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  • 2021-06-16 发布

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

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城郊市重点联合体期中考试高三年级数学(理科)试卷 一、选择题 ‎1.已知集合,集合,求( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的交集运算求解即可 ‎【详解】集合中应满足,即;集合中应满足,即;则 故选:B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题 ‎2.已知,则( )‎ A. 1 B. C. D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求内层函数值,再求外层函数即可 ‎【详解】先求得,再求得,即 故选:B ‎【点睛】本题考查分段函数中函数值的求法,属于基础题 ‎3.向量和向量( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直的坐标运算即可求出参数 ‎【详解】由题知,,则,又,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查由向量垂直求解参数,属于基础题 ‎4.将图像左移个单位后,对称轴为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出平移之后的表达式,再由对称轴通式化简即可 ‎【详解】图像左移个单位可得:,再令,‎ 解得;‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查函数图像平移法则,正弦型函数对称轴通式的求法,属于基础题 ‎5.设函数的导函数为,且,则( ).‎ A. 0 B. -4 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求函数的导数,先令求出,再令即可求解 ‎【详解】由,令得,‎ 解得,则,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查函数具体导数值的求法,属于基础题 ‎6.若定义域为的函数不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可通过列举函数图像结合奇函数进行选项排除 ‎【详解】如图:‎ 函数为奇函数图像(不唯一),‎ ‎,如图中的,则错误,‎ B项为偶函数的性质,显然矛盾,则B错误;‎ 通过图像显然,则C正确;‎ D项不一定成立,如图:‎ ‎,显然是不成立的,D错误;‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查函数性质的应用,全称命题和存在命题的辨析,属于基础题 ‎7.正方形ABCD的边长为1,E为CD中点,则向量( ).‎ A. B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可建立直角坐标系,由向量的坐标运算求解即可 ‎【详解】如图:‎ 则,E为CD中点,‎ 则,,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算,建系法在向量中的应用,属于基础题 ‎8.偶函数的定义域为,则的最小值( )‎ A. -3 B. 3 C. -8 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的性质可先求得,再由定义域关于原点对称求得,进而可求的值域 ‎【详解】为偶函数,,由可得;又定义域关于原点对称,故,解得,,当时,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查偶函数的性质,二次函数最值的求解,属于基础题 ‎9.在围成的正方形中随机投掷10000个点,则落入曲线,和轴围成的区域的点的个数的估计值为( )‎ A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用微积分基本定理求出对应的原函数,再由定积分定义求出空白区域面积,由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积,结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 详解】‎ 由微积分基本定理可求出的原函数为,空白区域面积为,故阴影部分面积,由几何概型可知,落入阴影部分的点数估计值为 故选:B ‎【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理,几何概型,属于基础题 ‎10.( )‎ A. 0 B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可由求出,由同角三角函数的基本关系即可求解 ‎【详解】由,又,故,‎ ‎,则 故选:A ‎【点睛】本题考查正切角的和角公式的应用,常见角的三角函数求值,属于基础题 ‎11.是上的增函数,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据增函数的定义需使每段分段函数都是增函数,再由临界点建立不等关系即可求解 ‎【详解】是上的增函数,满足,解得 故选:B ‎【点睛】本题考查由函数的单调性求解参数范围,属于基础题 ‎12.若对于任意,不等式恒成立,则实数的最大值是(  )‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:利用基本不等式和参数分离得在时恒成立,构造函数 ‎,通过求导判断函数的单调性求得的最小值,即可求得的最大值.‎ 详解:当时,不等式即为,显然成立,‎ 当时,设,‎ 所以不等式恒成立,即为不等式恒成立,‎ 即有(当时等号成立),‎ 由题意可得,即有在时恒成立,‎ 令函数,则,‎ 令,即有,‎ 令,‎ 当时,,函数单调递增,由于,即有的根为2,‎ 当时,函数单调递增,时,函数单调递减,‎ 即有时,取得最小值,其最小值为,‎ 所以实数的最大值为,故选D.‎ 点睛:本题主要考查了导数在函数中的综合应用,以及不等式恒成立问题的求解,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 二、填空题 ‎13.函数在处的切线斜率为________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导,再将代入导数公式即可求解 ‎【详解】由,‎ 故答案为:-2‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题 ‎14.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采取拼凑角的方式,,结合差角公式和同角三角函数的求法,先求出,即可求解 ‎【详解】,‎ 又,在第四象限,为负值,‎ 即,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法,两角差的余弦公式,属于中档题 ‎15.已知命题,若是的充分不必要条件,求的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件,再化简两命题对应的取值范围,进一步判断即可 ‎【详解】“是的充分不必要条件”是的充分不必要条件,命题中:‎ ‎,命题中:,由是的充分不必要条件可知,应满足,解得 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围,属于中档题 ‎16.已知,则tanα=______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由sinα+cosα=,有sin(α+Φ)=,‎ 即sin(α+Φ)=1,其中tanΦ=‎ 于是α+Φ=2kπ+(k∈Z)‎ 所以tanα=tan(2kπ+-Φ)=cotΦ=‎ 考点:三角函数性质 三、解答题 ‎17.函数为上的奇函数,其中点是一个对称点,且在上单调 ‎(1)求值 ‎(2)求解析式 ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由诱导公式将原函数转化为,再由奇函数性质即可求得值;‎ ‎(2)由图像关于对称可得,又在上是单调函数得,联立求解即可解得具体,进而求得解析式 ‎【详解】(1)是上的奇函数,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎(2),图像关于对称,,‎ ‎,,.①‎ 又在上是单调函数,,‎ ‎,②‎ ‎,.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中由奇偶性求解具体参数值,由单调性求解具体参数值,属于中档题 ‎18.,‎ ‎(1)求的单调区间 ‎(2)求在上的最值.‎ ‎【答案】(1)单调增区间为和,单调减区间为 ‎(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)先求导数,再令导数为0,结合导数的正负求解单调区间即可;‎ ‎(2)先求出在上的极值点,再求出两端点值,即可求出函数最值 详解】(1)‎ 令得或 令得 单增区间为和 单减区间为 ‎(2)令得或 ‎【点睛】本题考查由函数导数判断函数单调性,函数在指定区间的最值的求法,属于中档题 ‎19.已知向量,‎ ‎(1)当最小正周期为时,求的值;‎ ‎(2)函数有零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由向量的数量积公式求出表达式,得,令即可求解;‎ ‎(2)要使函数有零点,即有根,由函数的值域即可求解参数取值范围 ‎【详解】解:(1)‎ ‎(2)由题知有根 又 ‎【点睛】本题考查三角函数由三角函数的最小正周期求解参数,函数与方程的转化,属于中档题 ‎20.函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)a≥1时,在(-,+)是增函数;00,x>0时,,所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.‎ 若a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当且,解得.‎ 综上,a的取值范围是.‎ 考点:1.函数的导数;2.导数性质的应用.‎ ‎21.函数,其图像过定点 ‎(1)求值;‎ ‎(2)将图像左移个单位后得到,求在上的最大和最小值及此时对应的的取值是多少?‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)当时,;当时,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将函数表达式结合降幂公式化简可得,结合函数过点和即可求解具体值;‎ ‎(2)根据函数图像平移法则先求得,由求得,再结合余弦函数性质即可求解 ‎【详解】(1)‎ 又图像过点,‎ 或 又,‎ ‎(2)由(1)知 ‎,‎ 当时,即时,‎ 当时,即时,‎ ‎【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值,降幂公式的使用,两角差的余弦公式的逆用,在具体区间函数最值的求解,属于中档题 ‎22.已知 ‎(1)求的极值.‎ ‎(2)当时恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)极小值为,极大值为 ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先令,对求导,令,结合导数正负判断原函数单调性,进而求解极值;‎ ‎(2)可采用分离参数法,得在时恒成立,令,利用导数研究的增减性,求出的最大值即可求解 ‎【详解】解:(1)令 则 令,解得或.‎ 当变化时,与的变化情况如下表:‎ ‎-1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以,.‎ ‎(2)由题意知,当时,恒成立,‎ 即,令 则,‎ 所以当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减,‎ 故当时,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点,利用分离常数法和导数研究函数在定区间恒成立问题,属于中档题 ‎ ‎