【数学】2019届一轮复习人教B版　简化解析几何运算的个技巧学案 15页

增分点 简化解析几何运算的5个技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．‎ 巧用定义，揭示本质 定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上．‎ ‎[典例] 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎[方法演示]‎ 解析：由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，‎ 设双曲线C2的实半轴长为a，‎ 由椭圆及双曲线的定义和已知，‎ 可得解得a2＝2，‎ 故a＝.所以双曲线C2的离心率e＝＝.‎ 答案：D ‎[解题师说]‎ 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．‎ ‎[应用体验]‎ ‎1．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则 的最小值为________．‎ 解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，所以≥，所以的最小值为.‎ 答案： 设而不求，整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解．‎ ‎[典例] 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为( )‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[方法演示]‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，‎ ‎①－②得＋＝0，‎ 所以kAB＝＝－＝.‎ 又kAB＝＝，所以＝.‎ 又9＝c2＝a2－b2，‎ 解得b2＝9，a2＝18，‎ 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ 答案：D ‎[解题师说]‎ 本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．‎ ‎[应用体验]‎ ‎2．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎∴＋＝0，‎ ‎∴＝－·.‎ ‎∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，‎ ‎∴－＝－，∴a2＝2b2.‎ 又∵b2＝a2－c2，‎ ‎∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝‎2c2，∴＝.‎ 即椭圆C的离心率e＝.‎ 答案： 巧用“根与系数的关系”，化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．‎ ‎[典例] 已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．‎ ‎(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；‎ ‎(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．‎ ‎[方法演示]‎ 解：(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.‎ 解得x1＝－2，x2＝－，所以M.‎ ‎(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，‎ 联立方程 化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.‎ 则xA＋xM＝，‎ xM＝－xA－＝2－＝.‎ 同理，可得xN＝.‎ 由(1)知若存在定点，则此点必为P.‎ 证明如下：‎ 因为kMP＝＝＝，‎ 同理可计算得kPN＝.‎ 所以直线MN过x轴上的一定点P.‎ ‎[解题师说]‎ 本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出xM＝，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．‎ ‎[应用体验]‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ 解：(1)由＝，得a＝‎2c，所以a2＝‎4c2，b2＝‎3c2，‎ 将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，‎ 代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，‎ 显然判别式大于0恒成立，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，‎ 则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，‎ 所以S△AF2B＝S△AF‎1F2＋S△BF‎1F2＝|F‎1F2|·|y1－y2|＝|F‎1F2|·＝.‎ 而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋|AF2|r0‎ ‎＝r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)‎ ‎＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)‎ ‎＝r0·‎4a＝×8×＝，‎ 所以＝，解得t2＝1，‎ 因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，‎ 所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ 借“曲线系”，理清规律 利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．‎ ‎[典例] 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[方法演示]‎ 解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ＞0)．‎ 因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，‎ 所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，‎ 所以双曲线的方程为－＝1.‎ 答案：B ‎[解题师说]‎ 本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．‎ ‎[应用体验]‎ ‎4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )‎ A．x2＋y2－x＋7y－32＝0‎ B．x2＋y2－x＋7y－16＝0‎ C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0‎ D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0‎ 解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，‎ 即x2＋y2＋x＋y－＝0，‎ 其圆心坐标为，‎ 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－＋－4＝0，‎ 解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.‎ 巧引参数，方便运算 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．‎ 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．‎ ‎[典例] 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.‎ ‎[方法演示]‎ 证明：法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．‎ 由条件，得 消去y0并整理，得x＝.①‎ 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，‎ 得(x0＋a)2＋k2x＝a2，‎ 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.‎ 而x0≠0，于是x0＝，‎ 代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.‎ 又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，‎ 即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞.‎ 法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．‎ 由点P在椭圆上，得＋＝1.‎ 因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，‎ 即(1＋k2)x＜a2.②‎ 由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，‎ 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，‎ 代入②，得(1＋k2)·＜a2，‎ 解得k2＞3，所以|k|＞.‎ 法三：设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，‎ 则线段OP的中点Q的坐标为.‎ ‎|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.‎ 又A(－a,0)，所以kAQ＝，‎ 即bsin θ－akAQcos θ＝2akAQ.‎ 从而可得|2akAQ|≤＜a，‎ 解得|kAQ|＜，故|k|＝＞.‎ ‎[解题师说]‎ 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．‎ ‎[应用体验]‎ ‎5．(2018·长春质检)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连接A‎1A，A1B并延长分别交直线x＝4于R，Q两点，问·是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．‎ 解：(1)已知椭圆的离心率为，不妨设c＝t，a＝2t，‎ 则b＝t，其中t＞0，‎ 当△F1PF2面积取最大值时，点P为短轴端点，‎ 因此·2t·t＝，解得t＝1，‎ 则椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知F2(1,0)，A1(－2,0)．设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立可得(‎3m2‎＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 则y1＋y2＝，①‎ y1y2＝，②‎ 直线AA1的方程为y＝(x＋2)，‎ 直线BA1的方程为y＝(x＋2)，‎ 则R，Q，‎ ＝，＝，‎ 则·＝9＋·＝·＋9＝＋9，‎ 将①②两式代入上式，整理得·＝0，‎ 即·为定值0.‎ ‎1．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )‎ A. B. C. D．1‎ 解析：选C 如图所示，‎ 设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，‎ 即x0＝.‎ 设M(x′，y′)，由＝2，‎ 得 化简可得 ‎∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．‎ ‎2．设双曲线＋＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )‎ A.x2－5y2＝1 B．5y2－x2＝1‎ C．5x2－y2＝1 D.y2－5x2＝1‎ 解析：选D 因为x2＝4y的焦点为(0,1)，‎ 所以双曲线的焦点在y轴上．‎ 因为双曲线的一条渐近线为y＝－2x，‎ 所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ＞0)，‎ 即－＝1，则λ＋＝1，λ＝，‎ 所以双曲线的方程为y2－5x2＝1.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且·最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为( )‎ A．(1，] B．[，2]‎ C．(0，] D．[2，＋∞)‎ 解析：选B 设P(x0，y0)，‎ 则·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)‎ ‎＝x－c2＋y＝a2－c2＋y，‎ 上式当y0＝0时取得最小值a2－c2，‎ 根据已知－c2≤a2－c2≤－c2，‎ 所以c2≤a2≤c2，即2≤≤4，即≤≤2，‎ 所以所求离心率的取值范围是[，2]．‎ ‎4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ (λ＞1)，则λ的值为( )‎ A．5 B．4‎ C. D. 解析：选B 根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由＝λ，得＝λ，‎ 故－y1＝λy2，即λ＝－.‎ 设直线AB的方程为y＝，‎ 联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－py－p2＝0.‎ 故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，‎ 则＝＋＋2＝－，‎ 即－λ－＋2＝－.‎ 又λ＞1，解得λ＝4.‎ ‎5．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )‎ A．(1,3) B．(1,4)‎ C．(2,3) D．(2,4)‎ 解析：选D 设A，B，M，，C(5,0)为圆心，当y1≠－y2时，kAB＝，kCM＝，由kAB·kCM＝－1⇒y＋y＝24，所以M3，，又r2＝|CM|2＝4＋2＝10＋y1y2，所以(2r2－20)2＝yy，所以y，y是方程t2－24t＋(2r2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r＜4.所以r的取值范围是(2,4)．‎ ‎6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为( )‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：选C 由已知得c＝5，‎ 设椭圆的方程为＋＝1，‎ 联立 消去y得(‎10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 由根与系数关系得x1＋x2＝，‎ 由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，‎ 所以该椭圆方程为＋＝1.‎ ‎7．已知双曲线C：－y2＝1，点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝·，则λ的取值范围是________．‎ 解析：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，‎ λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x－y＋1＝－x＋2.‎ 因为|x0|≥，所以λ≤－1，‎ 所以λ的取值范围是(－∞，－1]．‎ 答案：(－∞，－1]‎ ‎8．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为________．‎ 解析：由题意，设A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)，‎ 则B(－cos θ，－sin θ)，‎ ‎∴＝(cos θ－x，sin θ－x－2)，‎ ＝(－cos θ－x，－sin θ－x－2)，‎ ‎∴·＝(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)‎ ‎＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ ‎＝2x2＋4x＋3‎ ‎＝2(x＋1)2＋1，‎ 当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.‎ 答案：1‎ ‎9．设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ 解析：由(p＞0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∴F，|AB|＝|AF|＝|CF|＝p，可得A(p，p)．‎ 易知△AEB∽△FEC，‎ ‎∴＝＝，‎ 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×＝p2＝3，‎ ‎∴p2＝6.∵p＞0，∴p＝.‎ 答案： ‎10．已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝.‎ ‎(1)求此椭圆的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．‎ 解：(1)设焦距为‎2c，∵e＝＝，a2＝b2＋c2，‎ ‎∴＝.由题意可知＝，‎ ‎∴b＝1，a＝，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，‎ 得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，‎ 又直线与椭圆有两个交点，‎ 所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 若以CD为直径的圆过E点，‎ 则·＝0，‎ 即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，‎ 而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，‎ 所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5‎ ‎＝－＋5＝0，‎ 解得k＝，满足k2＞1.‎ ‎11.平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上．‎ 解：(1)由题意知＝，‎ 可得a2＝4b2.‎ 因为抛物线E的焦点为F，‎ 所以b＝，a＝1.‎ 所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)证明：设P(m＞0)．‎ 由x2＝2y，可得y′＝x，‎ 所以直线l的斜率为m.‎ 因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，‎ 即y＝mx－.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 联立方程 得(‎4m2‎＋1)x2－‎4m3‎x＋m4－1＝0.‎ 由Δ＞0，得0＜m2＜2＋.(*)‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝，‎ 因此x0＝.‎ 将其代入y＝mx－，得y0＝.‎ 因为＝－，‎ 所以直线OD的方程为y＝－x.‎ 联立方程 得点M的纵坐标yM＝－，‎ 所以点M在定直线y＝－上．‎ ‎12．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．‎ 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由题意可知‎2a＝4，＝，又a2＋b2＝c2，‎ 解得a＝2，c＝，b＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－，①‎ 设△OAB的面积为S，‎ 由x1x2＝－＜0，‎ 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|‎ ‎＝＝2.‎ 令k2＋3＝t，知t≥3，‎ ‎∴S＝2.‎ 对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝＞0，‎ ‎∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴t＋≥，‎ ‎∴0＜≤，∴0＜S≤，‎ 故△OAB面积的取值范围是.‎