， an＝an－1＋1 (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(2)已知数列{an}中，a1＝1， an=2an-1＋2n (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎(3)已知数列{an}中，a1＝1， an＝ (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ 答案：(1)an＝3－2×()n－1； (2)an＝(2n－1)×2n－1；(3)an＝．‎ ‎4． (1) 已知数列{an}中，an＋an＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则an＝ ．‎ ‎(2) 已知数列{an}中，anan＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则an＝ ．‎ 答案：(1) an＝；(2) an＝ ‎5． 已知数列{an}中，an＋1＝，若a1＝，则a2014的值为 ． ‎ ‎ 　答案：．‎ ‎6．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n的前n项的和为 ．‎ ‎(2)数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，（n∈N*），则数列{}的前10项和为 ‎ ‎(3)数列an＝(2n－1)·3n的前n项的和为 ．‎ ‎(4)设f(x)＝，则f()＋f()＋f()＋…＋f()的值为 ．‎ ‎(5)已知数列an＝(－1)n·n，则前n项的和Sn＝ ．‎ 答案：(1)2n＋2－(4＋n)； (2) ；(3)(n－1)·3n＋1＋3；(4)；‎ ‎(5) Sn＝．‎ ‎7．(1)数列{an}通项公式为an＝an2＋n，若{an}满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，‎ 则实数a的取值范围为 ．‎ ‎(2)已知数列{an}通项公式为an＝()n－2，bn＝λan－n2，若数列{bn}是单调递减数列，则实数 λ的取值范围为 ．‎ ‎(3)已知数列{an}通项公式为an＝4n2()n－1(n∈N*)，则{an}的最大项为第 项．‎ 答案：(1)(－，－)；（2）λ＞－3；(3)9．‎ 二、方法联想 ‎1．形如an－an－1＝f(n)(n∈N且n≥2)‎ 方法 叠加法，即当n∈N，n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1．‎ 形如＝f(n)(n∈N且n≥2)‎ 方法 用叠乘法，即当n∈N*，n≥2时，an＝··…··a1．‎ 注意 n＝１不满足上述形式，所以需检验．‎ ‎2．形如含an，Sn的关系式 方法 利用an＝，将递推关系转化为仅含有an的关系式(如果转化为an不能解决问题，则考虑转化为仅含有Sn的关系式)．‎ 注意 优先考虑n＝1时，a1＝S1的情况．‎ ‎3．形如a1＋‎2a2＋…＋nan＝f(n)或a‎1a2…an＝f(n) ‎ 记bn＝na，则f(n)是数列{bn}的前n项和 方法 (1)列出 (n∈N*且n≥2)，两式作差得an＝ (n∈N*且n≥2)，而a1＝f(1)．‎ ‎(2)列出 (n∈N*且n≥2)，两式作商得an＝ (n∈N*且n≥2)，而．‎ 注意 n＝１是否满足上述形式须检验．‎ ‎【变式】（1）已知数列{an}中，na1＋(n－1)a2＋(n－2)a3＋…＋an＝n2(n＋1)(n∈N*)，则an＝ ．‎ ‎(n与an倒序之和)‎ ‎（2）设Sn是数列{an}的前n项和，若nSn＋(n＋2)an＝4n(n∈N*)，an＝ ．‎ ‎（Sn前面的系数不是常数）‎ ‎【答案】（1）an＝6n－4，（2）an＝ ‎3．形如an＝pan－1＋q (n∈N且n≥2) ‎ 方法　化为an＋＝p(an－1＋)形式．令bn＝an＋，即得bn＝pbn－1，转化成{bn}为等比数列，从而求数列{an}的通项公式．‎ 形如an＝pan－1＋f(n) (n∈N且n≥2) ‎ 方法　　两边同除pn，得=＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化为利用叠加法求b n(若为常数，则{bn}为等差数列)，从而求数列{an}的通项公式．‎ ‎【变式】（1）已知数列{an}中，a1＝1， an＝3an-1＋2n (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎ (an前的系数不等于公比)‎ ‎（2）已知数列{an}中，a1＝1，＝＋6n (n∈N且n≥2)，则an＝ ．‎ ‎ （换元后可转化为此类问题）‎ 答案：(1)an＝5×3n－1－2n＋1，（2）an＝n(n＋1)(13×2n－2－6)．‎ ‎ 形如an＝ (n∈N且n≥2) ‎ 方法　两边取倒数得＝＋，令bn＝，得bn＝bn－1＋，转化成{bn}为等差数列，从而求数列{an}的通项公式．‎ ‎4．形如an＋an＋1＝f(n)或anan＋1＝f(n)形式 方法 (1)列出，两式作差得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，即找到隔项间的关系．‎ ‎(2)列出，两式作商得＝，即找到隔项间的关系．‎ ‎【变式】（1）已知数列{an}中，an＋an＋1＋an＋2＝3n，a1＝1，a2＝4(n∈N*)，则an＝ ．‎ ‎ （2）已知数列{an}中，anan＋1an＋2＝8n，a1＝1，a2＝2(n∈N*)，则an＝ ． ‎ ‎ (类比找到an＋3与an的关系)‎ 答案：（1）an＝3n－2；（2）an＝2n－1．‎ ‎5．归纳猜想 方法 列出前几项，找到数列的规律(如周期性)，利用归纳猜想得数列的项．‎ ‎【变式】已知数列{an}中，a1＝2，a2＝8，4an＋an＋2＝4an＋1(n∈N*)，则an＝ ．‎ 答案：n·2n ‎ (非周期性的规律)‎ ‎6．数列求和 形如an±bn(等差数列与等比数列的和)的形式 ‎ 方法 分组求和法．‎ 形如或等形式 方法 采用裂项相消法．‎ 形如anbn形式(其中an为等差，bn为等比)‎ 方法 采用错位相减法．‎ 首、尾对称的两项和为定值的形式 方法 倒序相加法．‎ 正负交替出现的数列形式 方法 并项相加法．‎ ‎【变式】（1）已知数列{an}中，an＋an＋1＝2n，a1＝1 (n∈N*)，则Sn＝ ．‎ ‎（2）已知数列{an}中，an＝2nsin(n∈N*)，则S30＝ ．‎ ‎（分段数列的和）‎ 答案：（1）Sn＝（2）450．‎ ‎ 7．数列的单调性 方法1 利用an＋1－an与0的关系(或与1的关系，其中an＞0)判断(或证明)数列的单调性． ‎ 方法2 扩充定义域，转化为函数的单调性，如利用图象分析． ‎ 注意 图象分析时，数列图象为离散的点．‎ ‎【变式】设数列{}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，恒有S2n≥Sn＋a，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎（通过分析想到需要研究数列的单调性）‎ 答案：．‎ 数列的最值 方法1 利用an＋1－an与0的关系(或与1的关系，其中an＞0)判断数列的单调性．‎ 方法2 若第m项为数列的最大项，则 ‎ 若第m项为数列的最小项，则（反之，一定成立吗？）‎ ‎【变式】已知数列{an}通项公式为an＝4n2an－1(n∈N*)，若{an}的最大项为第9项，则正数a的取值范围是——．‎ 答案：(，)．‎ 三、例题分析 例1 已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．‎ ‎(1)求q的值和{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和. ‎ ‎【答案】(I) q＝2，; an＝ (2) Sn＝4－.‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．等差中项定义； ‎ ‎2．求数列通项公式； ‎ 方法：①利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an．‎ ‎②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；‎ ‎③构造等差(比)数列求通项；‎ ‎④用累加(乘)法求通项．‎ ‎3．数列求和问题：‎ 方法：①利用等差(比)数列前n项和公式求和；②分组求和；③错位相减法；‎ ‎④裂项求和；⑤倒序求和．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题2，本题中通项的递推关系是an＋2＝qan，可得隔项间的关系，成等比数列，选择方法②，注意奇数项、偶数项分别成等比数列． ‎ 对于问题3，学生一般会选择④，因为本题通项是由一个等差与一个等比数列相应项相乘而得，‎ 所以选择方法④．‎ 例2 已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a‎2a3＝45，S4＝28．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设由bn＝ (c≠0)构成的新数列{bn}，求证：当且仅当c＝－时，数列{bn}是等差数列；‎ ‎(3)对于(2)中的等差数列{bn}，设cn＝（n∈N*），数列{cn}的前n项和为Tn，现有数列{f(n)}，f(n)＝－Tn（n∈N*），求证：存在整数M，使f(n)≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值． ‎ 答案：(1) an＝4n－3；(2)略；‎ ‎ (3)整数M≥2，所以M的最小值为2． ‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的通项：‎ 方法：①利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an．‎ ‎②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；‎ ‎③构造等差(比)数列求通项；‎ ‎④用累加(乘)法求通项．‎ ‎2．证明数列是等差数列：‎ 方法：①利用定义：an＋1－an＝d(常数)；②等差中项：2an＝an－1＋an＋1 (n≥2，n∈N*)．‎ ‎3．数列求和问题：‎ 方法：①利用等差(比)数列前n项和公式求和；②分组求和；③错位相减法；‎ ‎④裂项求和；⑤倒序求和．‎ ‎4．求数列的最大项问题：‎ 方法:①作差法比较相邻项的大小，确定单调性；②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列单调性转化为函数的单调性，利用函数的单调性，求最大项，但要注意通项中n的取值范围．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题的数列是等差数列，所以选择方法②．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题可以求出数列{bn}的通项，所以选择方法①．‎ 对于问题3，学生一般会选择④，因为数列的通项是分式形式，所以选择方法④．‎ 对于问题4，数列问题首选比较法确定单调性；也可选择②，因为f(n)所对应的函数是基本函数，比较容易得到函数的单调性．‎ 例3 数列{an}满足a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝4－, n∈N*.‎ ‎ (1) 求a3的值； ‎ ‎(2) 求数列{an}前n项和T；‎ ‎ (3) 令b1＝a1，b＝＋(1＋＋＋…＋) an (n≥2)．‎ 证明：数列{b}的前n项和为Sn,满足Sn＜2＋2lnn．‎ 答案:（1）；（2）2－()；（3）略．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．求数列的通项：‎ 方法①利用等差(比)数列求和公式；②叠加(乘)法；③构造等差(比)数列；④猜想证明．‎ ‎2．数列求和问题：‎ 方法①等差(比)数列求和；②分组求和；③拆项相消；④错位相减；‎ ‎⑤倒序相加；⑥并项求和法．‎ ‎3．不等式的证明:‎ ‎ ①不等式基本性质；②基本不等式；③比较法；④分析法；⑤放缩法；⑥函数单调性；⑦反证法．‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，记bn＝na，则已知前n项和的通项，选择方法①．‎ 对于问题2，已知数列{a}为等比数列，选择方法①，利用等差(比)数列求和公式．数列{b}的前n项和，可通过变形转化为裂项求和的形式．‎ 对于问题3，放缩法，比较法，函数单调性综合运用．‎ 四、课后反馈：‎ ‎1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，‎8a2＋a5＝0，则＝ ．‎ 答案：－11 (考查等比数列的通项公式与前n项和公式)‎ ‎2．若等比数列{an}的各项均为正数，且a‎10a11＋a‎9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．‎ 答案：50 (考查本题考查了等比数列以及对数的运算性质,等差数列的求和)‎ ‎3．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式为 ．‎ 答案：an＝(－2)n－1 (考查数列通项与前n项和之间的关系，等比数列的概念与通项公式)‎ ‎4．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ 答案：8　（考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和最值条件）‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8．‎ 则数列{}的前n项和Tn＝ ．‎ 答案：4－ (考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用)‎ ‎6．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(‎9m，‎92m)内的项的个数记为bm，则数列{bm} 的前m项和Sm＝ .‎ 答案：Sm＝－.(考查等差数列的基本量运算，等比数列求和)‎ ‎7．数列{an}满足＝＋2n (n∈N*)，且a1＝4．记bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝ ．‎ 答案：．（考查用叠加法求数列通项，数列的裂项求和）‎ ‎8．已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0．‎ 若bn＝3n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝ ．‎ 答案：Sn＝(n－1)3n＋1．（考查等差数列的概念与性质，用错位相减法求和）‎ ‎9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为 ．‎ 答案：λ＜2 (考查由递推求数列的通项及递增数列的概念)‎ ‎10．设1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 ．‎ 答案： (考查等差、等比数列的性质及分析推理的能力)‎ ‎11．已知递增数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a＋n)．‎ ‎(1)求a1及数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n．‎ 答案：(1) a1＝1；an＝n．(2) T2n＝＋n2＋2n＋．‎ ‎(考查数列的通项与前n项和之间的关系，由递推关系求数列的通项，用错位相减法求数列的和)‎ ‎12．已知数列{an}有a1＝a，a2＝p(常数p>0)，对任意的正整数n，Sn＝a1＋a2＋…＋an，并有Sn满足 Sn＝．‎ ‎(1)求a的值并证明数列{an}为等差数列；‎ ‎(2)令pn＝＋，是否存在正整数M，使不等式p1＋p2＋…＋pn－2n≤M恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．‎ 答案：(1) a＝0，提示：用等比中项法证明数列是等差数列．‎ ‎ (2) 存在最小的正整数M＝3，使不等式p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n≤M恒成立．‎ ‎(考查数列的通项与前n项和之间的关系，证明数列为等差数列的方法，数列的裂项求和)‎ ‎13．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*，数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和的Tn；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，不等式λTn