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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
微专题 24 恒成立问题——最值分析法
最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种,但往往会用在解决导数综合题目中
的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解,以及对含参问题分类讨论的基本功。
是导数中的难点问题。
一、基础知识:
1、最值法的特点:
(1)构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧,整体视为一个函数,其函数含参
(2)参数往往会出现在导函数中,进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可
能经历分类讨论
2、理论基础:设 的定义域为
(1)若 ,均有 (其中 为常数),则
(2)若 ,均有 (其中 为常数),则
3、技巧与方法:
(1)最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数,进而不易分析函数的单调区间,
所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作:
① 观察函数 的零点是否便于猜出(注意边界点的值)
② 缩小参数与自变量的范围:
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围(便于单调性分析)
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间(即无论参数取何值,不等式均成立),缩小
自变量的取值范围
(2)首先要明确导函数对原函数的作用:即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构造
的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一
个新函数,再想办法解决其符号。
(3)在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值
点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。
二、典型例题:
例 1:设 ,当 时, 恒成立,求 的取值范围
f x D
x D f x C C maxf x C
x D f x C C minf x C
f x
2 2 2f x x mx 1,x f x m m
- 2 -
思路:恒成立不等式为 ,只需 ,由于左端是
关于 的二次函数,容易分析最值点位置,故选择最值法
解:恒成立不等式为 ,令 则对称轴为
(1)当 时, 在 单调递增,
即
(2)当 时, 在 单调递减,在 单调递增
终上所述:
小炼有话说:二次函数以对称轴为分解,其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式
往往可考虑利用最值法,此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值,故以此为分类讨论
点。
思路二:从另一个角度看,本题 容易进行分离,所以也可考虑参变分离法
解:
(1) 时,则 (由于 系数符号未定,故分类讨论进行参变
分离)
令 (换元时注意更新新元的取值范围)
则
(2) ,不等式对任意的 均成立
(3) , (注意不等号变号!!)
令 ,则
2 2 2 0x mx m 2
min
2 2 0x mx m
x
2 2 2 0x mx m 2 2 2g x x mx m x m
1m g x 1, min 1 1 2 2 0g x g m m
3m 3, 1m
1m g x 1,m ,m
2 2
min 2 2 0 2 1g x g m m m m m
1,1m 3,1m
,m x
2 22 2 0 2 1 2x mx m x m x
12 1 0 2x x
2
min
2
2 1
xm x
m
2 1, 0t x t
2
2 2
1 22 2 9 1 94= 2 12 1 4 4
t
x t t tx t t t
12 1 0 2x x m
12 1 0 2x x
2
max
2
2 1
xm x
2 1, 1 0t x t
2
2 2
1 22 2 9 1 94= 2 32 1 4 4
t
x t t tx t t t
3m
- 3 -
综上所述:
小炼有话说:
(1)此题运用参变分离法解题并不简便,不仅要对 分类讨论,还要处理一个分式函数的最
值,所以两个方法请作一对比
(2)最后确定 的范围时,是将各部分结果取交集,因为分类讨论是对 进行的, 的取值
要让每一部分必须同时成立才可,所以是“且”的关系,取交集
例 2 : 已 知 函 数 , 对 任 意 的 , 不 等 式
恒成立,则 的取值范围是___________
思路:若不等式恒成立,则 , 与 差的最大值即为
最大值与最小值的差。所以考虑求 在 的最大最小值,
, 若 , 则 , 所 以
,若 ,则 ,所以 。而 ,
所 以 无 论 为 何 值 , , 则 在 单 调 递 增 。
,从而 ,解得
答案:
例 3:已知函数 ,在区间 上, 恒成立,求 的取值范
围
思路一:恒成立的不等式为 即 ,令 观察到
两点特征:(1) 导函数易分析单调性,(2) ,对单调性会有一定要求进而限制参
数 的取值。所以考虑使用最值法求解。
解: 恒成立即不等式 恒成立,令
只需 即可,
,令 (分析 的单调性)
当 时 在 单调递减,则
3,1m
x
m x m
2 lnxf x a x x a 1 2, 0,1x x
1 2 1f x f x a a
1 2 max1a f x f x 1f x 2f x
f x 2 lnxf x a x x a 0,1
' ln 2 ln 1 ln 2x xf x a a x a a a x 1a 1 0,ln 0xa a
1 ln 0xa a 0 1a 1 0,ln 0xa a 1 ln 0xa a 2 0x
a ' 0f x f x 0,1
max min 1 0 lnf x f x f f a a 1 lna a a a e
,e
ln 1 0f x a x a 1,e f x x a
ln 1a x x ln 1 0a x x ln 1g x a x x
g x 1 0g
a
f x x ln 1 0a x x ln 1g x a x x
min 0g x 1 0g
' 1a a xg x x x
' 0 0a xg x x ax
g x
1a g x 1,e 0 1 0g x g
- 4 -
(思考:为什么以 作为分界点讨论?因为找到 ,若要不等式成立,那么一定从 处
起 要增(不一定在 上恒增,但起码存在一小处区间是增的),所以 时导致 在
处开始单减,那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用)
当 时,分 是否在 中讨论(最小值点的选取)
若 ,单调性如表所示
((1)可以比较 的大小找到最小的临界值,再求解,但比较麻烦。由于最小值只会在
处取得,所以让它们均大于 0 即可。(2)由于 并不在 中,所以求得的只是
临界值,临界值等于零也符合条件)
若 ,则 在 上单调递增, ,符合题意
综上所述:
小炼有话说:此题在 的情况也可不分类讨论,因为从单调区间分析来看,在 中
是极大值点,不可能是最小值,所以无论 是否在 ,最小值(或临界值)均
只会在边界处产生,所以只需 即可
思路二:不等式 中 与 便于分离,所以只要分离后的 的函数易分析出单
调性,那么就可考虑运用参变分离法
解: ,令 ,则只需 即可
(单调性受分子影响,但无法直接分析)
1a 1 0g 1x
g x 1,e 1a g x 1x
1a x a 1,e
1 a e
x 1,a ,a e
'g x +
g x
1 0
1
0
g
a e
g e
1e a e
1 ,g g e
1,x x e 1,x x e 1,e
a e g x 1,e 1 0g x g
1a e
1a 1 +,
x a x a 1,e
1 0
1
0
g
a e
g e
ln 1 0a x x a x x
1ln 1 0 ln
xa x x a x
1
ln
xg x x
maxa g x
'
2
1ln 1
ln
x xg x
x
- 5 -
令 , ( 求导函数,便不含 ,可分析单调性,且零点找
到,所以方法二可继续进行)
在 上单调递增
(体会零点配合单调性对确定函数符号的作用)
, 在 上单调递增
( 无最大值,只有临界值,故可取等号)
小炼有话说:第一点是分析 时由于 形式复杂并没有对 直接求导,而是把分
子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号,而分母符号恒正,所以要体会导函数的符号
是对原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号,这也
是分析 的重要原因
例 4: 已知 ,若对任意的 ,均有 ,求 的取值范围
思路:恒成立不等式为 ,可参变分离但函数比较复杂,所以考虑利用最值法来
分析。发现 时,左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向
解:令 , ( 从 起应单调递增)
令 ,即
下面分情况讨论:
时, 恒成立, 在 单调递增
时,
, 恒成立, 在 单调递增
时,
时, 恒成立, 在 单调递增
1ln 1h x x x 1 0h h x ln x
'
2 2
1 1 1( ) 0 1,xh x x ex x x
h x 1,e
1 0h x h
' ( )g x 0 g x 1,e
1g x g e e 1a e g x
' ( )g x '' ( )g x ' ( )g x
h x
1
1
axxf x ex
0,1x 1f x a
1 11
axx ex
0x
1 11
axxg x ex
0 0g g x 0x
2
'
2
2
1
axax ag x e
x
' 0g x 2 22 0 2ax a ax a
0a ' 0g x g x 0,
0,1 , 0 0x g x g
0a 2 2 21ax a a
21 1a
0,1x ' 0g x g x 0,
0,1 , 0 0x g x g
0a 2 2 21ax a a
2a 2 2ax a
g x 0,
- 6 -
时,
在 单调减,在 单调递增
,不符题意,舍去
综上所述:
小炼有话说:本题导函数形式简单,所以直接对参数进行分类讨论与取舍
例 5: 已知函数 对任意的 ,均有 ,求实数 的
范围
思路:此题可用最值法求解,先做好准备工作, ,所以函数要从 开始增,求
导观察特点:
解: (不易直接出单调性,但是发现其中 ,且 再求
一次导,其导函数容易分析单调性。进而可解)
,令 即 ,下面进行分类讨论:
(1)当 时, , 单调递增。
单调递增, ,满足条件
(此处为此题最大亮点,体会三点:①单调性与零点是如何配合来确定 的符号的;②每
一步的目的性很强, 的作用就是以符号确定 的单调性,所以解题时就关注 的符号。而
符号的确定同样要靠二阶导数与一阶导函数的零点配合来得到;③ 的零点是同一个,进而引
发的连锁反应)
(2)当 时, ( 可正可负,而 ,所以讨论 的符号)
① 当 时, 恒成立,即 恒大于零,则:
单调递增。
0,1 , 0 0x g x g
2a 2 2 2a ax xa a
g x 20, a
a
2,1a
a
20, , (0) 0ax g x ga
2a
21xf x e x ax 0,x 0f x a
0 0f 0x
0 0f ' ( ) 2 1xf x e ax ' 0 0f 'f x
' 0 0f '' 2xf x e a '' 0f x 2xe a
0a '' 0f x 'f x ' ' 0 0f x f
f x 0 0f x f
',f x f x
'f x f x 'f x
',f x f x
0a ln2x a ln2a 0,x ln2a
1ln2 0 0 2a a ln2x a ''f x
'f x ' ' 0 0f x f
- 7 -
单调递增, ,满足条件
② 当 ,则 时, 即 在 单调递减,
在 单调递减, ,不符题意,故舍去
综上所述: 时, 恒成立
小炼有话说:这道题的重要特点在于 的零点是同一个,进而会引发“连锁反
应”。大家在处理多次求导问题时,一定要清楚每一层导数的目的是什么,要达到目的需要什
么,求出需要的要素。
例 6:已知函数 ,
(1)求函数 的单调区间
(2)若 对于任意的 恒成立,求 的取值范围
解:(1)
令 即
① 当 时, 恒成立。 在 单调递增
② 当 时,解得
(2)思路:恒成立不等式为 ,即
若参变分离,分离后的函数较为复杂(也可解决)。所以考虑最值法,观察当 时,左边
的值为 0,所以对左边的函数的单调性有所制约,进而影响参数 的取值。
解:恒成立不等式等价于
设 ,
f x 0 0f x f
1ln2 0 2a a 0,ln2x a '' 0f x 'f x 0,ln2a
'' 0 0f x f f x 0,ln2a 0 0f x f
1
2a 0f x
',f x f x
ln 1f x x a x a R
f x
ln2 0xf x x 1,x a
' 1 a x af x x x
0x
' 0f x 0x a
0a ' 0f x f x 0,
0a x a
x 0, a ,a
'g x +
g x
ln2 2 ln 2 0xx a x x 22 2 ln 2 ln 0x ax x x x
1x
a
22 2 ln 2 ln 0x ax x x x
2( ) 2 2 ln 2 lng x x ax x x x 1 0g
' 14 2 1 ln 2g x x a x x ' 1 4 2 2 1 2 3g a a
- 8 -
恒成立,
否则若 ,由于 连续
所以必存在区间 使得 ,即 在 单调递减
进而 , ,不符题意
(本质: ,所以要保证从 开始的一段小区间要单调增,进而约束导数符号)
(这是 要满足的必要条件,最终结果应该是这一部分的子集,下面证 均满足条件或
者寻找一个更精确的范围)
下面证任意的 均满足条件。
构造函数 ( 时的 )
则
,若要 恒成立,只需证明 即可
成立
在 单调递增,
在 单调递增, 成立
时, 恒成立,符合题意
小炼有话说:
(1) 的构造的 的解析式可看为以 为自变量的一次函数 ,且单调递增
( ),所以对于 ,无论 为何值, ,即 ,
与恒成立的不等式不等号方向一致。
0g x 1 0g
' 1 0g ' 1 0g 'g x
1,m ' 0g x g x 1,m
0 1,x m 0 1 0g x g
1 0g 1x
3
2a a 3
2a
3
2a
2( ) 2 3 ln 2 lnh x x x x x x 3
2a g x
( ) 2 3 ln 0g x h x a x x
1, ,x g x h x 0g x 0h x
1 0h
' 1 1( ) 4 3 1 ln 2 4 3ln 5h x x x x xx x ' 1 0h
2
''
2 2 2
4 1 13 1 4 3 14 0x xx xh x x x x x
'h x 1, ' ' 1 0h x h
h x 1, 1 0h x h
3
2a 1, , ( ) 0x g x h x
3
2a
h x g x a G a
ln 0x x 3 ,2a
x 3
2G a G
g x h x
- 9 -
(2)本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数(函数的放缩),进而便于对参数
取值范围的验证。
(3)归纳一下解决此题的方法:为最值法解恒成立问题的另一个方法——构造中间函数
首先先说考虑使用这个方法的前提:
① 以参数为自变量的函数结构简单(最好单调)
② 参数缩小后的范围,其不等式与含参函数不等号方向,以及单调性保持一致(在本题中
,而 刚好关于 单调递增,且要 。故可引
入 位于 与 之间)
其步骤如下:
① 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围(有可能就得到最终结果),记为 A
② 因为最终结果 A 的子集,所以只需证明 A 均符合条件或者寻找更小的范围
③ 如果函数是关于参数的一次函数(或单调函数),可通过代入参数的边界值(临界值)构
造新函数并与原函数比较大小
④ 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间,进而说明 A 中的所有值均满足条件,即为最
后结果
例 7: 已知函数 ,若在区间 上, 恒
成立,求实数 的取值范围
思路:考虑用最值分析法,但可考虑先利用 缩小 的讨论范围
解:
令 ,即
(1) 时,即 , 恒成立 在 单调递
减
满足条件
a
3
2a 2( ) 2 2 ln 2 lng x x ax x x x a ( ) 0g x
h x ( )g x 0
21 2 ln ,2f x a x ax x a R
1, 0f x
a
1x a
11 2 02f a a 1
2a
2
' 2 1 1 12 1 2 11 12 22
a x xa x axf x a x a x x x
' 0f x 2 1 1 0 2 1 1a x a x
12 1 0 2a a 1 1,2 2a
' 0f x f x 1,
1 0f x f
- 10 -
(2) 时, ,考虑 ,不符题
意,舍去
(注:这里需要对函数值进行估计,显然 ,总有一个时刻, 大于零,进而
,所以考虑代入特殊值来说明。对于,所以构造时只需要 即可,解得
,进而舍掉 的情况)
例 8 : 已 知 函 数 , 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为
。其中 为自然对数的底数
(1)求 的值
(2)如果当 时, 恒成立,求实数 的取值范围
解:(1)
,切线方程:
,而 且在切线中,
解得:
(2)思路:恒成立不等式为: ,若参变分离,则分离后的函数过于复杂,不
利于求得最值,所以考虑利用最值法,先变形不等式,由于 的符号不确定(以 为
界),从而需进行分类讨论。当 时,不等式变形为: ,设
,可观察到 ,则若要 时, ,则需
1
2a 21 2 ln2f x a x ax x
4 4ln 02 1 2 1
a af a a
1 02a 21 22a x ax
0f x 21 2 02a x ax
4 12 1
ax a
1
2a
1x
axf x be y f x 1, 1f
21 0x e y e 2.71828e
,a b
0x 12 x
kf x e
k
'
2
1
1
x x
x
a be be ax
f x
be
'
2 2
11
1 1
a be abe af
be be
2 2
1
1 1
ey x
e e
2 2
1
1 1
a
be e
1 1
af be
1
1y e
2 2
1
1 1
1
1 1
a
be e
a
be e
1
1
a
b
1x
xf x e
2
2 1
1x x
x k
e e
2 1xe 0x
0x 21 2 1 0x xk e xe k
21 2 1x xg x k e xe k 0 0g 0x 0g x
- 11 -
,进而解出 ,再证明 时, 即可。将 的范围缩至 时再证
明 时, 即可。
解:由(1)可得恒成立的不等式为:
当 时,
设 ,可得
若 ,则 ,使得 时,
在 单调递减 则 时, 与恒成立不等式矛盾
不成立
解得:
下面证明 均可使得 时,
在 单调递增 ,即不等式恒成立
当 时,
同理,
在 单调递增
即 时不等式在 恒成立
综上所述,
例 9: 设函数 (其中 ), ,已知它们在
处有相同的切线.
' 0 0g 0k 0k 0g x k 0k
0x 0g x
2
2 1
1x x
x k
e e
0x 2
2
2 1 2 1 11
x x
x x
x k xe k ee e
21 2 1 0x xk e xe k
21 2 1x xg x k e xe k 0 0g
' 22 1 2 1x xg x k e x e
' 0 0g 0 0x 00,x x ' 0g x
g x 00, x 00,x x 0 0g x g
' 0 0g ' 0 0g
' 0 2 1 2 0g k 0k
0k 0x 0g x
' 22 1 2 1 2 1 1x x x xg x k e x e e k e x
0k 1 1 1 0x xk e x e x
' 0g x g x 0, 0 0g x g
0x 2
2
2 1 2 1 11
x x
x x
x k xe k ee e
21 2 1 0 0x xk e xe k g x
0k ' 2 1 1 0x xg x e k e x
g x ,0 0 0g x g
0k ,0x
0k
( ) ( 1)xf x ae x 2.71828....e 2( ) 2g x x bx
0x
- 12 -
(1)求函数 , 的解析式;
(2)若对 恒成立,求实数 的取值范围.
解:(1)思路:由题意可知 在 处有公共点,且切线斜率相同
在 处有相同的切线.
(2)思路:恒成立不等式为 ,尽管可以参变分离但分离后关
于 的函数结构复杂,不易分析单调性。所以考虑最值法
解:令 , 只需
令
均成立, (上一步若直接求单调增区间,则需先
对 的符号进行分类讨论。但通过代入 ( ,便于计算),解得了 要满足的必要条件,从而简
化了步骤。)
解得
下面根据 是否在 进行分类讨论:
①
在 单调递增。
与已知矛盾(舍)
②
在 单调递增。
满足条件
( )f x ( )g x
2, ( ) ( )x kf x g x k
,f x g x 0x
,f x g x 0x
' '
0 0
0 0
f g
f g
' 2 , 2xf x ae x g x x b
2 2
2 4
a a
a b b
22 1 , 4 2xf x e x g x x x
22 1 4 2 0xke x x x
x
22 1 4 2xF x ke x x x min 0F x
' 2 2 2 4 2 1 2x xF x ke x x ke x 2x
' 0 1xF x ke
2, ( ) 0x F x 0 2 2 0F k 1k
k 0x 0 1e k
1 1lnxe xk k 2,x
1lnx k 2,
21ln 2 k ek
F x 2, 2 2
2min
22 2 2 0F x F ke e ke
21ln 2 k ek
F x 2, 2 2
2min
22 2 2 0F x F ke e ke
- 13 -
③
则
恒成立,故满足条件
综上所述:
小炼有话说:本道题的亮点在于代入 以缩小 的范围, 并不是边界点,但是由于
易于计算(主要针对指数幂),且能够刻画 的范围,故首选
例 10:(2011 浙江,22)设函数
(1)若 为 的极值点,求实数
(2)求实数 的取值范围,使得对任意的 ,恒有 成立.注: 为自然
对数的底数
解:(1)
是 的极值点
或 ,经检验符合题意
(2)思路一:恒成立的不等式为 ,考虑选择最值法
当 时,无论 为何值,不等式恒成立( 的单调区间必然含参数,首先将恒成立
的部分剔除,缩小 的取值范围以方便后期讨论)
21ln 2 1 k ek
x 12,ln k
1ln ,k
'F x
F x
21ln
min
1 1 1 1ln 2 ln 1 ln 4ln 2kF x F k ek k k k
1 1ln ln 2 0k k
21,k e
0x k 0x
0F k 0x
2 ln ,f x x a x a R
x e y f x a
a 0,3x e 24f x e e
2
' ( ) 2 ln = 2ln 1x a af x x a x x a xx x
x e f x
' 3 0af e e a a ee
3a e
, 3a e a e
2 2ln 4x a x e
0,1x a f x
x
- 14 -
,记
恒成立,所以
(通过特殊值代入缩小 的范围,便于分析讨论)
(解不出具体的极值点,但可以估计其范围,利用零点存在性定理,同
时得到 与 的关系: )
单调递增
若 ,只需
由 得 代入①得:
由②式得
综上所述,
小炼有话说:本题有以下几处亮点:
1、特殊值代入法:这是本题最大的亮点,通过代入特殊的值缩小 的范围,便于讨论,在
' ( )f x ' ( )= 2ln 1 af x x a x x
2ln 1 ah x x x
2 2ln 4f x x a x e 2 23 3 ln3 4f e e a e e
2 23 3
ln3 ln3
e ee a e
e e
a
1 1 0, 2ln 0h a h a a
0 01, , 0x a h x
a 0x 0 0
0
2 1 0ah x x x
h x
0 01, , 0; , , 0x x h x x x a h x
' ' '
0 01, , 0; , , 0; , , 0x x f x x x a f x x a f x
x 01, x 0,x a ,a
'f x
f x
2 2ln 4f x x a x e
2 2
0 0 0
2 2
ln 4
3 3 ln3 4
f x x a x e
f e e a e e
①
②
0 0
0
2ln 1 ah x x x 0 0 02 lna x x x 3 2
0 0 04 ln 4 1x x e x e
0 0 02 ln 1,3a x x x e
2 23 3
ln3 ln3
e ee a e
e e
23 ,3
ln3
ea e e
e
,x a
- 15 -
有关恒成立的问题中,通过代入特殊点(边界点,极值点等)可以简化运算,提供思路,而
且有一些题目往往不等关系就在自变量的边界值处产生
2、对极值点 的处理,虽无法求值,但可求出它的范围,进而解决问题
思路二:参变分离法:
当 时,无论 为何值,不等式恒成立
考虑 ,则不等式 (体会将 范围缩小后所带来的
便利)
恒成立
则只需 成立
设 ,
在 单调递增,
再设 ,
令 即 ,由左边可得 时, ,而 单调递增,
由此可得 , , , (单调性+根→符号)
在 单调增,在 单调递减。故
综上所述:
0x
0,1x a
1,3x e
2
2 22 4ln 4 ln
ex a x e x a x x
2 2
ln ln
e ex a x
x x
max
min
2
ln
2
ln
ea x
x
ea x
x
2
ln
eg x x
x
'
3 3
2 2
21 1 0
2 ln ln
e eg x
x x x x
g x 1,3e max
23 3
ln3
eg x g e e
e
23
ln3
ea e
e
2
ln
eh x x
x
3
2'
3 3 3
2 2 2
ln21 1
2 ln ln ln
x x ee eh x
x x x x x x
' 0h x
3
2lnx x e x e
3
2lnx x e
3
2lny x x
1,x e ' 0h x ,3x e e ' 0h x
h x 1,e ,3e e min 3h x h e e 23
ln3
ea e
e
23 ,3
ln3
ea e e
e
- 16 -
小炼有话说:思路二有另外几个亮点:
1、缩小自变量 范围的作用:使 为正,进而对后面的变形开方起到关键性作用
2、在处理 的问题时,采取零点与单调性结合的方式来确定符号。其中 的
单调性可以快速判断。 增, 增,且两部分的函数值恒为正数,那么相乘后
的解析式依然是增函数。
三、近年模拟题题目精选(三类方法综合)
1、已知定义域为 的奇函数 ,当 时, ,且对
,恒有 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2、(2016,山东潍坊中学高三期末)已知函数 ,当 时,不等式
恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3、(2014,辽宁)当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
4、(2014,新课标全国卷 II)设函数 ,若存在 的极值点 满足
,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5、(2015,新课标 I)设函数 其中 ,若存在唯一的整数 ,
使得 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
x ln x
h x
3
2lny x x
y x
3
2lny x
R f x 0x 0f x x a a a
x R f x a f x a
0,2 0 2,
10,16
0 16,
2 xf x x e 1,1x
f x m m
1 ,e
1 ,e
,e ,e
2,1x 3 2 4 3 0ax x x a
5, 3 96, 8
6, 2 4, 3
3sin xf x m
f x 0x
22 2
0 0x f x m m
, 6 6, , 4 4,
, 2 2, , 1 1,
2 1xf x e x ax a 1a 0x
0 0f x a
3 ,12e
3 3,2 4e
3 3,2 4e
3 ,12e
- 17 -
6、(2014,辽宁)已知定义在 上的函数 满足:
①
② 对所有的 ,且 ,有
若对所有的 , 恒成立,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7、(2016,唐山一中)已知函数 ,若存在 ,使得
,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8、已知函数 ,在区间 内任取两个不相等的实数 ,若不等式
恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、已知 ,若对任意的
恒成立,则实数 的取值范围是______
10、已知不等式 对一切 恒成立,则 的取值范围是_____
11、若不等式 对满足 的所有 都成立,则 的取值范围是
___________
12、(2016,上海理工大附中一月考)已知不等式组 的解集是关于 的不等
式 解集的一个子集,则实数 的取值范围是_______
13、(2014,重庆)若不等式 对任意实数 恒成立,则实数
的取值范围是_________
14 、( 2016 , 上 海 十 三 校 12 月 联 考 ) 已 知 , 不 等 式
0,1 f x
0 1 0f f
, 0,1x y x y 1
2f x f y x y
, 0,1x y f x f y k k
1
2
1
4
1
2
1
8
2ln ( ) ( )x x bf x b Rx
1[ ,2]2x
0f x xf x b
3( , )2 9( , )4 ( ,3) ( , 2)
2ln 1f x a x x 0,1 ,p q
1 1 1f p f q
p q
a
15, 6, ,15 ,6
3 2ln , 2f x x x g x x ax x '0, ,2 2x f x g x
a
x y a x y 0, 0x y a
22 1 1x a x 1 1a a x
2
2
4 3 0
6 8 0
x x
x x
x
22 9 0x ax a
2 12 1 2 22x x a a x a
2
2
4 3, 0
2 3, 0
x x xf x
x x x
- 18 -
在 上恒成立,则 的取值范围是___________
15、已知函数 ,对任意的 ,都有 ,则最大的正整
数 为_______
16、关于 的不等式 的解集为 ,则实数 的取值范围是______
17、(2016,内江四模)已知函数 , ,若
,则实数 的取值范围是
18 、( 2016 四 川 高 三 第 一 次 联 考 ) 已 知 , 若 不 等 式
对任意 恒成立,则实数 的取值范围为_______
19、已知 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是________
20、若不等式 对满足 的一切实数 恒成立,则实数 的取值范
围是________
21、已知 ,函数 .
(1)若 ,求函数 的极值;
(2)是否存在实数 ,使得 恒成立?若存在,求出实数 的取值集合;若不存在,
请说明理由.
22、(2014,庆安高三期中)已知函数 ,其中
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ,求函数 的解析式;
(2)讨论函数 的单调性;
(3)若对于任意的 ,不等式 在 上恒成立,求 的取值范围
23、(2016,抚顺一模)已知函数 。
(1)当 时,求函数 在点 处的切线方程;
(2)若函数 ,讨论函数 的单调性;
(3)若(2)中函数 有两个极值点 ,且不等式 恒成立,求实
2f x a f a x , 1a a a
||)( xexf )1](,1[ mmx exxf )2(
m
x 2 1 3 0ax x a , a
xe
xxf ||)( 1224)( 21 mmmxg xx
RexgfxM }))((|{ m
2 20, lna f x a x x ax
3 2e f x e 1,x e a
0, 0x y 22 8 7y x m mx y m
1 2a x y 2 2 5x y ,x y a
0a 2( ) , ( ) lnf x ax x g x x
1
2a ( ) 2 ( )p x f x g x
a ( ) ( )f x g ax a
)0()( xbx
axxf Rba ,
)(xfy ))2(,2( fP 13 xy )(xf
)(xfy
]2,2
1[a 10)( xf ]1,4
1[ b
2( ) ln ( )f x x a x a R
2a ( )f x (1, (1))f
2( ) ( ) 2 2g x f x x x ( )g x
( )g x 1 2,x x 1 2( )x x 1 2( )g x mx
- 19 -
数 的取值范围。
24、(2015,山东)设函数 ,其中
(1)讨论函数 极值点的个数,并说明理由
(2)若 成立,求 的取值范围
25、(2015,新课标 II)设函数
(1)证明: 在 单调递减,在 单调递增
(2)若对于任意 ,都有 ,求 的取值范围
26、(2015,北京)已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程
(2)求证:当 时,
(3)设实数 使得 对 恒成立,求 的最大值
27、(2016,苏州高三调研)已知函数 , 是自然对数的
底数
(1)当 时,求函数 的单调区间
(2)① 若存在实数 ,满足 ,求实数 的取值范围
② 若有且只有唯一整数 ,满足 ,求实数 的取值范围
m
2ln 1f x x a x x a R
f x
0, 0x f x a
2mxf x e x mx
f x ,0 0,
1 2, 1,1x x 1 2 1f x f x e m
1ln1
xf x x
y f x 0, 0f
0,1x
3
2 3
xf x x
k
3
3
xf x k x
0,1x k
2 1xf x e x ax a a R e
1a f x
x 0f x a
0x 0 0f x a
- 20 -
习题答案:
1、答案:D
解析:利用对称性可作出 的图像, 可视为 的图像向左平移 个单位,则
恒成立不等式的几何含义为 的图像始终在 的上方,通过数形结合可得:若
,则 ;若 ,也满足 。所以 的取值范围是
2、答案:D
解析:若 恒成立,则 , ,所以
在 单调递减,在 单调递增。 ,所以
3、答案:C
解析: 时,恒成立不等式等价于
设
在 单调递减,在 单调递增
当 时,可知无论 为何值,不等式均成立
当 时,恒成立不等式等价于
,同理设
在 单调递增
综上所述:
4、答案:C
f x f x a f x a
f x a f x
0a 4 16a a a 0a f x a f x a
0 16,
m f x maxm f x ' 22 2x x xf x xe x e x x e f x
1,0 0,1 11 , 1f f ee m e
2,0x
2
3
4 3x xa x
2
3
min
4 3x xa x
2
3
4 3x xf x x
3 2 2 2
'
6 4 4
2 4 3 4 3 9 18 9x x x x x x xx xf x x x x
2,0x f x 2, 1 1,0
min 1 2f x f
0x a
0,1x
2
3
4 3x xa x
2
3
max
4 3x xa x
2
3
4 3x xf x x
'
4
9 1x xf x x
f x 0,1
max 1 6f x f 6a 6, 2a
- 21 -
解析: ,令 可得:
不等式转化为:
整理后可得:
,使得
若 且 ,则 ,不等式不能成立
只需 或 时,不等式成立即可
5、答案:D
解析:
当 时,不等式不成立
当 时,可得 ,与 矛盾,故不成立
当 时,可得
设
在 单调递增,在 单调递减
唯一的整数 使得 即 ,又
在 单调递增
' 3 cos xf x m m
' 0f x
cos 0 2
x x k k Zm m
2
mx km k Z
2
2 22+3sin2
m kmm km mm
2
2 21 32k m m
k Z
2
211 32k m
0k 1k
211 02k
0k 1k
23 3 , 2 2,4 m m
2 1 0 1 2 1x xe x ax a a x e x
1x
1x 2 1 12 2 11 1
x x xxa e e ex x
1a
1x 2 1 121 1
x xxa e ex x
12 1
xg x ex
'
2 2
2 31 12 1 1 1
x x x x xg x e e ex x x
g x ,0 0,1
0 1g
0x 0 0f x 0a g x 1, 0 1a g
0 0x g x ,0
13 31 2 2a g e e
3 ,12a e
- 22 -
6、答案:B
解析:不妨设
当 时,
当 时,
即
7、答案:B
解析:
问题转变为: ,使得 ,即
8、答案:A
解析:不妨设 ,则恒成立不等式等价于
即 ,设 ,则 在 单调递增
对 恒成立,即
设 ,可知 在 单调递增
0 1y x
1
2x y 1 1
2 4f x f y x y
1
2x y
1 0f x f y f x f f y f
1 1 1 1 11 0 12 2 2 2 4f x f f y f x y x y
1
4k min
1
4k
2
2 2
'
2 2
1 2 ln 1 lnx x b x x b x x bxf x x x
2 2 2 2
' ln 1 ln 2 2 1 0x x b x x b x bxf x xf x x x x
1 ,22x
22 2 1 0x bx
2
max
2 1
2
xb x
2
maxmax
2 1 1 1 922 2 2 2 4
x xx x
9
4b
0 1q p 1 1f p f q p q
1 1f p p f q q 1g x f x x g x 0,1
2 2ln 2 1 ln 2 3 1g x a x x x a x x x
' 2 32
ag x xx
' 0g x 0,1x 22 3 2 2 7 6a x x x x
22 7 6h x x x h x 0,1
1 15h x h 15a
- 23 -
9、答案:
解析:恒成立不等式为:
设
令 定义域 解得
的单调区间为:
10、答案:
解析:恒成立不等式为 ,所以 ,由均值不等式可知:
,所以
,即
11、答案:
解析:恒成立不等式为: ,设 ,则不等
式恒成立只需 ,所以
解得
12、答案:
2a
22 ln 3 2 1x x x ax
max
1 12ln 32a x x x
12ln 3g x x x x 2
'
2 2 2
3 1 12 1 3 2 13 x xx xg x x x x x
' 0g x 0,x 3 1 0x 1x
f x
x 0,1 1,
' ( )f x
f x
max 1 4g x g
2a
2a
x ya
x y
max
x ya
x y
2 22 2 2
x y x y x yx y x y
2 2x y x y
x y x y
2a
2,1 3 3 1,2
2 1 2 1 0a x x 2 1 2 1f a a x x
2
2
1 0 2 2 0 3 1
1 0 2 0 0 2
f x x x
f x x x
3 1 2x
2,1 3 3 1,2x
3a
- 24 -
解析:不等式组 的解集为 ,由子集关系可将问题转化为 ,
不等式 恒成立,从而 恒成立,因为 为减函数,所
以 ,从而
13、答案:
解析:若不等式恒成立,则
设 可知
14、答案:
解析:作出 的图像可知 为减函数,所以恒成
立不等式等价于 在 恒成立,
即 ,解得:
15、答案:4
解析:作出函数 和 的图像,可知
, ,
,所以 ,即 的最大整数值为 4
16、答案:
解析:问题转化为 , 恒成立
2
2
4 3 0
6 8 0
x x
x x
2,3 2,3x
22 9 0x ax 9 2a xx 9 2f x xx
3 3f x f 3a
11, 2
2
min
1 2 2 1 22a a x x
13 1, 2
12 1 2 3 , 2 2
3 1. 2
x x
f x x x x x
x x
min
1 5
2 2f x f
2 21 5 12 2 1 0 1,2 2 2a a a a a
, 2
f x f x
2x a a x , 1x a a
max2 2 1a x a 2a
2xg x e h x ex
1 1g h e 24 4 4g e h e
35 5 5g e h e 5m m
1 ,2
x R 2 1 3 0ax x a
- 25 -
,设
可得:
17、答案:
解析: ,作出函数图像可知若 ,则
恒成立
即 对 恒成立
设 , 恒成立
设 ,对称轴
(1)当 时, ,不符题意
(2)当 时,
综上所述:
18、答案:
解析:令 可得:
由 可知: 在 上单调递增
2 2 2
1 1 1
3 3 3
x x xa x x x
2
1 , 11 41 23 1
0, 1
xxg x xx x
x
41 2 , 6 2,1x x
10, 2g x
1
2a
2,0
, 0
, 0
x
x
x xef x x xe
M R 1g x
1 2( ) 4 2 2 1 1x xg x m m m
2 22 2 2 2 0x xm m m x R
2 , 0,xt t 2 22 2 0t mt m m
22 2 22 2 2h t t mt m m t m m m t m
0m 2
min 2 0 1 0h x h m m m m
0m 20 2 0 2 0h x h m m m
2,0m
1e
1x 1 1f e a e
2
' 22 , 0x a x aaf x x a ax x
1a e f x 1,e
- 26 -
19、答案:
解析:若 恒成立,则 ,由均值不等式可得:
,所以 解得:
20、答案: 或
解析:由 可设 ,恒成立不等式 可知
,而 ,所以
解得: 或
21、解析:(1)
,
可得 在 单调递减,在 单调递增
的极小值为 ,无极大值
(2)设
,令
有两不等实根 ,其中 ,不妨设
在 单调递减,在 单调递增
由 可得:
所以
2 2
1 1 1
2 13 23 2
f e a e a e
e a ea e ae ef e e
1a e
8,1m
22 8 7y x m mx y 2
min
2 87 y xm m x y
2 8 2 82 8y x y x
x y x y 2 7 8m m 8,1m
6a 4a
2 2 5x y 5 cos , 0,2
5sin
x
y
1 2a x y
max1 2a x y 2 5 cos 2 5sin 5sin 5x y 1 5a
6a 4a
21 2ln2p x x x x
' 1 221 x xp x x x x
p x 0,2 2,
p x 2 2ln 2p
2 lnh x f x g ax ax x ax
min 0h x
2
' 2 1ax xh x x
22 1, 1 8 0q x ax x a
0q x 1 2,x x 1 2
1 02x x a 1 20x x
h x 20, x 2,x
2
2 2 2 2min ln 0h x h x ax x ax
2 0q x 2 2
2 2 2
2
12 1 0 2
xax x ax x
2 2
2
2
1 1ln 02 2
x xh x x
- 27 -
令
在 单调递增,在 单调递减
代入到 可得:
的取值集合为
22、解析:(1)
(2)
当 时,可得 恒成立 在 单调递增
当 时,令 可解得: 或 ,所以 的单调区间为:
(3)若 在 上恒成立,则只需
由(2)可知 在 的边界处取得最大值
对任意的 恒成立
1 ln 1 ln 22
xk x x x
' 1 21 1 1
2 1 2 1
x xk x x x x x
k x 0,1 1,
2 1 0h x k 2 0h x
2 20 1h x x
2
2 22 1 0ax x 1a
a 1
2 3 2 1 7f '
21 af x x
'
2 2 7 82
92 1 34
af b a
a bf
8 9f x x x
2
'
2 21 a x af x x x
0a ' 0f x f x ,0 , 0,
0a ' 0f x x a x a f x
x , a ,0a 0, a ,a
'f x
f x
10)( xf ]1,4
1[ max( ) 10f x
f x ]1,4
1[
1 3910 44 4
91 10
f b a
b af
]2,2
1[a
- 28 -
所以可得:
23、解析:(1)由 可得:
,当 时,
切线方程
(2)
令 ,即
① 时, 恒成立
在 单调递增
② 当 时,
当 时,
的单调区间为:
当 时,
在 上单调递减,在 单调递增
(3)由(2)可得:函数 有两个极值点 ,则 ,且
7
4b
2 lnf x x a x 0,x
' 2 af x x x 2a ' 22f x x x
' 1 0
1 1
f
f
1y
2 2 lng x x x a x
2
' 2 22 2 a x x ag x x x x
' 0g x 22 2 0x x a
14 8 0 2a a 22 2 0x x a
g x 0,
10 2a 1 2
1 1 2 1 1 2,2 2
a ax x
10 2a 1 20 x x
f x
x 1 1 20, 2
a
1 1 2 1 1 2,2 2
a a
1 1 2 ,2
a
'f x
f x
0a 1 20x x
g x 1 1 20, 2
a
1 1 2 ,2
a
g x 1 2,x x 0 1a 1 2 1x x
1 2x x 1 2
1 10 , 12 2x x
- 29 -
恒成立不等式为: ,只需
设
由 可得:
即 在 单调递减
24、解析:(1) ,定义域为
,
设 ,
当 时, ,函数 在 为增函数,无极值点.
当 时, ,
若 时 , ,函数 在 为增函数,无极值点.
若 时 ,设 的两个不相等的实数根 ,且 ,
且 ,而 ,则 ,
所以当 单调递增;
当 单调递减;
当 单调递增.
因此此时函数 有两个极值点;
当 时 ,但 , ,
1
2
g xm x 1
2 min
g xm x
2 22
1 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1
2 1 1 1
2 2 2 ln2 ln 11 2 ln1 1 1
x x x x xg x x x a x x x xx x x x
1 11 2 ln 01 2h x x x x xx
'
2
2 2ln
1
x xh x x
x
10 2x ' 0h x
h x 10, 2
1 3 ln 22 2h x h
3 ln 22m
2( ) ln( 1) ( )f x x a x x ( 1, )
21 (2 1)( 1) 1 2 1( ) (2 1)1 1 1
a x x ax ax af x a xx x x
2( ) 2 1g x ax ax a
0a 1( ) 1, ( ) 01g x f x x
( )f x ( 1, )
0a 2 28 (1 ) 9 8a a a a a
80 9a 0 ( ) 0, ( ) 0g x f x ( )f x ( 1, )
8
9a 0 ( ) 0g x 1 2,x x 1 2x x
1 2
1
2x x ( 1) 1 0g 1 2
11 4x x
1( 1, ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x
1 2( , ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x x g x f x f x
2( , ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x
( )f x
0a 0 ( 1) 1 0g 1 21x x
- 30 -
所以当 单调递増;
当 单调递减.
所以函数只有一个极值点。
综上可知当 时 的无极值点;当 时 有一个极值点;当 时,
的有两个极值点.
(2)由(1)可知当 时 在 单调递增,而 ,
则当 时, ,符合题意;
当 时, , 在 单调递增,而 ,
则当 时, ,符合题意;
当 时, ,所以函数 在 单调递减,而 ,
则当 时, ,不符合题意;
当 时,设 ,当 时 ,
在 单调递增,因此当 时 ,
于是 ,当 时 ,
此时 ,不符合题意.
综上所述, 的取值范围是 .
25、解析:
可知 单调递增,且
时, 时,
在 单调递减,在 单调递增
(2)若不等式 恒成立
则 在 连续
在 有最大最小值
2( 1, ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x
2( , ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x
80 9a ( )f x 0a ( )f x 8
9a
( )f x
80 9a ( )f x (0, ) (0) 0f
(0, )x ( ) 0f x
8 19 a 2(0) 0, 0g x ( )f x (0, ) (0) 0f
(0, )x ( ) 0f x
1a 2(0) 0, 0g x ( )f x 2(0, )x (0) 0f
2(0, )x x ( ) 0f x
0a ( ) ln( 1)h x x x (0, )x 1( ) 1 01 1
xh x x x
( )h x (0, ) (0, )x ( ) (0) 0,ln( 1) 0h x h x
2 2( ) ( ) (1 )f x x a x x ax a x 11x a 2 (1 ) 0ax a x
( ) 0f x
a 0 1a
' 2mxf x me x m
'f x ' 0 0f
,0x ' 0f x 0,x ' 0f x
f x ,0 0,
1 2 1f x f x e
1 2 max 1f x f x e f x 1,1
f x 1,1
- 31 -
由(1)可知 在 单调递减,在 单调递增
设 ,可知
在 单调递减,在 单调递增
,使得
26、解析:(1)
切线方程为:
(2)所证不等式等价于证明:
设
时, 恒成立
在 单调递增
,即不等式得证
(3)设
1 2 max minmaxf x f x f x f x
f x 1,0 0,1
min 0 1f x f
max 1 , 1 1 , 1m mf x f f e m e m
1 0 1 1
11 0 1
m
m
f f e e m e
e m ef f e
1xh x e x e 1 0h
' 1xh x e h x ,0 0,
211 2 0, 2 3 0h e h e ee
0 2, 1x 0 0h x
0
0
1 1,11
x m mx m
0 0f
'
2 2
1 2 2
1 11
xf x x xx
' 0 2f 2y x
31ln 2 01 3
x xxx
31ln 21 3
x xF x xx
0 0F
2 2 4
' 2
2 2 2
2 2 1 12 2 21 1 1
x x xF x xx x x
0,1x ' 0F x
F x 0,1
0 0F x F
31ln1 3
x xF x k xx
- 32 -
当 时,由(2)可知不等式恒成立
当 时,令 即 解得
在 单调递减,在 单调递增
与恒成立不等式矛盾
的最大值为 2
27、解析:(1)当 时,
当 时,
当 时,
在 单调递减,在 单调递增
(2)①
当 时, ;当 时,
设 ,
在区间 单调递增,在 单调递减
当 时,
当 时,
当 时, 不成立
的取值范围是
4
' 2
2 2
2 211 1
kx kF x k xx x
2k
2k ' 0F x 4 4 22 kkx k x k
4 2kx k
F x 4 20, k
k
4 2,1k
k
4 2 0 0kF Fk
k
1a 2 1 1xf x e x x
' 2 1 1xf x e x ' 0 0f
0x 1,2 1 1xe x ' 0f x
0x 0 1,0 2 1 1xe x ' 0f x
f x ,0 0,
0 2 1 1xf x e x a x
1x 2 1
1
xxa ex
1x 2 1
1
xxa ex
2 1
1
xxg x ex
'
2 2
2 1 1 2 1 2 3
1 1
x x xe x x e x e x xg x
x x
g x 3,0 , ,2
30,1 , 1, 2
1x
3
2
min
3 42a g x g e
1x max 0 1a g x g
0x 0f x
a
3
2,1 ,e
- 33 -
② 由①可得 时, ,且
在 上单调递增,在 单调递减,且
当 时, ,且
在 上单调递减,在 单调递增,且
解得
综上所述:
1a 0 ,1x 0a g x
g x ,0 0,1 0 1g a
31 2g a a e
3 12 ae
3
2a e 0 1,x 0a g x
g x
31, 2
3 ,2
3
23 42g e a
2
3
g a
g a
3
2 53 2
ee a
3
23 5,1 3 ,2 2
ea ee