【数学】重庆市沙坪坝区第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题（解析版） 14页

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第八中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，抛物线的标准方程为，‎ 则其焦点在轴负半轴上，且，则其准线方程为，‎ 故选：D.‎ ‎2.双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线，‎ 由方程，可得双曲线的渐近线方程为．‎ 故选：D.‎ ‎3.圆：与圆：的位置关系是（ ）‎ A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 ‎【答案】B ‎【解析】两圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，和x2+（y﹣1）2＝1，‎ 对应圆心坐标为O1（1，0），半径为1，和圆心坐标O2（0，1），半径为1，‎ 则圆心距离|O1O2|，则0＜|O1O2|＜2，即两圆相交，‎ 故选：B．‎ ‎4.已知命题：“若直线上存在两个不同点属于平面，则直线”，则命题的逆命 题为　　‎ A. 若直线上任意的点属于平面，则直线 B. 若直线上存在两个不同点属于平面，则直线 C. 若直线上不存在两个不同点属于平面，则直线 D. 若直线，则直线上存在两个不同点属于平面 ‎【答案】D ‎【解析】依题意，若直线上存在两个不同点属于平面，则直线，‎ 其逆命题为：若直线，则直线上存在两个不同点属于平面.‎ 故选：D.‎ ‎5.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图还原几何体如图所示，‎ 该几何体为组合体，下半部分为直三棱柱，上半部分为三棱锥，‎ 三棱锥的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2．‎ 该几何体的体积．‎ 故选：A.‎ ‎6.，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则△的周长为　　‎ A. 12 B. 16 C. 18 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，双曲线，其中，，‎ 则，则，‎ 为双曲线右支上一点，则有，‎ 又由，则，‎ ‎△的周长；‎ 故选：C.‎ ‎7.下列命题中，正确的是（ ）‎ A. 一条直线与两个平行平面中的一个平行，则必与另一个平面平行 B. 空间中两条直线要么平行，要么相交 C. 空间中任意的三个点都能唯一确定一个平面 D. 对于空间中任意两条直线，总存在平面与这两条直线都平行 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，一条直线与两个平行平面中的一个平行，则该直线与另一个平面平行或在另一平面内，故A错误；‎ 对于B，空间中两条直线位置关系有3种：平行，相交或异面，故B错误；‎ 对于C，空间中的三个点若共线，则不能唯一确定一个平面，故C错误；‎ 对于D，空间中两条直线共面，则存在平面与这两条直线都平行，若两直线异面，存在与两异面直线的公垂线垂直的平面与两异面直线平行．则对于空间中任意两条直线，总存在平面与这两条直线都平行．故D正确．‎ 故选：D.‎ ‎8.已知中有，，且，则边上的中线所在直线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，可知边上的中线即为边的垂直平分线，‎ 由，，得的中点坐标为，‎ 又，边的垂直平分线的斜率为2，‎ 则边上的中线所在直线方程为，即．‎ 故选：D．‎ ‎9.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率为 ‎　　‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，斜率存在，设为，则直线的方程为，‎ 即，代入椭圆的方程，‎ 化简得：，‎ ‎，解得，‎ 故选：C．‎ ‎10.已知直线与圆相交于，两点，则弦长度的最小值为　　‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，直线过定点，‎ 在圆内部，故弦长度的最小时，直线与直线垂直，‎ 即此时直线的方程为，将代入圆的方程，可得，‎ 所以弦长度的最小值为．故选：A.‎ ‎11.古希腊数学家波罗尼斯（约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹围成的面积为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，‎ 同理，‎ 而，，‎ 化简得：，即，‎ 整理得：，从而的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，‎ 动点的轨迹围成的面积为，‎ 故选：B．‎ ‎12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，由椭圆的定义可得，‎ 由双曲线的定可得，解得，，‎ 由，可得，即，‎ 由，，可得，‎ 由，可得，可得，即，‎ 则，可设，则，‎ 由在递增，可得，．则，．‎ 故选：D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.方程表示圆，则实数的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆的一般式方程可得，即，‎ 求得.故答案为：．‎ ‎14.若直线：与：平行，则的值为_____．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】因为,所以有，解之得,或.‎ 当时，直线重合,舍去.‎ ‎15.点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为_____．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】由椭圆，得，，．‎ 在△中，由椭圆定义可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的大小为．‎ 故答案为：．‎ ‎16.，为抛物线上两个动点，且满足，则弦的中点到轴的距离的最小值为__．此时直线的方程为__．‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). ‎ ‎【解析】设抛物线的焦点坐标为，‎ ‎，，，所以，‎ 设，，，，所以，，所以，‎ 弦的中点到轴的距离为，当过焦点坐标为时等号成立，‎ 由题可知直线的斜率存在，设直线方程为，，‎ 所以，，‎ ‎，所以，所以．‎ 故答案为：3，．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设：实数满足，：实数满足．‎ ‎（1）若，当为真时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的范围．‎ ‎【解】（1）当时，，，‎ 因为为真，所以“真假”或“假真”或“真真”，‎ 所以或或，‎ 综上可得：的取值范围为，；‎ ‎（2）当时，，，或，‎ 又因为是的充分不必要条件，所以或，‎ 解得或，所以实数的范围，，．‎ ‎18.如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为矩形，AB＝1，△BSC为边长为2的正三角形，将△BSC沿BC折起，使得侧面SAD垂直于平面ABCD，E、F分别为SA、DC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥面SBC；‎ ‎（2）求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．‎ ‎【解】（1）如图，取中点，连接，‎ 因为为中点，所以，且，‎ 又四边形为矩形，为中点，‎ 所以，且，所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，平面,所以面；‎ ‎（2）因为四边形为矩形，所以，‎ 又平面平面，且交线为，平面，‎ 所以平面，又平面，所以，‎ 同理，又，，所以，‎ 所以，‎ 如图取中点，中点，则，，‎ 所以四棱锥的侧面积 ‎．‎ ‎19.已知直线和定点．‎ ‎（1）求点关于直线对称的点的坐标；‎ ‎（2）若经过点的直线与和轴所围成的三角形面积为，求直线的方程．【解析】（1）设点关于直线对称的点的坐标，‎ 则，解得：，．‎ ‎，．‎ ‎（2）设经过点的直线方程为：，‎ 令，可得：，可得交点；‎ 由直线，令，可得，可得交点，．‎ ‎，直线过点，‎ 三角形面积，解得或．‎ 直线方程为：，或．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，其上一点在准线上的射影为，△恰为一个边长为4的等边三角形．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若过定点的直线交抛物线于，两点，‎ 为坐标原点）的面积为，求直线的方程．‎ ‎【解】（1）抛物线的焦点为，，准线方程为，‎ 设准线与轴的交点为，可得，‎ ‎△为一个边长为4的等边三角形，可得，，‎ 在直角三角形中，，即，‎ 则抛物线的方程为；‎ ‎（2）设过定点的直线的方程为，‎ 代入抛物线方程，可得，△，‎ 设，，，，则，，‎ 由 ‎，解得，‎ 则直线的方程为或．‎ ‎21.已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．‎ ‎（1）求圆标准方程；‎ ‎（2）直线与圆交于，两点，当为圆心）面积最大时，求的值．‎ ‎【解】（1）设圆心，半径为，则 圆心在直线①‎ 圆与直线相切于点．‎ ‎②‎ 联立①②可得：，，‎ 圆的标准方程为.‎ ‎（2）设圆心到直线的距离为，‎ 利用点到直线的距离公式得：， ‎ 三角形的面积公式，当时，面积最大，‎ 即圆心到直线的距离等于，‎ 所以.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点和，若 为坐标原点），求线段长度的取值范围．‎ ‎【解】（1）椭圆的离心率为，‎ ‎，即，①‎ 又其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．‎ ‎，即，②‎ ‎，③‎ 由①②③得，，，‎ 椭圆方程为．‎ ‎（2）直线与圆相切，‎ ‎，即，‎ 直线与椭圆交于不同的两点和，设，，，，‎ 联立，得，‎ ‎△，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 又因为，‎ 把上面 代入上式，得，‎ ‎，又，‎ ‎，∴，‎ 令则，，‎ 所以，‎ 线段长度的取值范围．‎