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  • 2021-06-16 发布

【数学】重庆市沙坪坝区第八中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题(解析版)

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www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第八中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1.抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意,抛物线的标准方程为,‎ 则其焦点在轴负半轴上,且,则其准线方程为,‎ 故选:D.‎ ‎2.双曲线的渐近线方程为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线,‎ 由方程,可得双曲线的渐近线方程为.‎ 故选:D.‎ ‎3.圆:与圆:的位置关系是( )‎ A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 ‎【答案】B ‎【解析】两圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=1,和x2+(y﹣1)2=1,‎ 对应圆心坐标为O1(1,0),半径为1,和圆心坐标O2(0,1),半径为1,‎ 则圆心距离|O1O2|,则0<|O1O2|<2,即两圆相交,‎ 故选:B.‎ ‎4.已知命题:“若直线上存在两个不同点属于平面,则直线”,则命题的逆命 题为  ‎ A. 若直线上任意的点属于平面,则直线 B. 若直线上存在两个不同点属于平面,则直线 C. 若直线上不存在两个不同点属于平面,则直线 D. 若直线,则直线上存在两个不同点属于平面 ‎【答案】D ‎【解析】依题意,若直线上存在两个不同点属于平面,则直线,‎ 其逆命题为:若直线,则直线上存在两个不同点属于平面.‎ 故选:D.‎ ‎5.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的体积为( )‎ A. B. C. D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图还原几何体如图所示,‎ 该几何体为组合体,下半部分为直三棱柱,上半部分为三棱锥,‎ 三棱锥的底面为等腰直角三角形,直角边长为2,高为2.‎ 该几何体的体积.‎ 故选:A.‎ ‎6.,分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上一点,且,则△的周长为  ‎ A. 12 B. 16 C. 18 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,双曲线,其中,,‎ 则,则,‎ 为双曲线右支上一点,则有,‎ 又由,则,‎ ‎△的周长;‎ 故选:C.‎ ‎7.下列命题中,正确的是( )‎ A. 一条直线与两个平行平面中的一个平行,则必与另一个平面平行 B. 空间中两条直线要么平行,要么相交 C. 空间中任意的三个点都能唯一确定一个平面 D. 对于空间中任意两条直线,总存在平面与这两条直线都平行 ‎【答案】D ‎【解析】对于A,一条直线与两个平行平面中的一个平行,则该直线与另一个平面平行或在另一平面内,故A错误;‎ 对于B,空间中两条直线位置关系有3种:平行,相交或异面,故B错误;‎ 对于C,空间中的三个点若共线,则不能唯一确定一个平面,故C错误;‎ 对于D,空间中两条直线共面,则存在平面与这两条直线都平行,若两直线异面,存在与两异面直线的公垂线垂直的平面与两异面直线平行.则对于空间中任意两条直线,总存在平面与这两条直线都平行.故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎8.已知中有,,且,则边上的中线所在直线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,可知边上的中线即为边的垂直平分线,‎ 由,,得的中点坐标为,‎ 又,边的垂直平分线的斜率为2,‎ 则边上的中线所在直线方程为,即.‎ 故选:D.‎ ‎9.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点,则直线的斜率为 ‎  ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得,斜率存在,设为,则直线的方程为,‎ 即,代入椭圆的方程,‎ 化简得:,‎ ‎,解得,‎ 故选:C.‎ ‎10.已知直线与圆相交于,两点,则弦长度的最小值为  ‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意,直线过定点,‎ 在圆内部,故弦长度的最小时,直线与直线垂直,‎ 即此时直线的方程为,将代入圆的方程,可得,‎ 所以弦长度的最小值为.故选:A.‎ ‎11.古希腊数学家波罗尼斯(约公元前年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆,后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,设,,动点满足,则动点的轨迹围成的面积为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则,‎ 同理,‎ 而,,‎ 化简得:,即,‎ 整理得:,从而的轨迹是以为圆心,4为半径的圆,‎ 动点的轨迹围成的面积为,‎ 故选:B.‎ ‎12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,若点是与在第一象限内的交点,且,设与的离心率分别为与,则的取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,,由椭圆的定义可得,‎ 由双曲线的定可得,解得,,‎ 由,可得,即,‎ 由,,可得,‎ 由,可得,可得,即,‎ 则,可设,则,‎ 由在递增,可得,.则,.‎ 故选:D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.方程表示圆,则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆的一般式方程可得,即,‎ 求得.故答案为:.‎ ‎14.若直线:与:平行,则的值为_____.‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】因为,所以有,解之得,或.‎ 当时,直线重合,舍去.‎ ‎15.点是椭圆上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,若,则的大小为_____.‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】由椭圆,得,,.‎ 在△中,由椭圆定义可得,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 的大小为.‎ 故答案为:.‎ ‎16.,为抛物线上两个动点,且满足,则弦的中点到轴的距离的最小值为__.此时直线的方程为__.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). ‎ ‎【解析】设抛物线的焦点坐标为,‎ ‎,,,所以,‎ 设,,,,所以,,所以,‎ 弦的中点到轴的距离为,当过焦点坐标为时等号成立,‎ 由题可知直线的斜率存在,设直线方程为,,‎ 所以,,‎ ‎,所以,所以.‎ 故答案为:3,.‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.设:实数满足,:实数满足.‎ ‎(1)若,当为真时,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的范围.‎ ‎【解】(1)当时,,,‎ 因为为真,所以“真假”或“假真”或“真真”,‎ 所以或或,‎ 综上可得:的取值范围为,;‎ ‎(2)当时,,,或,‎ 又因为是的充分不必要条件,所以或,‎ 解得或,所以实数的范围,,.‎ ‎18.如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为矩形,AB=1,△BSC为边长为2的正三角形,将△BSC沿BC折起,使得侧面SAD垂直于平面ABCD,E、F分别为SA、DC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥面SBC;‎ ‎(2)求四棱锥S﹣ABCD的侧面积.‎ ‎【解】(1)如图,取中点,连接,‎ 因为为中点,所以,且,‎ 又四边形为矩形,为中点,‎ 所以,且,所以,且,‎ 所以四边形为平行四边形,所以,‎ 又平面,平面,所以面;‎ ‎(2)因为四边形为矩形,所以,‎ 又平面平面,且交线为,平面,‎ 所以平面,又平面,所以,‎ 同理,又,,所以,‎ 所以,‎ 如图取中点,中点,则,,‎ 所以四棱锥的侧面积 ‎.‎ ‎19.已知直线和定点.‎ ‎(1)求点关于直线对称的点的坐标;‎ ‎(2)若经过点的直线与和轴所围成的三角形面积为,求直线的方程.【解析】(1)设点关于直线对称的点的坐标,‎ 则,解得:,.‎ ‎,.‎ ‎(2)设经过点的直线方程为:,‎ 令,可得:,可得交点;‎ 由直线,令,可得,可得交点,.‎ ‎,直线过点,‎ 三角形面积,解得或.‎ 直线方程为:,或.‎ ‎20.已知抛物线的焦点为,其上一点在准线上的射影为,△恰为一个边长为4的等边三角形.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若过定点的直线交抛物线于,两点,‎ 为坐标原点)的面积为,求直线的方程.‎ ‎【解】(1)抛物线的焦点为,,准线方程为,‎ 设准线与轴的交点为,可得,‎ ‎△为一个边长为4的等边三角形,可得,,‎ 在直角三角形中,,即,‎ 则抛物线的方程为;‎ ‎(2)设过定点的直线的方程为,‎ 代入抛物线方程,可得,△,‎ 设,,,,则,,‎ 由 ‎,解得,‎ 则直线的方程为或.‎ ‎21.已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点.‎ ‎(1)求圆标准方程;‎ ‎(2)直线与圆交于,两点,当为圆心)面积最大时,求的值.‎ ‎【解】(1)设圆心,半径为,则 圆心在直线①‎ 圆与直线相切于点.‎ ‎②‎ 联立①②可得:,,‎ 圆的标准方程为.‎ ‎(2)设圆心到直线的距离为,‎ 利用点到直线的距离公式得:, ‎ 三角形的面积公式,当时,面积最大,‎ 即圆心到直线的距离等于,‎ 所以.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)直线与圆相切,并与椭圆交于不同的两点和,若 为坐标原点),求线段长度的取值范围.‎ ‎【解】(1)椭圆的离心率为,‎ ‎,即,①‎ 又其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为.‎ ‎,即,②‎ ‎,③‎ 由①②③得,,,‎ 椭圆方程为.‎ ‎(2)直线与圆相切,‎ ‎,即,‎ 直线与椭圆交于不同的两点和,设,,,,‎ 联立,得,‎ ‎△,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 又因为,‎ 把上面 代入上式,得,‎ ‎,又,‎ ‎,∴,‎ 令则,,‎ 所以,‎ 线段长度的取值范围.‎