【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量的概念及线性运算学案 6页

平面向量的概念及线性运算 ‎【考点梳理】‎ ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 ‎(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa λ(μa)＝λμa；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μa；‎ λ(a＋b)＝λa＋‎ 的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、平面向量的有关概念 ‎【例1】给出下列四个命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．②③ B．①② C．③④ D．②④‎ ‎[答案] A ‎[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.‎ ‎②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.‎ ‎③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.‎ ‎2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.‎ ‎3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.‎ ‎4.非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.‎ ‎【对点训练】‎ 给出下列六个命题：‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎②若＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；‎ ‎⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中假命题的序号为________．‎ ‎[答案] ①②③④⑤⑥‎ ‎[解析] ①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；‎ ‎②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．‎ ‎③不正确．两向量不能比较大小．‎ ‎④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ ‎⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.‎ ‎⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．‎ 考点二、平面向量的线性运算 ‎【例2】(1) 设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)‎ A．2 B．3 C．－2 D．－3‎ ‎(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ ‎[答案] (1)D　(2)　－ ‎[解析] (1)由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，则λ＝－3.‎ ‎(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.‎ ‎2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．‎ ‎[答案] －2‎ ‎[解析] 因为D是BC的中点，则＋＝2.‎ 由＋＋＝0，得＝.‎ 又＝λ，‎ 所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝＋＝2＝－2，所以λ＝－2.‎ ‎2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ ‎[答案] ‎[解析] ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，‎ ‎∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，‎ 因此λ1＋λ2＝.‎ 考点三、共线向量定理的应用 ‎【例3】(1)已知向量＝a＋3b，＝‎5a＋3b，＝－‎3a＋3b，则(　　)‎ A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 ‎(2)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ ‎[答案] (1) B　(2) B ‎[解析] (1)∵＝＋＝‎2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，‎ ‎∴，共线，又有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．故选B.‎ ‎(2)由于c与d共线反向，则存在实数 使 c＝ d( <0)，于是λa＋b＝ [a＋(2λ－1)b].‎ 整理得λa＋b＝ a＋(2λ － )b.‎ 由于a，b不共线，所以有 整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.‎ 又因为 <0，所以λ<0，故λ＝－.‎ ‎【类题通法】‎ 共线向量定理的应用 ‎(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.‎ ‎[答案] ④‎ ‎[解析] 由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.‎ ‎2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析] ∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，‎ 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得