【数学】2020届一轮复习人教A版极坐标新人教A版选修_ 7页

‎2020届一轮复习人教A版 极坐标 新人教A版选修_‎ ‎ (时间：90分钟，总分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)‎ A．两个圆　　　　　　　　 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 解析：选C　因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π，ρ＝1表示以极点为圆心、半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线，所以C选项正确．‎ ‎2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P，Q，则有(　　)‎ A．P在曲线C上，Q不在曲线C上 B．P，Q都不在曲线C上 C．P不在曲线C上，Q在曲线C上 D．P，Q都在曲线C上 解析：选C　当θ＝时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q在曲线上．‎ ‎3．空间直角坐标系中的点(，，1)关于z轴对称的点的柱坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　空间直角坐标系中的点(，，1)关于z轴对称的点的坐标为M(－，－，1)．‎ 设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)(ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R)，‎ 则ρ＝＝2，‎ ‎∵tan θ＝＝1，又x<0，y<0，∴tan θ＝，‎ ‎∴M的柱坐标为.‎ ‎4．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　将代入y＝sin x，得μy＝sin λx，即y＝sin λx，与y＝2sin 3x比较，得λ ‎＝3，μ＝，‎ 即变换公式为 ‎5．极坐标方程ρ＝2cos θ－4sin θ对应的直角坐标方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5‎ C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋2)＝5‎ 解析：选A　ρ＝2cos θ－4sin θ即ρ2＝2ρcos θ－4ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，即x2＋y2－2x＋4y＝0，也即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，故选A.‎ ‎6．已知点M的极坐标为，下列给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　因为－≠(2n＋1)π＋(n∈Z)．所以点A不能表示点M.因为＝π＋，－＝－π＋，－＝－2π＋.所以B，C，D都能表示点M.‎ ‎7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是(　　)‎ 解析：选B　把ρcos θ＝化为直角坐标方程，得x＝，‎ 把ρ＝cos θ化为直角坐标方程，得x2＋y2－x＝0，即其圆心为，半径为，故选项B正确．‎ ‎8．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(　　)‎ A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2‎ C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4‎ 解析：选B　如图所示，CO⊥Ox，OA为⊙C的直径，且|OA|＝4，l和圆C相切，且l交极轴于点B(2,0)，设点P(ρ，θ)为l上任意一点，‎ 则有cos θ＝，即ρcos θ＝2，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.‎ ‎9．在极坐标系中，点到直线ρsin＝4的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B　点的直角坐标为，即(－，1)，因为ρsin ＝ρ＝y－x＝4，所以直线的普通方程为x－y＋8＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2，故选B.‎ ‎10．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值为(　　)‎ A．－4 B．－7‎ C．1 D．6‎ 解析：选D　ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝8y，x2＋(y－4)2＝16.‎ 可得圆心为C(0,4)，半径r＝4.‎ 直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x.‎ 圆心C到直线的距离d＝＝2，‎ 因此圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值为2＋4＝6.‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)‎ ‎11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.‎ 解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|＝2.‎ 答案：2 ‎12．已知点A的直角坐标为，则它的球坐标为________．‎ 解析：r＝＝6，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝，x>0，y>0，∴θ＝.∴它的球坐标为.‎ 答案： ‎13．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．‎ 解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2，故A′的极坐标是.‎ 答案： ‎14．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．‎ 解析：数形结合，易知所求轨迹是以为圆心，为半径的圆，求得方程是ρ＝acos θ.‎ 答案：ρ＝acos θ 三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin ＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：∵点P，∴x＝cos ＝1，y＝sin ＝1，∴点P的直角坐标为(1,1)．∵ρsin＝－展开得ρsin θ－ρcos θ＝－，∴y－x＝－，令y＝0，得x＝1，∴直线与x轴的交点坐标为C(1,0)．∴圆C的半径r＝|PC|＝＝1.∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ.‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎16．(本小题满分12分)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos ＝2，‎ 所以ρ2－2ρcos θcos ＋sin θsin ＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ 所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4，x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝.‎ ‎17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．‎ 解：法一：对于点A有ρ＝2，θ＝，‎ 所以x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝，所以点A的直角坐标为(，)．‎ 对于B有ρ＝2，θ＝，‎ 所以x＝2cos ＝－，y＝2sin ＝－.‎ 所以点B的直角坐标为(－，－)．‎ 设点C的直角坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，故有|BC|＝|AC|＝|AB|.‎ 所以(x＋)2＋(y＋)2＝(x－)2＋(y－)2＝(＋)2＋(＋)2.‎ 即 所以 ‎②－①得y＝－x.③‎ 将③代入①，并化简得x2＝6，即x＝±，‎ 所以或 所以点C的直角坐标为(，－)或(－，)．‎ 所以ρ＝＝2，tan θ＝－1，‎ 所以θ＝或θ＝.‎ 所以点C的极坐标为或.‎ 法二：设点C的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)．因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.‎ 由余弦定理得 即 ‎①＋②并化简得ρ2＝12(ρ>0)，解得ρ＝2，‎ 将ρ＝2代入①得cos ＝0，‎ 所以θ－＝＋kπ，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.‎ 因为0≤θ<2π，所以θ＝或，‎ 所以点C的极坐标为或.‎ ‎18．(本小题满分14分)在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径r＝3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．‎ 解：(1)设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一外，在△OCM中 ，∠COM＝，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cos ∠COM，所以32＝ρ2＋32－2×ρ×3cos，即ρ＝6cos.经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上．所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cos.‎ ‎(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，‎ 由＝2，得＝2(－)，‎ 所以＝，所以ρ1＝ρ0，θ1＝θ0，将其代入圆ρ1＝6cos，得ρ0＝6cos，即ρ0＝9cos.‎ 所以动点P的轨迹方程为ρ＝9cos.‎