2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第7练 14页

第7练　三角函数的图象与性质[小题提速练]‎ ‎[明晰考情]　1.命题角度：三角函数的性质；三角函数的图象变换；由三角函数的图象求解析式.2.题目难度：三角函数的图象与性质常与三角变换相结合，难度为中低档.‎ 考点一　三角函数的图象及变换 要点重组　(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，作出对应点得到.‎ ‎(2)图象变换：平移、伸缩、对称.‎ 特别提醒　由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度.‎ ‎1.(2018·兰州诊断)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)等于(　　)‎ A. B.　C.0 D.－ 答案　C 解析　由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋φ)，∵点在函数f(x)的图象上，∴sin＝0，‎ 即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ ‎∵x1＋x2＝，‎ ‎∴＋＝2π，∴f(x1)＋f(x2)＝0.‎ ‎2.若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小正值为(　　)‎ A. B.　C. D. 答案　D 解析　将y＝tan的图象向右平移个单位长度，得到y＝tan的图象，‎ 由平移后的图象与y＝tan的图象重合，‎ 得－＝kπ＋，k∈Z，‎ 故ω＝－6k＋，k∈Z，‎ 所以ω的最小正值为.‎ ‎3.(2018·天津)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减 C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减 答案　A 解析　函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断选项A正确.‎ 故选A.‎ ‎4.设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(0，1) B.[1，2]‎ C.(0，1] D.(1，2)‎ 答案　A 解析　画出函数f(x)在[0，2π]上的图象，如图所示：‎ 若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知00，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－ C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝ 答案　A 解析　∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ 又f ＝2，‎ 即2sin＝2，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.‎ ‎11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝a(0＜a＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递减区间是(　　)‎ A.[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z B.[6kπ－3，6kπ]，k∈Z C.[6k，6k＋3]，k∈Z D.[6k－3，6k]，k∈Z 答案　D 解析　因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝a(0＜a＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以T＝＝8－2＝6，且当x＝＝3时函数取得最大值，所以ω＝，×3＋φ＝＋2nπ，n∈Z，所以φ＝－＋2nπ，n∈Z，所以f(x)＝Asin.由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，可得6k＋3≤x≤6k＋6，k∈Z.‎ ‎12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，f(x)的图象向左平移个单位长度后关于直线x＝0对称，则f ＋f 的单调递增区间为(　　)‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 答案　A 解析　易知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 又f 的图象关于直线x＝0对称，‎ ‎∴π＋φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，‎ 即f(x)＝sin.‎ ‎∴f ＋f ＝sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝sin，‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴f ＋f 的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎1.为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)‎ A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 答案　C 解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝sin＝sin，‎ 又y＝cos 3x＝sin＝sin，‎ 所以应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度得到.‎ ‎2.将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g ‎(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象(　　)‎ A.关于点(－2，0)对称 B.关于点(0，－2)对称 C.关于直线x＝－2对称 D.关于直线x＝0对称 答案　B 解析　将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g(x)的解析式为g(x)＝3sin－4＝3sin－4＝3sin 2－4，f(x)＝3sin 2，故两个函数的图象关于点(0，－2)对称，故选B.‎ ‎3.已知关于x的方程(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2在(0，π)上有实根，则实数t的最大值是____.‎ 答案　－1‎ 解析　由(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2，‎ 得cos(x＋φ)＝t＋2，有解的条件为(t＋1)2＋t2≥(t＋2)2，解得t≥3或t≤－1.因为x∈(0，π)，‎ 当t≥3时显然不成立，故t≤－1，‎ 所以实数t的最大值是－1.‎ 解题秘籍　(1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f(ωx)的图象得到f(ωx＋φ)的图象平移了个单位长度(ω≠0).‎ ‎(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.‎ ‎1.将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴方程是(　　)‎ A.x＝ B.x＝ C.x＝－ D.x＝－ 答案　D 解析　将函数y＝sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y＝sin，再向左平移个单位长度，纵坐标不变，得函数y＝sin＝sin，把四个选项中的值代入函数，只有D代入后有sin＝sin＝－1是函数的最小值，因此x＝－ 是函数的一条对称轴方程.‎ ‎2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)‎ A. B.　C. D.1‎ 答案　B 解析　由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2，‎ 又＝，∴f(x)的图象过点，‎ 即sin＝1，又|φ|<，所以φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ 而x1＋x2＝－＋＝，‎ ‎∴f(x1＋x2)＝f ＝sin＝sin ＝.‎ ‎3.(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A. B. C. D.π 答案　A 解析　f(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，‎ 当x∈，即x－∈时，‎ y＝sin单调递增，‎ f(x)＝－sin单调递减.‎ ‎∵函数f(x)在[－a，a]上是减函数，‎ ‎∴[－a，a]⊆，‎ ‎∴0＜a≤，∴a的最大值为.‎ 故选A.‎ ‎4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f f  C.f(x)是奇函数 D.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)‎ 答案　D 解析　由f(x)≤恒成立知，x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f 0，又|φ|<π，所以φ＝，‎ 即f(x)＝sin.‎ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 即f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎5.已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，则θ的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　函数f(x)＝sin x＋cos x＝2sin(x∈R)，‎ 先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，‎ 可得y＝2sin的图象，‎ 再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，‎ 得到y＝2sin的图象.‎ 又得到的图象关于直线x＝对称，‎ 可得2×＋－2θ＝kπ＋，k∈Z，‎ 即θ＝－＋，k∈Z，‎ 当k＝1时，θ的最小值为.故选A.‎ ‎6.设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　)‎ A.y＝f(x)的最小正周期为π，且在上单调递增 B.y＝f(x)的最小正周期为π，且在上单调递减 C.y＝f(x)的最小正周期为，且在上单调递增 D.y＝f(x)的最小正周期为，且在上单调递减 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，因为其图象关于x＝0对称，‎ 所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z).‎ 又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2cos 2x.‎ 其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减.‎ ‎7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(2)0，∴φmin＝，‎ 故f(x)＝Asin.于是f(0)＝Asin ，‎ f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，‎ f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin＝Asin.‎ 又∵－<－4<4－<<，y＝Asin x在上单调递增，‎ ‎∴f(2)0，所以ω＝2k＋1(k∈N)，‎ 又因为f(x)在上单调，‎ 所以－＝≤＝，即ω≤12，‎ 若ω＝11，又|φ|≤，则φ＝－，‎ 此时，f(x)＝sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件.‎ 若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，‎ 此时，f(x)＝sin，满足f(x)在上单调的条件.‎ 由此得ω的最大值为9，故选B.‎ ‎9.(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为______.‎ 答案　3‎ 解析　由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝cos＝0.‎ ‎∵x∈[0，π]，‎ ‎∴3x＋∈，‎ ‎∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，‎ 即函数f(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为3.‎ ‎10.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的单调递增区间为__________.‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎11.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f ＝____.‎ 答案　 解析　如题干图所示，可知＝－＝，‎ 所以T＝，所以＝，所以ω＝2.因为图象过点，‎ 所以Atan＝0，即tan＝0.又|φ|＜，‎ 所以φ＝.又图象过点(0，1)，即Atan＝1，‎ 所以A＝1，所以f(x)＝tan.‎ 所以f ＝tan＝tan ＝.‎ ‎12.已知函数f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则f(x)在区间上的最小值为________.‎ 答案　－ 解析　f(x)＝cos(2x－φ)－sin(2x－φ)＝－2sin，‎ 将其图象向右平移个单位长度后，‎ 得y＝－2sin＝－2sin.‎ 由其图象关于y轴对称，得－－φ＝＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ＝－－kπ，k∈Z.‎ 由|φ|＜，得φ＝.‎ 即f(x)＝－2sin.‎ ‎∵－≤x≤0，∴－≤2x－≤－，‎ ‎∴－≤f(x)≤2，则f(x)在区间上的最小值为－.‎