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- 2021-06-16 发布
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参考答案
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分)
1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7.B 8. D 9. D 10. A
二、填空题 (本大题共7小题,多空题 每小题6分,单空题 每小题4分,共36分)
11. 1 , 12. 3 13. ; 14.
15. ; 16. 17.
三、解答题 ( 本大题共5小题,共74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. (本小题满分14分)
解析:(I) , ,故, ………4分
,, ………6分
(II)与的夹角为,,……8分
,, ,,………13分
即. 故的值为. ……14分
19. (本小题满分15分)
解析:(I), ………2分
,由函数是偶函数得,…4分
故 ,的值为和. …7分
(II), ,
为的内角,. ………9分
由余弦定理 ,得。由,
知。…13分
. 于是的面积的最大值为.…15分
20. (本小题满分15分)
解析:(I) , ,在原点处的切线方程为…3分
(II)由已知,, ……5分, 可猜想 ………9分
下面用数学归纳法证明.
①当时,,结论成立.
②假设当时结论成立,
即,
则当时,
即结论成立.
由①②可知,结论对恒成立. ………15分
21. (本小题满分15分)
解析:(I) 由题意得a=1时,令 ,当时, ,
解得;
当时, ,解得. 故函数的零点为和1…4分
(II) 其中, 由于
于是最大值在中取. ………6分
当,即时,在上单调递减,
故;
当,即时,在上单调递增,上单调递减,故;
当,即时,在上单调递减,上单调递增,
故;因为,故。
综上, ………11分
(III)时 ,,故问题转化为在给定区间内恒成立.
因,分两种情况讨论:
当时,是方程的较小根,
即时,;
当时,是方程的较大根,
即时,;
综上 ………15分
22. (本小题满分15分)
解析(I)由题意知,的定义域为,
② 当时,恒成立,在
上单调递增。
②当 时,令 ,则 ,在上单调递增,在上单调递减。………4分
(II) 由(I)知当时显然不符合题意。
当,即时,在上单调递减,又,所以在上恒成立,无零点,不符合题意.
当,即时,在上单调递增,在上单调递减,所以,又,令,
设 ,则, ()在上递减
故在上递减,因此,
即 故在上无零点,在上有唯一零点.
综上,满足条件的实数的取值范围是……10分
(III)证明:由(II)得,且,由
要证,即证,即证
令,则,
在上递增,,
故,由此……15分