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- 2021-06-16 发布
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衡阳市八中2020届高三月考试题(二)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.己知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合,再利用集合的交集运算律得出.
【详解】,因此,,故选:B.
【点睛】本题考查集合的交集运算,解题的关键就是交集运算律的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
2.设,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解出不等式,得出解集,再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.
【详解】解不等式,得或,是的真子集,
因此,“”是“”的必要不充分条件,故选:B.
【点睛】本题考查必要条件的判定,一般转化为集合间的包含关系来判断,具体关系如下:
(1),则“”是“”的充分不必要条件;
(2),则“”是“”的必要不充分条件;
(3),则“”是“”的充要条件;
(4),则“”是“”的既不充分也不必要条件.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析各选项中函数的奇偶性与单调性,可得出正确选项.
【详解】对于A选项,函数的定义域为,,该函数为奇函数,不合乎题意;
对于B选项,函数的定义域为,,该函数为偶函数,且该函数在上单调递增,合乎题意;
对于C选项,函数的定义域为,该函数为非奇非偶函数,不合乎题意;
对于D选项,函数的定义域为,,该函数为偶函数,由于,所以,该函数在上不可能为增函数,不合乎题意.故选:B.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断,考查函数单调性与奇偶性定义的应用,属于中等题.
4.设、,向量,,,且,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据,,利用平面向量垂直与共线向量的坐标表示列方程组解出、的值,可得出的坐标,然后利用平面向量的求模公式得出结果.
【详解】由于,,可得,解得,,,
,因此,,故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量模的坐标表示,将题中的条件利用坐标进行转化,是解题的关键,考查化归与转化思想,属于基础题.
5.已知直线是曲线的一条切线,则的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据导数几何意义列式求解.
【详解】设切点为,则因为(负值舍去),
所以
【点睛】本题考查导数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.
6.函数的部分图象如图所示,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用函数的图象求出函数的解析式,然后由解析式结合诱导公式计算出的值.
【详解】由图象可知,函数的最小正周期满足,则,
,,
,得.
,,,,.
因此,,故选:A.
【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式,基本步骤如下:
(1)先求振幅与:,;
(2)求频率:;
(3)求初相:将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式,利用特殊值以及角的范围确定初相的值.
7.要得到函数的图象,只需的图象( )
A. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)
B. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)
C. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)
D. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)
【答案】D
【解析】
【分析】
先将函数的解析式化为,再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.
【详解】,
因此,将函数的图象向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),可得到函数的图象,故选:D.
【点睛】本题考查三角函数的图象变换,处理这类问题的要注意以下两个问题:
(1)左右平移指的是在自变量上变化了多少;(2)变换时两个函数的名称要保持一致.
8.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
利用排除法:
由函数的解析式可得:,函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,选项CD错误;
当时,,选项B错误,
本题选择A选项.
点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.
9.已知函数满足,且在上是连续函数,且当时,成立,即,,,则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数,判断出该函数奇偶性与单调性,由,,,并比较、、的大小关系,结合函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】,则函数为偶函数,
构造函数,则函数为奇函数,
当时,,
则函数在上为增函数,
由奇函数的性质可知,函数在上也为增函数,
由于函数在上是连续函数,则函数在上也是连续函数,
由此可知,函数在上为增函数,
且,,,
由中间值法可知,则,
因此,,故选:A.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题,考查函数值大小的关系,解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系,难点在于构造新函数,考查函数思想的应用,属于中等题.
10.已知函数若曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数,求出在上的值域,将问题转化为,解出该不等式可得出结果.
【详解】,,
易知,函数在上单调递减,当时,则,
所以,,函数在上的值域,
由于曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直,
所以,,整理得,解得,
因此,实数的取值范围是,故选:C.
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查两直线垂直关系的转化,解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解,考查化归与转化思想,属于难题.
11.已知是定义在上的奇函数,满足, 且当时,,则函数在区间上的零点个数是
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
由,令,则,
∵, ∴的图像关于点对称,
又是定义在上的奇函数,∴,
∴是周期为2的函数.
当时,为增函数,
画出及在上的图像如图所示,
经计算,结合图像易知,函数的图像与直线
在上有3个不同的交点,由函数的奇偶性可知,
函数在区间上的零点个数是5.
12.若存在唯一的正整数,使得不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知满足不等式的解中只有一个正整数,利用导数分析函数的单调性与极值,结合函数图象得出,于此可求出实数的取值范围.
【详解】由题意知满足不等式的解中只有一个正整数,
构造函数,则,当时,;当时,.
所以,函数在处取得极大值,即.
如下图所示:
结合图形可知,即,解得,
因此,实数的取值范围是,故选:D.
【点睛】本题考查利用导数考查函数不等式的整数解个数问题,解决这类问题的通常利用数形结合思想找出等价条件,要结合图形找出一些关键点进行分析,列出不等式组进行求解.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=则f(f(-2))=________.
【答案】3
【解析】
【详解】∵f(x)=
∴f(-2)=,∴f(f(-2))=f()=
故答案为:3
点睛:本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰.本题解答分两个层次:首先求出f(-2) 的值,进而得到f(f(-2))的值.
14.若函数,,则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由计算出的取值范围,再利用正弦函数的性质得出函数的最小值.
【详解】,,所以,函数在区间上单调递增,
因此,函数的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,解题时要求出对象角的取值范围,结合正弦函数的图象得出最值,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
15.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在等式两边同时除以得到,将代数式和相乘,展开后利用基本不等式求出的最小值,由题意得出,解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】,,且,在等式两边同时除以得,
由基本不等式得,
当且仅当时,等号成立,所以,的最小值为,
由于不等式恒成立,则,即,
解得,因此,实数的取值范围是,故答案为:.
【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题,同时也考查了一元二次不等式的解法,在利用基本不等式求最值时,要创造出定值条件,并对代数式进行配凑,考查化归与转化数学思想,属于中等题.
16.设与是定义在同一区间上的两个函数,若函数在上有两个不同的零点,则称和在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”,则实数的取值范围是_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
令,可得出,将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点,求实数的取值范围,然后利用导数分析函数的单调性与极值以及端点函数值,可得出实数的取值范围.
【详解】令,得,得.
问题等价于直线与曲线在区间上的图象有两个交点,求实数的取值范围.
,令,得.
当时,;当时,.
所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,且.
又,,且.
因此,当时,直线与函数在区间
上的图象有两个交点,故答案为:.
【点睛】本题考查函数新定义问题,解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理,并利用参变量分离法来处理,考查化归与转化数学思想,属于难题.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:共60分.
17.已知函数,在时有极大值.
(1)求、的值;
(2)求函数在上最值.
【答案】(1),;(2)最大值,最小值.
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数,由题意得出,列出、的方程组,可解出实数、的值;
(2)由(1)得出,利用导数求出函数在区间上的极值,并与端点函数值比较大小,可得出函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】(1),,
由题意得,解得;
(2)由(1)知,则.
令,得或,列表如下:
极小值
极大值
因此,函数在区间上的最大值,最小值.
【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值,解题时要注意导数与极值、最值之间的关系,同时要注意导数求函数最值的基本步骤,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
18.已知函数的最大值为.
(1)求的值;
(2)求的最小正周期及单调递减区间.
【答案】(1);(2)最小正周期为,单调递减区间为.
【解析】
【分析】
(1)将函数解析式利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简,利用函数的最大值可求出实数的值;
(2)由(1)得出,利用周期公式可计算出函数的最小正周期,再由,解出该不等式可得出函数的单调递减区间.
【详解】(1)由题意可得,
所以,函数的最大值为,因此,;
(2)由(1)知,,
所以,函数的最小正周期为.
由,解得,
因此,函数的单调递减区间为.
【点睛】本题考查三角函数的基本性质,解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简,并结合正、余弦函数的基本性质进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
19.在中,内角、、的对边分别为、、,且,.
(1)求角的大小;
(2)设边的中点为,,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)计算出的值,代入题中等式可得出,利用正弦定理边角互化思想得出,利用两角和的正弦公式展开后可求出的值,结合角的范围可得出角的值;
(2)在中,由余弦定理得,求出和的值,再利用三角形的面积公式可求出的面积.
【详解】(1)由,得, 又,,
由正弦定理有得,
即,
化简得,,,
,;
(2),,,
在中,由余弦定理得,
即,解得,则,
.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角形面积公式的应用,在求解三角形的问题时,可充分利用边角互化思想结合三角恒等变换思想进行计算求解,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.
20.如图,在五面体中,侧面是正方形,是等腰直角三角形,点是正方形对角线的交点,且.
(1)证明:平面;
(2)若侧面与底面垂直,求五面体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连接、,证明四边形为平行四边形,可得出
,再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面;
(2)取的中点,的中点,连接、、,将五面体分割为三棱柱和四棱锥,证明出底面和平面,然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积,相加可得出五面体的体积.
【详解】(1)取的中点,连接、,
侧面为正方形,且,为的中点,
又为的中点,且,
且,,所以,四边形为平行四边形,.
平面,平面,平面;
(2)取的中点,的中点,连接、、,
四边形为正方形,.
平面平面,平面平面,平面,
底面,
易知,,,
,
为中点,,,
平面,平面,,
,、平面,平面.
,平面,且,
,因此,.
【点睛】本题考查直线与平面平行
证明,以及多面体体积的计算,在计算多面体体积时,一般有以下几种方法:(1)直接法;(2)等体积法;(3)割补法.在计算几何体体积时,要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中等题.
21.已知.
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函数的定义域和导数,对分和两种情况,分析在上的符号,可得出函数的单调区间;
(2)由,转化为,构造函数,且有,问题转化为,对函数求导,分析函数单调性,结合不等式求出实数的取值范围.
【详解】(1)函数的定义域为,.
①当时,对任意的,,此时,函数的单调递减区间为;
②当时,令,得;令,得.
此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2),即,得,
又,不等式两边同时除以,得,即.
易知,由题意可知对任意的恒成立,.
①若,则当时,,,此时,
此时,函数在上单调递减,则,不合乎题意;
②若,对于方程.
(i)当时,即,恒成立,
此时,函数在上单调递增,则有,合乎题意;
(ii)当时,即时,
设方程的两个不等实根分别为、,且,
则,,所以,,,.
当时,;当时,,,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究不等式恒成立问题,解题方法就是利用分类讨论法进行求解,解题时要找出参数分类讨论的依据,考查分类讨论数学思想的应用,属于难题.
(二)选考题(共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分)
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)过直线上的一点向圆引切线,求切线长的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)将圆的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开,并在等式两边同时乘以,再由可将圆的极坐标方程化为普通方程;
(2)设直线上任意一点的坐标为,利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切线长为,转化为关于的二次函数求出切线长的最小值.
【详解】(1),,
即,等式两边同时乘以得,
所以,圆的普通方程为,即;
(2)设上任意一点,,半径,
切线长为,
当且仅当时,切线长取最小值.
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,同时也考查了圆的切线长的计算,计算时可以代数法求解,也可以利用几何法结合勾股定理求解,考查运算求解能力,属于中等题.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数,.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若关于的不等式.恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2) .
【解析】
【分析】
(1)将代入函数的解析式,得出所求不等式为,然后利用零点分段法去绝对值,分段解出不等式即可;
(2)利用绝对值三角不等式得出,由题意得出,即,在时,解出该不等式可得出实数的取值范围.
【详解】(1)时,不等式为.
当时,不等式化为,,此时;
当时,不等式化为恒成立,此时;
当时,不等式化为,,此时.
综上,不等式的解集为;
(2),
,,
又,,解得或,
即的取值范围是.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式恒成立问题的求解,涉及绝对值三角不等式的应用,在求解恒成立问题时,需结合条件转化为函数的最值来处理,考查化归与转化数学思想的应用,属于中等题.