2018届二轮复习二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理（全国通用） 103页

第二节　 二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的 线性规划问题 【 知识梳理 】 1. 二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By + C>0 直线 Ax+By+C =0 某一侧的所有点 组成的平面区域 不包括边界直线 Ax+By + C≥0 包括 _________ 不等式组 各个不等式所表示平面区域的 _________ 边界直线 公共部分 2. 线性规划中的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的 ___________ 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式组成的 ___________ 目标函数 关于 x,y 的函数 _______, 如 z=x+2y 线性目标函数 关于 x,y 的 _____ 解析式 可行解 满足线性约束条件的解 ( x,y ) 不等式 ( 组 ) 不等式 ( 组 ) 解析式 一次 名称 意义 可行域 所有 _______ 组成的集合 最优解 使目标函数取得 _______________ 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函 数的 _______ 或 _______ 问题 可行解 最大值或最小值 最大值 最小值 3. 确定二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域时 , 经常采用“直线定界 , 特殊点定域”的方法 . (1) 直线定界 , 不等式含等号 , 直线在区域内 , 不含等号 , 直线不在区域内 . (2) 特殊点定域 , 在直线上方 ( 下方 ) 取一点 , 代入不等式成立 , 则区域就为上方 ( 下方 ), 否则就是下方 ( 上方 ). 特别地 , 当 C≠0 时 , 常把原点作为测试点 ; 当 C=0 时 , 常选点 (1,0) 或者 (0,1) 作为测试点 . 【 特别提醒 】 1. 判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论 把 Ax+By+C >0 或 Ax+By+C <0 化为 y>kx+b 或 ykx+b 则区域为直线 Ax+By+C =0 上方 . (2) 若 y0, 则必有 BC⊥AB, 因为 x+y-4=0 的斜率为 -1, 所以直线 kx-y =0 的斜率为 1, 即 k=1, 故选 A. 3. 设动点 P(x,y ) 在区域 Ω: 上 , 过点 P 任作直线 l , 设直线 l 与区域 Ω 的公共部分为线段 AB, 则以 AB 为直径 的圆的面积的最大值为　 ( 　　 )A.π B.2π C.3π D.4π 【 解析 】 选 D. 作出不等式组所表示的可行域如图中阴 影部分所示 , 则根据图形可知 , 以 AB 为直径的圆的面积 的最大值 S=π× =4π. 4. 求不等式组 所表示的平面区域的面积 . 【 解析 】 如图 , 平面区域为直角梯形 , 易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5), 所以 AD=3,AB=2,BC=5. 故所求区域的 面积为 S= ×(3+5)×2=8. 考向二 　线性规划相关问题 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 求目标函数的最值 一般是利用目标函数的几何意义求解 , 有截距型、斜率型、距离型等 , 考查最值的求法 求参数的值或范围 考查最优解的应用及可行域的画法 , 属中档题 【 考题例析 】 命题方向 1: 求目标函数的最值 【 典例 2】 (1)(2015· 全国卷 Ⅱ) 若 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为 　　　　　 . ( 本题源自人 A 必修 5P91 练习 T1) (2)(2015· 全国卷 Ⅰ) 若 x,y 满足约束条件 则 的最大值为 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 此题为截距型 , 根据约束条件画出可 行域 , 在三角区域的顶点处取得最值 . (2) 此题为斜率型 , 作出可行域 , 由斜率的意义知 , 是 可行域内一点与原点连线的斜率 , 数形结合可求最值 . 【 规范解答 】 (1) 画出可行域如图所示 . 目标函数 y=-2x+z, 当 z 取到最大值 时 ,y=-2x+z 的纵截距最大 , 故将直 线移到点 B(3,2) 时 ,z max =2×3+2=8. 答案 : 8 (2) 作出可行域如图中阴影部分所示 , 由 斜率的意义知 , 是可行域内一点与原 点连线的斜率 , 由图可知 , 点 A(1,3) 与原 点连线的斜率最大 , 故 的最大值为 3. 答案 : 3 【 母题变式 】 1. 本例题 (1) 条件不变 , 求 z=2x+y 的最小值 . 【 解析 】 由例题解析知 , 当将直线移到点 A 时 , 取得最小值 .A 点是直线 2x-y-1=0 和 x-2y+1=0 的交点 , 所以 A 点坐标为 (1,1), 所以 z 的最小值为 z min =2×1+1=3. 2. 本例题 (1) 条件变为 求 z=2x+y 的最大值 . 【 解析 】 作图易知可行域为一个三角形 , 当直线 z=2x+y 过点 A(2,-1) 时 ,z 取最大值 , 最大值是 3. 命题方向 2: 求参数的值或范围 【 典例 3】 (1)(2015· 福建高考 ) 变量 x,y 满足约束条件 若 z=2x-y 的最大值为 2, 则实数 m 等于 ( 　　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)(2014· 安徽高考 )x,y 满足约束条件 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 , 则实数 a 的值 为　 ( 　　 ) A. 或 -1 B.2 或 C.2 或 1 D.2 或 -1 【 解题导引 】 (1) 将目标函数变形为 y=2x-z, 结合题意 , 对 m 分类讨论 , 画出可行域 , 结合图象 , 可找出最优解 , 进而求出 m 的值 . (2) 作出可行域 , 分析题干可知线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合 , 进而可求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 如图所示 , 当 m≤0 时 , 比如在①的位置 , 此时为开 放区域无最大值 , 当 m>2 时 , 比如在 ②的位置 , 此时在原点取得最大值 不满足题意 , 当 00 时 , 当直线过点 A 时截距最小 ,z 最小 , 此时 z= =7, 解得 a=-5( 舍去 ) 或 a=3. 方法二 : 先画出可行域 , 然后根据图形结合选项求解 . 当 a=-5 时 , 作出不等式组表示的可行域 , 如图 1( 阴影部分 ) 由 得交点 A(-3,-2), 则目标函数 z=x-5y 过 A 点时取得最大值 . z max =-3-5×(-2)=7, 不满足题意 , 排除 A,C 选项 . 当 a=3 时 , 作出不等式组表示的可行域 , 如图 2( 阴影部分 ) 由 得交点 B(1,2), 则目标函数 z=x+3y 过 B 点时 取得最小值 .z min =1+3×2=7, 满足题意 . 3.(2014· 浙江高考 ) 当实数 x,y , 满足 时 ,1≤ax+y≤4 恒成立 , 则实数 a 的取值范围是 　　 . 【 解析 】 作出不等式组 所表示的区域 , 由 1 ≤ ax+y ≤ 4, 由图可知 , a≥0 且在 (1,0) 点取得最小值，在 (2,1) 点取得最大 值，所以 a≥1,2a+1≤4 ，故 a 的取值范围为 答案： 考向三 　线性规划实际应用 【 典例 4】 (1)(2015· 陕西高考 ) 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料 , 已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示 , 如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元 , 则该企业每天可获得最大利润为　 ( 　　 ) A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元 甲 乙 原料限额 A( 吨 ) 3 2 12 B( 吨 ) 1 2 8 (2)(2016· 芜湖模拟 ) 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个 , 生产一个卫兵需 5 分钟 , 生产一个骑兵需 7 分钟 , 生产一个伞兵需 4 分钟 , 已知总生产时间不超过 10 小时 . 若生产一个卫兵可获利润 5 元 , 生产一个骑兵可获利润 6 元 , 生产一个伞兵可获利润 3 元 . ①用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y, 表示每天的利润 W( 元 ); ② 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 , 最大利润是多少 ? 【 解题导引 】 (1) 把企业的生产实际抽象为不等式组 , 表示出目标函数 , 画出可行域 , 根据可行域可找出最优解 . (2) 把公司生产的约束条件“翻译”成不等式组 , 画出可行域 , 可求目标函数最值 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 设每天生产甲、乙两种产品 分别为 x 吨 ,y 吨 , 利润为 z 万元 , 则 目标函数为 z=3x+4y. 作出二元一次不等式组所表示的 平面区域 ( 阴影部分 ) 即可行域 . 由 z=3x+4y 得 平移直线 由图象可知当直线 经过点 A 时，直线 在 y 轴上的截距最大， 此时 z 最大， 解方程组 即 A 的坐标为 (2,3), 所以 z max =3x+4y=6+12=18. 即每天生产甲、乙两种产品分别为 2 吨 ,3 吨 , 能够产生最大的利润 , 最大的利润是 18 万元 . (2)① 依题意 , 每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. ② 约束条件为 整理 , 得 目标函数为 W=2x+3y+300, 如图所示 , 作出可行域 . 初始直线 l 0 :2x+3y=0, 平移初始直线经过点 A 时 ,W 有最大值 , 最优解为 A(50,50), 所以 W max =2×50+3×50+300=550( 元 ). 答 : 每天生产卫兵 50 个 , 骑兵 50 个 , 伞兵 0 个时利润最大 , 为 550 元 . 【 易错警示 】 解答本例题 (2) 容易出现以下错误 :(1) 弄不清约束条件 , 列不等式组时写错不等号的方向 .(2) 忽略总生产时间不超过 10 小时的条件 , 或用不等式表示不准确 . 【 规律方法 】 利用线性规划解决实际问题的一般步骤 (1) 审题 : 仔细阅读材料 , 抓住关键 , 准确理解题意 , 明确有哪些限制条件 , 借助表格或图形理清变量之间的关系 . (2) 设元 : 设问题中起关键作用的 ( 或关联较多的 ) 量为未知量 x,y , 并列出相应的不等式组和目标函数 . (3) 作图 : 准确作出可行域 , 平移找点 ( 最优解 ). (4) 求解 : 代入目标函数求解 ( 最大值或最小值 ). (5) 检验 : 根据结果 , 检验反馈 . 【 变式训练 】 (2016· 南安模拟 ) 某电视机厂计划在下 一个生产周期内生产两种型号电视机 , 每台 A 型或 B 型电 视机所得利润分别为 6 和 4 个单位 , 而生产一台 A 型或 B 型 电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位 , 所需工时分别为 4 和 2 个单位 , 如果允许使用的原料为 100 个单位 , 工时为 120 个单位 , 且 A 或 B 型电视机产量分别不低于 5 台和 10 台 , 应当生产每种类型电视机多少台 , 才能使利润最大 ? 【 解析 】 设生产 A 型电视机 x 台 ,B 型电视机 y 台 , 则根据已知条件知线性约束条件为 线性目标函数为 z=6x+4y. 根据约束条件作出可行域如图中阴 影部分整点所示 , 作直线 l 0 :3x+2y=0, 当直线 l 0 平移至过点 A 时 ,z 取最大值 , 解方程组 所以生产两种类型电视机各 20 台 , 所获利润最大 . 【 加固训练 】 1. 某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅 行 ,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人 , 租金分别 为 1600 元 / 辆和 2400 元∕辆 , 旅行社要求租车总数不超 过 21 辆 , 且 B 型车不多于 A 型车 7 辆 , 则租金最少为 ( 　　 )A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 【 解析 】 选 C. 设旅行社租用 A 型 客车 x 辆 ,B 型客车 y 辆 , 租金为 z, 则线性约束条件为 目标函数为 z=1600x+2400y. 画出可行域 : 图中阴影部分 所示 , 可知目标函数过点 N(5,12) 时 , 有最小值 z min = 36800( 元 ). 2. 某农户计划种植黄瓜和韭菜 , 种植面积不超过 50 亩 , 投入资金不超过 54 万元 , 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 每亩年产量 每亩年种植成本 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润 ( 总利润 = 总销售收入 - 总种植成 本 ) 最大 , 那么黄瓜和韭菜的种植面积 ( 单位 : 亩 ) 分别为 　 ( 　　 )A.50,0 　　 B.30,20 　　 C.20,30 　　 D.0,50 【 解析 】 选 B. 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x,y 亩 , 则总利润 z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y. 此时 x,y 满足条件画出可行域如图 , 得最优解为 A(30,20). 3. 某公司生产甲、乙两种桶装产品 . 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克 ; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的 计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合 理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是　 ( 　　 )A.1 800 元 B.2 400 元 C.2 800 元 D.3 100 元 【 解析 】 选 C. 设某公司生产甲产品 x 桶 , 生产乙产品 y 桶 , 获利为 z 元 , 则 x,y 满足的线性约束条件为 目标函数 z=300x+400y. 作出可行域 , 如图中四边形 OABC 的边界及其内部整点 . 作直线 l 0 :3x+4y=0, 平移直线 l 0 经可行域内点 B 时 ,z 取最 大值 , 由 得 B(4,4), 满足题意 , 所以 z max =4×300+4×400=2800( 元 ). 4. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 . 已知一个单 位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 ,6 个单位的蛋白质 和 6 个单位的维生素 C; 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳 水化合物 ,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C. 另 外 , 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水 化合物 ,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元 . 那么要满足上述的营养要求 , 并且花费最少 , 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 ? 【 解析 】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位 , 所花的费用为 z 元 , 则依题意得 :z=2.5x+4y, 且 x,y 满足 作出可行域如图 , 利用平移法可知 z 的最小值一定在 A,B,C,D 四点处的某一点处取得 .z 在可行域的四个顶点 A(9,0), B(4,3),C(2,5),D(0,8) 处的值 分别是 z A =2.5×9+4×0=22.5, z B =2.5×4+4×3=22, z C =2.5×2+4×5=25, z D =2.5×0+4×8=32. 比较之 , z B 最小 , 因此 , 应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 , 就可满足要求 . 【 一题多解 】 本题还可以使用以下解法 : 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位 , 所花的费用为 z 元 ,z=2.5x+4y, 且 x,y 满足 让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移 , 由此可知 z=2.5x+4y 在 (4,3) 处取得最小值 . 因此 , 应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 , 就可满足要求 .