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- 2021-06-16 发布
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小题专题练(二) 三角函数与平面向量
1.若角α的终边过点P(-1,m),且|sin α|=,则点P位于( )
A.第一象限或第二象限
B.第三象限或第四象限
C.第二象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
2.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
3.设正方形ABCD的边长为1,则|-+|等于( )
A.0 B.
C.2 D.2
4.已知平面向量a,b的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于( )
A. B.2
C.3 D.4
5.
如图,在△ABC中,∠C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足.若DE=2,则cos A 等于( )
A. B.
C. D.
6.若函数f(x)=sin(3x+φ)(|φ|<π)满足:f(a+x)=f(a-x),a为常数,a∈R,则f的值为( )
A. B.±1
C.0 D.
7.
若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点与最低点,且·=0,则A·ω等于( )
A. B.
C.π D.π
8.将函数y=2sinsin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数y=4sin,x∈的图象与直线y=m有三个交点,其交点的横坐标分别为x1,x2,x3(x10,故φ的最小值为,选A.
9.解析:选C.由函数y=4sin的图象可得,当x=和x= 时,函数分别取得最大值和最小值,
由正弦函数图象的对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=.故x1+2x2+x3=+=,故选C.
10.解析:选C.因为c2=(a-b)2+6,所以c2=a2+b2-2ab+6.①
因为C=,所以c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.②
由①②得-ab+6=0,即ab=6.
所以S△ABC=absin C=×6×=.
11.解析:因为α为锐角,且cos=,
所以sin=.
所以sin
=sin
=sincos-
cossin
=sincos-
=××-×
=-=.
答案:
12.
解析:方程g(x)=0同解于f(x)=m,在平面直角坐标系中画出函数f(x)=2sin在上的图象,如图所示,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解.
答案:[,2)
13.解析:因为〈a,b〉=60°,a=(2,0),|b|=1,
所以a·b=|a||b|·cos 60°=2×1×=1,
又|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=12,
所以|a+2b|==2.
答案:1 2
14.解析:由=1 008tan C得+=×,即+=×,=,根据正、余弦定理得=×,即=2 016,=2 017,所以m=2 017.
答案:2 017
15.解析:因为S=acsin B=(a2+c2-b2)
所以sin B==cos B即tan B=,
因为∠C为钝角,所以sin B=,cos B=.
由正弦定理知===cos B+=+.
因为∠C为钝角,
所以A+B<,即A<-B.
所以cot A>cot=tan B=.
所以>+×=,
即的取值范围是.
答案:
16.解析:以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
所以λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6),
所以当时,可取λ1=λ3=1,λ5=λ6=1,λ2=-1,λ4=1,此时|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6| 取得最小值0;取λ1=1,λ3=-1,λ5=λ6=1,λ2=1,λ4=-1,则|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|取得最大值=2.
答案:0 2
17.解析:因为A,B,C均为圆x2+y2=2上的点,
故||=||=||=,
因为+=,
所以(+)2=2,
即2+2·+2=2,
即4+4cos ∠AOB=2,
故∠AOB=120°.
则圆心O到直线AB的距离d=·cos 60°==,即|a|=1,即a=±1.
答案:±1