黑龙江省大庆铁人中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题 8页

铁人中学2017级高三学年上学期期中考试 数学试题 ‎试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。 ‎ ‎2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈N，y∈Z}，则A中元素的个数为(　)‎ ‎ A 9 B ‎8 C 7 D 6‎ ‎2．设,则“ ”是“ ”的(　　)‎ ‎ A充分不必要条件 B必要不充分条件 ‎ C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 ‎3．设z＝＋2i（i是虚数单位），则|z|＝(　)‎ ‎ A 0 B C 1 D ‎4．在平面直角坐标系中，向量a＝(1，2)，a－b＝(2，1)，c＝(x，y)，若(‎2a＋b)∥c，(a＋c)⊥b，则x+y＝(　)‎ ‎ A B C D ‎5．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 019＝(　)‎ ‎ A 3 B ‎4 C 1 D 0‎ ‎6．为了得到函数y＝2sin(2x－)的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　)‎ ‎ A 向右平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 ‎ C 向左平移个单位长度 D 向左平移个单位长度 ‎7．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　)‎ ‎ ‎ ‎8．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A B C D ‎9．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ ‎ A f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ ‎ C f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ ‎10．已知函数，若对都有成立，则实数的取值范围是(　)‎ ‎ A B C D ‎11．已知函数，如果对任意的n∈N*，定义，那么(　)‎ ‎ A 0 B ‎1 C 2 D 2020‎ ‎12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　)‎ ‎ A f(－25)0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是假命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．‎ 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）‎ ‎17、(10分)已知为等差数列，其前项和为，是首项为2且单调递增的等比数列，其前项和为，，，.‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)设，，求数列的前项和．‎ ‎18、(12分) 的内角的对边分别为，.‎ A B C D E F ‎(1)求角；‎ ‎(2)若，的面积.求.‎ ‎19、(12分)已知四面体ABCD中AB⊥面BCD，BC⊥DC，BE⊥AD垂足为E，‎ F为CD中点，AB=BD=2,CD=1‎ ‎ （1）求证：AC∥面BEF；‎ ‎ （2）求点B到面ACD的距离．‎ ‎ A组 B组 ‎ 8 5 6 7‎ ‎ 5 4 3 7 5 7‎ ‎ 6 5 0 8 5 5 8 9‎ ‎ 9 5 9 0 5 9‎ ‎20、某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成 右图茎叶图，其中A组学生每天学习数学时间不足1个 小时，B组学生每天学习数学时间达到一个小时。学校 规定90分及90分以上记为优秀，75分及75分以上记 为达标，75分以下记为未达标．‎ ‎（1）分别求出A、B两组学生的平均分、并估计 全班的数学平均分；‎ ‎（2）现在从成绩优秀的学生中任意抽取2人，求这两人恰好都来自B组的概率；‎ ‎（3）根据成绩得到如下列联表：‎ 达标 未达标 总计 A组 a b a+b B组 c d c+d 总计 a+c b+d n ‎①直接写出表中a、b、c、d的值；‎ ‎②判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关．‎ 参考公式与临界值表：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎21、(12分)已知抛物线E：的焦点F恰好是椭圆C:的右焦点 ‎ （1）求实数的值及抛物线E的准线方程；‎ ‎ （2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和的最小值．‎ ‎22、(12分)已知函数.‎ ‎ （1）当时，求f(x)的单调区间；‎ ‎ （2）若对[，e]，使成立，求实数的取值范围 (其中e是自然对数的底数)．‎ 铁人中学2017级高三学年上学期期中考试 数学试题参考答案 一、1D‎2A3C4C5B‎6A7A8B9B10B‎11C12D 二、13、－；14、6；15、2；16、②③‎ ‎17、【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q 由已知得b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，‎ 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0‎ 又因为，解得q＝2，所以bn＝2n 由b3＝a4－2a1，可得3d－＝8　‎ 由，可得＋5d＝16　‎ 解得＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n ‎（2）由（1）得，，‎ 所以 所以 ‎18、【解】（1）因为,，‎ 由已知和正弦定理得：‎ ‎，‎ 又因为，所以，‎ ‎，，‎ ‎（2）由面积公式得，‎ 由余弦定理得 ‎19、（1）【证明】：因为BE⊥AD，AB=BD所以E为AD中点 又因为F是CD中点，所以AC∥EF 而AC面BEF，EF面BEF，所以AC∥面BEF ‎（2）【解】由已知得BC=，AD=，AC=，‎ 所以三角形ACD为直角三角形其面积，三角形BCD的面积 设点B到面ACD的距离为 因为即 解得 所以点B到面ACD的距离为 另法：作BH⊥AC于H，‎ 因为AB⊥面BCD所以AB⊥DC，又因为BC⊥DC，所以DC⊥面ABC,所以DC⊥BH,而BH⊥AC 所以BH⊥面ACD 在直角三角形ABC中，ABBC=ACBH，解得BH=‎ ‎20、【解】（1）A组学生的平均分 B两组学生的平均分 估计全班的数学平均分 ‎（2）设这两人恰好都来自B组为事件E 由题意该概型符合古典概型，‎ 成绩优秀的共计5人，A组2人设为A1、A2，B组3人设为B1、B2、B3，从5人中抽取两人有如下情况：A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、 B1B2、B1B3、B2B3‎ 共计包含基本事件10个，事件E包含基本事件3个 两人恰好都来自B组的概率为P（E）=‎ ‎（3）①通过茎叶图知a=6、b=4、c=9、d=1；‎ ‎ ②由公式K2＝=‎ P(K2≥3.841)=0.05，而K2‎ 所以没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关。‎ ‎21、【解】（1）由已知椭圆C整理得 ‎ 所以焦点F的坐标为 ‎ 所以 ‎ 所以抛物线E的准线方程为：‎ ‎（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线AB的斜率为，方程为，则MN的斜率为，方程为 设A、B 由得 因为，所以，‎ 所以 同理得 所以 当且仅当即时取“等号”‎ 所以两条弦的弦长之和的最小值为 ‎22、【解】　(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，‎ f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝－＝，‎ f′(x)＞0⇒0