• 2.71 MB
  • 2021-06-16 发布

湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考(二)数学(文)试题

  • 22页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
衡阳市八中2020届高三月考试题(二)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.己知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合,再利用集合的交集运算律得出.‎ ‎【详解】,因此,,故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,解题的关键就是交集运算律的应用,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2.设,则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出不等式,得出解集,再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.‎ ‎【详解】解不等式,得或,是的真子集,‎ 因此,“”是“”的必要不充分条件,故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查必要条件的判定,一般转化为集合间的包含关系来判断,具体关系如下:‎ ‎(1),则“”是“”的充分不必要条件;‎ ‎(2),则“”是“”的必要不充分条件;‎ ‎(3),则“”是“”的充要条件;‎ ‎(4),则“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的函数是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数的奇偶性与单调性,可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项,函数的定义域为,,该函数为奇函数,不合乎题意;‎ 对于B选项,函数的定义域为,,该函数为偶函数,且该函数在上单调递增,合乎题意;‎ 对于C选项,函数的定义域为,该函数为非奇非偶函数,不合乎题意;‎ 对于D选项,函数的定义域为,,该函数为偶函数,由于,所以,该函数在上不可能为增函数,不合乎题意.故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断,考查函数单调性与奇偶性定义的应用,属于中等题.‎ ‎4.设、,向量,,,且,,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,,利用平面向量垂直与共线向量的坐标表示列方程组解出、的值,可得出的坐标,然后利用平面向量的求模公式得出结果.‎ ‎【详解】由于,,可得,解得,,,‎ ‎,因此,,故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量模的坐标表示,将题中的条件利用坐标进行转化,是解题的关键,考查化归与转化思想,属于基础题.‎ ‎5.已知直线是曲线的一条切线,则的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数几何意义列式求解.‎ ‎【详解】设切点为,则因为(负值舍去),‎ 所以 ‎【点睛】本题考查导数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎6.函数的部分图象如图所示,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用函数的图象求出函数的解析式,然后由解析式结合诱导公式计算出的值.‎ ‎【详解】由图象可知,函数的最小正周期满足,则,‎ ‎,,‎ ‎,得.‎ ‎,,,,.‎ 因此,,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式,基本步骤如下:‎ ‎(1)先求振幅与:,;‎ ‎(2)求频率:;‎ ‎(3)求初相:将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式,利用特殊值以及角的范围确定初相的值.‎ ‎7.要得到函数的图象,只需的图象( )‎ A. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)‎ B. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)‎ C. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)‎ D. 向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数的解析式化为,再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.‎ ‎【详解】,‎ 因此,将函数的图象向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),可得到函数的图象,故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换,处理这类问题的要注意以下两个问题:‎ ‎(1)左右平移指的是在自变量上变化了多少;(2)变换时两个函数的名称要保持一致.‎ ‎8.函数的图象大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法:‎ 由函数的解析式可得:,函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,选项CD错误;‎ 当时,,选项B错误,‎ 本题选择A选项.‎ 点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.‎ ‎9.已知函数满足,且在上是连续函数,且当时,成立,即,,,则、、的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,判断出该函数奇偶性与单调性,由,,,并比较、、的大小关系,结合函数的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】,则函数为偶函数,‎ 构造函数,则函数为奇函数,‎ 当时,,‎ 则函数在上为增函数,‎ 由奇函数的性质可知,函数在上也为增函数,‎ 由于函数在上是连续函数,则函数在上也是连续函数,‎ 由此可知,函数在上为增函数,‎ 且,,,‎ 由中间值法可知,则,‎ 因此,,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题,考查函数值大小的关系,解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系,难点在于构造新函数,考查函数思想的应用,属于中等题.‎ ‎10.已知函数若曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数,求出在上的值域,将问题转化为,解出该不等式可得出结果.‎ ‎【详解】,,‎ 易知,函数在上单调递减,当时,则,‎ 所以,,函数在上的值域,‎ 由于曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直,‎ 所以,,整理得,解得,‎ 因此,实数的取值范围是,故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查两直线垂直关系的转化,解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解,考查化归与转化思想,属于难题.‎ ‎11.已知是定义在上的奇函数,满足, 且当时,,则函数在区间上的零点个数是 A. 4 B. 5‎ C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由,令,则,‎ ‎∵, ∴的图像关于点对称,‎ 又是定义在上的奇函数,∴,‎ ‎∴是周期为2的函数. ‎ 当时,为增函数,‎ 画出及在上的图像如图所示,‎ 经计算,结合图像易知,函数的图像与直线 在上有3个不同的交点,由函数的奇偶性可知,‎ 函数在区间上的零点个数是5.‎ ‎12.若存在唯一的正整数,使得不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知满足不等式的解中只有一个正整数,利用导数分析函数的单调性与极值,结合函数图象得出,于此可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知满足不等式的解中只有一个正整数,‎ 构造函数,则,当时,;当时,.‎ 所以,函数在处取得极大值,即.‎ 如下图所示:‎ 结合图形可知,即,解得,‎ 因此,实数的取值范围是,故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数考查函数不等式的整数解个数问题,解决这类问题的通常利用数形结合思想找出等价条件,要结合图形找出一些关键点进行分析,列出不等式组进行求解.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知函数f(x)=则f(f(-2))=________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵f(x)=‎ ‎∴f(-2)=,∴f(f(-2))=f()=‎ 故答案为:3‎ 点睛:本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰.本题解答分两个层次:首先求出f(-2) 的值,进而得到f(f(-2))的值.‎ ‎14.若函数,,则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算出的取值范围,再利用正弦函数的性质得出函数的最小值.‎ ‎【详解】,,所以,函数在区间上单调递增,‎ 因此,函数的最小值为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,解题时要求出对象角的取值范围,结合正弦函数的图象得出最值,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎15.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边同时除以得到,将代数式和相乘,展开后利用基本不等式求出的最小值,由题意得出,解出该不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】,,且,在等式两边同时除以得,‎ 由基本不等式得,‎ 当且仅当时,等号成立,所以,的最小值为,‎ 由于不等式恒成立,则,即,‎ 解得,因此,实数的取值范围是,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题,同时也考查了一元二次不等式的解法,在利用基本不等式求最值时,要创造出定值条件,并对代数式进行配凑,考查化归与转化数学思想,属于中等题.‎ ‎16.设与是定义在同一区间上的两个函数,若函数在上有两个不同的零点,则称和在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”,则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,可得出,将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点,求实数的取值范围,然后利用导数分析函数的单调性与极值以及端点函数值,可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】令,得,得.‎ 问题等价于直线与曲线在区间上的图象有两个交点,求实数的取值范围.‎ ‎,令,得.‎ 当时,;当时,.‎ 所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,且.‎ 又,,且.‎ 因此,当时,直线与函数在区间 上的图象有两个交点,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义问题,解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理,并利用参变量分离法来处理,考查化归与转化数学思想,属于难题.‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知函数,在时有极大值.‎ ‎(1)求、的值;‎ ‎(2)求函数在上最值.‎ ‎【答案】(1),;(2)最大值,最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数,由题意得出,列出、的方程组,可解出实数、的值;‎ ‎(2)由(1)得出,利用导数求出函数在区间上的极值,并与端点函数值比较大小,可得出函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】(1),,‎ 由题意得,解得;‎ ‎(2)由(1)知,则.‎ 令,得或,列表如下:‎ 极小值 极大值 因此,函数在区间上的最大值,最小值.‎ ‎【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值,解题时要注意导数与极值、最值之间的关系,同时要注意导数求函数最值的基本步骤,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎18.已知函数的最大值为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的最小正周期及单调递减区间.‎ ‎【答案】(1);(2)最小正周期为,单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数解析式利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简,利用函数的最大值可求出实数的值;‎ ‎(2)由(1)得出,利用周期公式可计算出函数的最小正周期,再由,解出该不等式可得出函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】(1)由题意可得,‎ 所以,函数的最大值为,因此,;‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 所以,函数的最小正周期为.‎ 由,解得,‎ 因此,函数的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的基本性质,解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简,并结合正、余弦函数的基本性质进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎19.在中,内角、、的对边分别为、、,且,.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)设边的中点为,,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)计算出的值,代入题中等式可得出,利用正弦定理边角互化思想得出,利用两角和的正弦公式展开后可求出的值,结合角的范围可得出角的值;‎ ‎(2)在中,由余弦定理得,求出和的值,再利用三角形的面积公式可求出的面积.‎ ‎【详解】(1)由,得, 又,,‎ 由正弦定理有得,‎ 即,‎ 化简得,,,‎ ‎,;‎ ‎(2),,,‎ 在中,由余弦定理得,‎ 即,解得,则,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角形面积公式的应用,在求解三角形的问题时,可充分利用边角互化思想结合三角恒等变换思想进行计算求解,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎20.如图,在五面体中,侧面是正方形,是等腰直角三角形,点是正方形对角线的交点,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若侧面与底面垂直,求五面体的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取的中点,连接、,证明四边形为平行四边形,可得出 ‎,再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面;‎ ‎(2)取的中点,的中点,连接、、,将五面体分割为三棱柱和四棱锥,证明出底面和平面,然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积,相加可得出五面体的体积.‎ ‎【详解】(1)取的中点,连接、,‎ 侧面为正方形,且,为的中点,‎ 又为的中点,且,‎ 且,,所以,四边形为平行四边形,.‎ 平面,平面,平面;‎ ‎(2)取的中点,的中点,连接、、,‎ 四边形为正方形,.‎ 平面平面,平面平面,平面,‎ 底面,‎ 易知,,,‎ ‎,‎ 为中点,,,‎ 平面,平面,,‎ ‎,、平面,平面.‎ ‎,平面,且,‎ ‎,因此,.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行 证明,以及多面体体积的计算,在计算多面体体积时,一般有以下几种方法:(1)直接法;(2)等体积法;(3)割补法.在计算几何体体积时,要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中等题.‎ ‎21.已知.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的定义域和导数,对分和两种情况,分析在上的符号,可得出函数的单调区间;‎ ‎(2)由,转化为,构造函数,且有,问题转化为,对函数求导,分析函数单调性,结合不等式求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)函数的定义域为,.‎ ‎①当时,对任意的,,此时,函数的单调递减区间为;‎ ‎②当时,令,得;令,得.‎ 此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;‎ ‎(2),即,得,‎ 又,不等式两边同时除以,得,即.‎ 易知,由题意可知对任意的恒成立,.‎ ‎①若,则当时,,,此时,‎ 此时,函数在上单调递减,则,不合乎题意;‎ ‎②若,对于方程.‎ ‎(i)当时,即,恒成立,‎ 此时,函数在上单调递增,则有,合乎题意;‎ ‎(ii)当时,即时,‎ 设方程的两个不等实根分别为、,且,‎ 则,,所以,,,.‎ 当时,;当时,,,不合乎题意.‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,以及利用导数研究不等式恒成立问题,解题方法就是利用分类讨论法进行求解,解题时要找出参数分类讨论的依据,考查分类讨论数学思想的应用,属于难题.‎ ‎(二)选考题(共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分)‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)过直线上的一点向圆引切线,求切线长的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将圆的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开,并在等式两边同时乘以,再由可将圆的极坐标方程化为普通方程;‎ ‎(2)设直线上任意一点的坐标为,利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切线长为,转化为关于的二次函数求出切线长的最小值.‎ ‎【详解】(1),,‎ 即,等式两边同时乘以得,‎ 所以,圆的普通方程为,即;‎ ‎(2)设上任意一点,,半径,‎ 切线长为,‎ 当且仅当时,切线长取最小值.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,同时也考查了圆的切线长的计算,计算时可以代数法求解,也可以利用几何法结合勾股定理求解,考查运算求解能力,属于中等题.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知函数,.‎ ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式.恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入函数的解析式,得出所求不等式为,然后利用零点分段法去绝对值,分段解出不等式即可;‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式得出,由题意得出,即,在时,解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)时,不等式为.‎ 当时,不等式化为,,此时;‎ 当时,不等式化为恒成立,此时;‎ 当时,不等式化为,,此时.‎ 综上,不等式的解集为;‎ ‎(2),‎ ‎,,‎ 又,,解得或,‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式恒成立问题的求解,涉及绝对值三角不等式的应用,在求解恒成立问题时,需结合条件转化为函数的最值来处理,考查化归与转化数学思想的应用,属于中等题.‎ ‎ ‎