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- 2021-06-16 发布
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城郊市重点联合体期中考试高三年级数学(理科)试卷
一、选择题
1.已知集合,集合,求( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合的交集运算求解即可
【详解】集合中应满足,即;集合中应满足,即;则
故选:B
【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题
2.已知,则( )
A. 1 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】
先求内层函数值,再求外层函数即可
【详解】先求得,再求得,即
故选:B
【点睛】本题考查分段函数中函数值的求法,属于基础题
3.向量和向量( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量垂直的坐标运算即可求出参数
【详解】由题知,,则,又,
故选:A
【点睛】本题考查由向量垂直求解参数,属于基础题
4.将图像左移个单位后,对称轴为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出平移之后的表达式,再由对称轴通式化简即可
【详解】图像左移个单位可得:,再令,
解得;
故选:D
【点睛】本题考查函数图像平移法则,正弦型函数对称轴通式的求法,属于基础题
5.设函数的导函数为,且,则( ).
A. 0 B. -4 C. -2 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
可先求函数的导数,先令求出,再令即可求解
【详解】由,令得,
解得,则,
故选:B
【点睛】本题考查函数具体导数值的求法,属于基础题
6.若定义域为的函数不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可通过列举函数图像结合奇函数进行选项排除
【详解】如图:
函数为奇函数图像(不唯一),
,如图中的,则错误,
B项为偶函数的性质,显然矛盾,则B错误;
通过图像显然,则C正确;
D项不一定成立,如图:
,显然是不成立的,D错误;
故选:C
【点睛】本题考查函数性质的应用,全称命题和存在命题的辨析,属于基础题
7.正方形ABCD的边长为1,E为CD中点,则向量( ).
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
可建立直角坐标系,由向量的坐标运算求解即可
【详解】如图:
则,E为CD中点,
则,,
故选:B
【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算,建系法在向量中的应用,属于基础题
8.偶函数的定义域为,则的最小值( )
A. -3 B. 3 C. -8 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
由偶函数的性质可先求得,再由定义域关于原点对称求得,进而可求的值域
【详解】为偶函数,,由可得;又定义域关于原点对称,故,解得,,当时,
故选:C
【点睛】本题考查偶函数的性质,二次函数最值的求解,属于基础题
9.在围成的正方形中随机投掷10000个点,则落入曲线,和轴围成的区域的点的个数的估计值为( )
A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854
【答案】B
【解析】
【分析】
应用微积分基本定理求出对应的原函数,再由定积分定义求出空白区域面积,由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积,结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数
详解】
由微积分基本定理可求出的原函数为,空白区域面积为,故阴影部分面积,由几何概型可知,落入阴影部分的点数估计值为
故选:B
【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理,几何概型,属于基础题
10.( )
A. 0 B. -2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可由求出,由同角三角函数的基本关系即可求解
【详解】由,又,故,
,则
故选:A
【点睛】本题考查正切角的和角公式的应用,常见角的三角函数求值,属于基础题
11.是上的增函数,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据增函数的定义需使每段分段函数都是增函数,再由临界点建立不等关系即可求解
【详解】是上的增函数,满足,解得
故选:B
【点睛】本题考查由函数的单调性求解参数范围,属于基础题
12.若对于任意,不等式恒成立,则实数的最大值是( )
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
分析:利用基本不等式和参数分离得在时恒成立,构造函数
,通过求导判断函数的单调性求得的最小值,即可求得的最大值.
详解:当时,不等式即为,显然成立,
当时,设,
所以不等式恒成立,即为不等式恒成立,
即有(当时等号成立),
由题意可得,即有在时恒成立,
令函数,则,
令,即有,
令,
当时,,函数单调递增,由于,即有的根为2,
当时,函数单调递增,时,函数单调递减,
即有时,取得最小值,其最小值为,
所以实数的最大值为,故选D.
点睛:本题主要考查了导数在函数中的综合应用,以及不等式恒成立问题的求解,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
二、填空题
13.函数在处的切线斜率为________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
先求导,再将代入导数公式即可求解
【详解】由,
故答案为:-2
【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题
14.________.
【答案】
【解析】
【分析】
可采取拼凑角的方式,,结合差角公式和同角三角函数的求法,先求出,即可求解
【详解】,
又,在第四象限,为负值,
即,
故答案为:
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法,两角差的余弦公式,属于中档题
15.已知命题,若是的充分不必要条件,求的取值范围________.
【答案】
【解析】
【分析】
是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件,再化简两命题对应的取值范围,进一步判断即可
【详解】“是的充分不必要条件”是的充分不必要条件,命题中:
,命题中:,由是的充分不必要条件可知,应满足,解得
故答案为:
【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围,属于中档题
16.已知,则tanα=______________.
【答案】
【解析】
由sinα+cosα=,有sin(α+Φ)=,
即sin(α+Φ)=1,其中tanΦ=
于是α+Φ=2kπ+(k∈Z)
所以tanα=tan(2kπ+-Φ)=cotΦ=
考点:三角函数性质
三、解答题
17.函数为上的奇函数,其中点是一个对称点,且在上单调
(1)求值
(2)求解析式
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先由诱导公式将原函数转化为,再由奇函数性质即可求得值;
(2)由图像关于对称可得,又在上是单调函数得,联立求解即可解得具体,进而求得解析式
【详解】(1)是上的奇函数,
,
,,
(2),图像关于对称,,
,,.①
又在上是单调函数,,
,②
,.
【点睛】本题考查三角函数中由奇偶性求解具体参数值,由单调性求解具体参数值,属于中档题
18.,
(1)求的单调区间
(2)求在上的最值.
【答案】(1)单调增区间为和,单调减区间为
(2)
【解析】
分析】
(1)先求导数,再令导数为0,结合导数的正负求解单调区间即可;
(2)先求出在上的极值点,再求出两端点值,即可求出函数最值
详解】(1)
令得或
令得
单增区间为和
单减区间为
(2)令得或
【点睛】本题考查由函数导数判断函数单调性,函数在指定区间的最值的求法,属于中档题
19.已知向量,
(1)当最小正周期为时,求的值;
(2)函数有零点,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先由向量的数量积公式求出表达式,得,令即可求解;
(2)要使函数有零点,即有根,由函数的值域即可求解参数取值范围
【详解】解:(1)
(2)由题知有根
又
【点睛】本题考查三角函数由三角函数的最小正周期求解参数,函数与方程的转化,属于中档题
20.函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
【答案】(1)a≥1时,在(-,+)是增函数;00,x>0时,,所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.
若a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当且,解得.
综上,a的取值范围是.
考点:1.函数的导数;2.导数性质的应用.
21.函数,其图像过定点
(1)求值;
(2)将图像左移个单位后得到,求在上的最大和最小值及此时对应的的取值是多少?
【答案】(1)
(2)当时,;当时,
【解析】
【分析】
(1)先将函数表达式结合降幂公式化简可得,结合函数过点和即可求解具体值;
(2)根据函数图像平移法则先求得,由求得,再结合余弦函数性质即可求解
【详解】(1)
又图像过点,
或
又,
(2)由(1)知
,
当时,即时,
当时,即时,
【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值,降幂公式的使用,两角差的余弦公式的逆用,在具体区间函数最值的求解,属于中档题
22.已知
(1)求的极值.
(2)当时恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)极小值为,极大值为
(2)
【解析】
【分析】
(1)先令,对求导,令,结合导数正负判断原函数单调性,进而求解极值;
(2)可采用分离参数法,得在时恒成立,令,利用导数研究的增减性,求出的最大值即可求解
【详解】解:(1)令
则
令,解得或.
当变化时,与的变化情况如下表:
-1
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以,.
(2)由题意知,当时,恒成立,
即,令
则,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
故当时,,
所以.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点,利用分离常数法和导数研究函数在定区间恒成立问题,属于中档题