重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期第四次月考数学（文）试卷 11页

文 科 数 学 ‎ 数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.‎ ‎1. 已知集合，，且，那么的值可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．当时，下列大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．数列满足，，，则（ ）‎ A．5 B．‎9 ‎C．10 D．15‎ ‎6．设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，则为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C． D．0‎ ‎9．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A． B． D．‎ ‎10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，‎ 多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了 圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽 的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）．‎ ‎（参考数据：，）‎ A．12 B．18 ‎ C．24 D．32‎ ‎11．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则________．‎ ‎14．已知正项数列的前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．‎ ‎15．在中，，，，、为的三等分点，则__________．‎ ‎16．已知，，有下列4个命题：‎ ‎①若，则的图象关于直线对称；‎ ‎②与的图象关于直线对称；‎ ‎③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；‎ ‎④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称．‎ 其中正确的命题为__________．（填序号）‎ 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知向量 ‎(1)若，求的值；‎ ‎(2)若向量，求的值.‎ ‎18．新高考取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 了解 ‎4‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）请根据上表完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？‎ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附：.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A：“恰有一人年龄在”发生的概率.‎ ‎19．平行四边形中，，，分别是的中点.将四边形沿着折起，使得平面平面，得到三棱柱，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求三棱柱的体积.‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线截得圆：的弦长为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若过点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别为弦、的中点，求的最小值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；‎ ‎（2）若，，求的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）当时，求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，直线倾斜角的范围为，且点的直角坐标为，求的最小值.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若“，”为假命题，求的取值范围.‎ 数 学 试 题 答 案（文科）‎ ‎1-12. DACAD BBDCA AD ‎13． 14． 15． 16．①②③④‎ ‎17.(1)由可得， .........2分 即，则 ， .........4分 解得 .........6分 ‎(2)由题意可得 即， .........8分 由∴ ， .........9分 又， .........10分 所以. .........12分 ‎18.（1）列联表如图所示 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 老年 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎.........2分 ‎，.........5分 所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. .........6分 ‎（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在中的有4人，年龄在中的有2人，年龄在中的有2人. .........9分 从8人中抽取2人的方法有28种，其中恰有一人年龄在被抽中的方法有16种. .........11分 所以. .........12分 ‎19.（1）取的中点，连接，易知是等边三角形.‎ ‎∴，. .........2分 ‎∵，‎ ‎∴平面， .........4分 而平面，‎ ‎∴. .........6分 ‎（2）三棱柱可分为四棱锥与三棱锥.‎ 由（1）知，而平面平面，且交线为，‎ ‎∴平面. ‎ 同理可证平面. .........9分 四棱锥的体积， .........10分 三棱锥的体积， .........11分 ‎∴三棱柱的体积. .........12分 ‎20.（1）由已知得直线方程为，‎ 圆心到直线的距离为 ， ......2分 又 得， ......4分 故抛物线的方程为； .........5分 ‎（2）由（1）知焦点为.‎ 由已知可得，所以两直线、的斜率都存在且均不为.‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为，‎ 故直线的方程为.‎ 联立方程组，消去，整理得. .........7分 设点、，则.‎ 因为为弦的中点，所以.‎ 由，得，故点 同理，可得. .........9分 故，.‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 所以的最小值为. .........12分 ‎21.（1）当时，. .........1分 记，则， ‎ 当时，，.‎ 所以，所以在单调递增， .........3分 所以. ‎ 因为，所以，所以在为增函数. .........5分 ‎（2）由题意，得，记，则，‎ 令，则，‎ 当时，，，所以，‎ 所以在为增函数，即在单调递增 ‎ 所以. .......7分 ‎①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，‎ 又，所以，所以在为增函数，所以 所以满足题意. .....9分 ‎②当，，令，，‎ 因为，所以，故在单调递增，‎ 故，即.‎ 故，‎ 又在单调递增，‎ 由零点存在性定理知，存在唯一实数，，‎ 当时，，单调递减，即单调递减，‎ 所以，此时在为减函数，‎ 所以，不合题意，应舍去. .......11分 综上所述，的取值范围是. .......12分 ‎22.（1）‎ 直线的参数方程为，消掉参数 可得直线的普通方程为， .......2分 的参数方程为（为参数）‎ 可得 曲线的普通方程为. .......5分 ‎（2）将的参数方程为（为参数）代入圆的方程得 ‎， .......7分 设所对应的参数分别为，‎ 则，，‎ 所以，.......9分 当时，的最小值为. .......10分 ‎23.解：（1）当时， .......2分 由，得.‎ 故不等式的解集为. .......5 分 ‎（2）因为“，”为假命题，‎ 所以“，”为真命题，‎ 所以. .......7分 因为，‎ 所以，则，所以， .......9分 即，解得的取值范围为. .......10分