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- 2021-06-16 发布
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不等式
不等式的性质及解法
[题组练透]
1．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是( )
A．ac2>bc2 B.>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：选C 若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；若b<0，则<1，故B错；不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；若a，b都小于0，则a20，q：<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.q：由<0⇒(1－x2)(|x|－2)<0，当x≥0时，可化为(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2.
当x<0时，可化为(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－12，所以由p⇒q，但qp，故选A.
4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪{2}
解析：选B 当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－20在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
答案：
[题后悟通]
快审题
1.看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．
2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．
准 解 题
1.明确解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
2.掌握不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；
f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
避误区
解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.
简单的线性规划问题
[题组练透]
1．(2019届高三·重庆调研)若实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．7
解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.
2．(2018·广州测试)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故zmin＝－1＝－.
3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件若z＝x＋2y的最大值为4，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2
C．－1 D．1
解析：选B 作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z＝x＋2y过A点时z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m＝2×0－2＝－2.
4．(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时，生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )
A．320千元 B．360千元
C．400千元 D．440千元
解析：选B 设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则每月利润z＝2x＋y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)时，z取得最大值，为360.
5．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.
平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，
z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
[题后悟通]
快 审 题
1.看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
2.看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其几何意义．
3.看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．
准 解 题
记牢三种常见的目标函数及其求法
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
避 误 区
1.忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．
2.求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.
基本不等式及其应用
[题组练透]
1．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，
所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，
故m＋n的最小值为5.
2．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为( )
A. B．2
C. D．3
解析：选C ∵P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，
∴＋＝·(a2＋b2)＝≥＝，
当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝，选C.
3．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．
答案：0
4．(2018·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．
解析：因为直线l经过点(2,3)，
所以2a＋3b－ab＝0，
即＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，当且仅当＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．
答案：5＋2
5．(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为________．
解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝·(a＋b)＝ ≥×(5＋4)＝(当且仅当b＝2a时取等号)．故＋的最小值为.
答案：
[题后悟通]
快审题
看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．
准 解 题
掌握基本不等式求最值的3种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
避误区
运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.
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