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- 2021-06-16 发布
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第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题
指数、对数的运算
[核心提炼]
指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)loga(MN)=logaM+logaN;
(4)loga=logaM-logaN;
(5)logaMn=nlogaM;
(6)alogaN=N;
(7)logaN=.
注:a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0.
[典型例题]
(1)(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83=p,log35=q,则lg 5(用p、q表示)等于( )
A. B.
C. D.p2+q2
(2)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
(3)已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=________,b=________.
【解析】 (1)因为log83=p,
所以lg 3=3plg 2,又因为log35=q,
所以lg 5=qlg 3,
所以lg 5=3pqlg 2=3pq(1-lg 5),
所以lg 5=,故选C.
(2)设2x=3y=5z=k>1,
所以x=log2k,y=log3k,z=log5k.
因为2x-3y=2log2k-3log3k=-===
>0,
所以2x>3y;
因为3y-5z=3log3k-5log5k=-===<0,
所以3y<5z;
因为2x-5z=2log2k-5log5k=-===<0,
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y,故选D.
(3)由于a>b>1,则logab∈(0,1),因为logab+logba=,即logab+=,所以logab=或logab=2(舍去),所以a=b,即a=b2,所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,b2=2b,所以b=2(b=0舍去),a=4.
【答案】 (1)C (2)D (3)4 2
(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.
(2)求解对数式运算的关键是:熟记对数恒等式、换底公式的运算法则,并结合代数式的各种变换技巧,如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等,简化对数运算过程.
(3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质,或在运算中变换的方法不当,不注意运算的先后顺序等.
[对点训练]
1.若a=log43,则2a+2-a=________.
解析:因为a=log43=log223=log23=log2,
所以2a+2-a=2log2+2-log2=+2log2=+=.
答案:
2.(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a,b满足log2a=log5b=lg(a+b),则+的值为________.
解析:设log2a=log5b=lg(a+b)=k,
所以a=2k,b=5k,a+b=10k,所以ab=10k,
所以a+b=ab,则+=1.
答案:1
基本初等函数的图象及性质
[核心提炼]
指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分01两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当00,且a≠1)的图象可能是( )
(2)P为曲线C1:y=ex上一点,Q为曲线C2:y=ln x上一点,则|PQ|的最小值为________.
【解析】 (1)通解:若01,则y=是减函数,而y=loga是增函数且其图象过点,结合选项可知,没有符合的图象.故选D.
优解:分别取a=和a=2,在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.
(2)因为曲线y=ex与曲线y=ln x互为反函数,其图象关于y=x对称,
故可先求点P到直线y=x的最近距离d,
设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b,
因为y′=ex,由ex=1,得x=0,
故切点坐标为(0,1),即b=1,
所以d==,
所以|PQ|的最小值为2d=2×=.
【答案】 (1)D (2)
研究指数、对数函数图象应注意的问题
(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.
(2)研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,忽视t>0的限制条件.
[对点训练]
1.当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1,则函数y=loga的图象大致为( )
解析:选B.因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1.因此,必有0<a<1.
先画出函数y=log a|x|的图象,如图.
而函数y=log a=-log a|x|,如图.
故选B.
2.(2019·四川胜读九校联考)已知函数f=若≥ax恒成立,则a的取值范围为________.
解析:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax的图象,
由图象可知,函数y=ax的图象为过原点的直线,直线l为曲线的切线,当直线介于l和x轴之间符合题意,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x,求其导数可得y′=2x-2,因为x=0,故y′=-2,故直线l的斜率为-2,故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a∈.
答案:
函数的零点
[核心提炼]
1.函数的零点的定义
对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.
2.确定函数零点的常用方法
(1)解方程法;
(2)利用零点存在性定理;
(3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则( )
A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0
C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
(2)(2019·衢州市高三教学质量检测)已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=,则函数y=f(x)-的所有零点之和是( )
A.5+ B.1-
C.-1 D.5-
(3)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________.
【解析】 (1)由题意可得,当x≥0时,f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2-b,令f(x)-ax-b=0,
则b=x3-(a+1)x2=x2[2x-3(a+1)].因为对任意的x∈R,f(x)-ax-b=0有3个不同的实数根,所以要使满足条件,则当x≥0时,b=x2[2x-3(a+1)]必须有2个零点,所以>0,解得a>-1.所以b<0.故选C.
(2)当x≥0时,f(x)≥0,所以当x<0时,f(x)<0;由得x=-1+;由得x=或,所以所有零点之和是5+,选A.
(3)若λ=2,则当x≥2时,令x-4<0,得2≤x<4;当x<2时,令x2-4x+3<0,得14.
【答案】 (1)C (2)A (3)(1,4) (1,3]∪(4,+∞)
(1)判断函数零点个数的方法
①直接求零点:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数.
②零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在(a,b)上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
①利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
②分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
③转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.利用此种方法还可判断零点个数,求所有零点的和,研究基本初等函数的性质等.
[对点训练]
1.(2019·“七彩阳光”高三联考)设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实数根分别为x1,x2和x3,x4,若x10且a≠1.
(1)当a=2时,若f(x)0,则问题等价于关于n的二次方程n2-n+t=0在n∈(0,+∞)上有两个不相等的实根,即,即,
得00),若对任意s∈[1,+∞),t∈[0,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立,试求实数a的取值范围.
解:(1)因为||x+2|-|x-1||≤|(x+2)-(x-1)|=3,
所以-3≤|x+2|-|x-1|≤3,
所以f(x)的值域为[-3,3].
(2)g(x)==ax+-3,
当a≥3时,g(x)在[1,+∞)上是增函数,g(x)min=a,
当a∈(0,3)时,g(x)min=2-3,
因此g(s)min=,f(t)max=3,
由题意知g(s)min≥f(t)max,
①当01,c=0.20.3∈(0,1),所以a0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:选B.由f(1)=得a2=.又a>0,所以a=,因此f(x)=.因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
8.(2019·金华十校联考)函数f(x)=,若a,b,c,d各不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是( )
A.(24,25) B.[16,25)
C.(1,25) D.(0,25]
解析:选A.函数f(x)的图象如图所示:
若a、b、c、d互不相同,
且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),
不妨令a0,则y=|x2-a|与y=ax+1两个图象有四个不同的交点,
①当y=ax+1与y=-x2+a相切时,得a=-2+2.(负值舍掉)
②当y=ax+1过点(-,0)时,得a=1,
所以2-2