高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解+抛物线习题及详解 30页

高中数学高考总复习简单的 三角恒等变换习题及详解+抛物线习题及详解 高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数 f(x)＝cos2(x＋π 4)－sin2(x＋π 4)，x∈R，则函数 f(x) 是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 [答案] A [解析] f(x)＝cos(2x＋π 2)＝－sin2x 为奇函数，周期 T＝2π 2 ＝π. (理)(2010·辽宁锦州)函数 y＝sin2x＋sinxcosx 的最小正周期 T＝( ) A．2π B．π C.π 2 D.π 3 [答案] B [解析] y＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x 2 ＋1 2sin2x ＝1 2 ＋ 2 2 sin 2x－π 4 ，∴最小正周期 T＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量 a＝(cosα， 2 2 )的模为 3 2 ，则 cos2α＝( ) A．－1 4 B．－1 2 C.1 2 D. 3 2 [答案] B [解析] ∵|a|2＝cos2α＋ 2 2 2＝cos2α＋1 2 ＝3 4 ， ∴cos2α＝1 4 ，∴cos2α＝2cos2α－1＝－1 2. 3．已知 tanα 2 ＝3，则 cosα＝( ) A.4 5 B．－4 5 C. 4 15 D．－3 5 [答案] B [解析] cosα＝cos2α 2 －sin2α 2 ＝ cos2α 2 －sin2α 2 cos2α 2 ＋sin2α 2 ＝ 1－tan2α 2 1＋tan2α 2 ＝1－9 1＋9 ＝－4 5 ，故选 B. 4．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2C 2 ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B [解析] ∵sinAsinB＝cos2C 2 ， ∴1 2[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝1 2(1＋cosC)， ∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC， ∴cos(A－B)＝1， ∵－πcosx， ∴sinx－cosx＝ 17 3 ，故选 D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设 x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则 x，y 的大小关系是( ) A．x≤y B．x＜y C．x≥y D．x＞y [答案] D [解析] ∵π>A＋B＞π 2 ，∴cos(A＋B)＜0，即 cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选 D. (理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，如果 cos(2B＋C) ＋2sinAsinB<0，那么 a、b、c 满足的关系是( ) A．2ab>c2 B．a2＋b2a2 D．b2＋c20， ∴0π 2 ， 由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c2 2ab <0， ∴a2＋b2－c2<0，故应选 B. 8．(2010·吉林省调研)已知 a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记 f(x)＝a·b，要得到函数 y＝sin4x－cos4x 的图象，只需将函数 y＝f(x)的图象( ) A．向左平移π 2 个单位长度 B．向左平移π 4 个单位长度 C．向右平移π 2 个单位长度 D．向右平移π 4 个单位长度 [答案] D [解析] y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x， 将 f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移π 4 个单位得，sin2 x－π 4 ＝sin 2x－π 2 ＝－ sin π 2 －2x ＝－cos2x，故选 D. 9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量 a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈ π 4 ，π ， 若 a·b＝2 5 ， 则 tan α＋π 4 的值为( ) A.1 3 B.2 7 C.1 7 D.2 3 [答案] C [解析] a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝2 5 ，∴sinα＝3 5 ， ∵π 4<α<π，∴cosα＝－4 5 ，∴tanα＝－3 4 ， ∴tan α＋π 4 ＝1＋tanα 1－tanα ＝1 7. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π 2 ≤α≤7π 2 ，则 1＋sinα＋ 1－sinα等于( ) A．－2cosα 2 B．2cosα 2 C．－2sinα 2 D．2sinα 2 [答案] C [解析] ∵5π 2 ≤α≤7π 2 ，∴5π 4 ≤α 2 ≤7π 4 . ∴ 1＋sinα＋ 1－sinα ＝ 1＋2sinα 2cosα 2 ＋ 1－2sinα 2cosα 2 ＝ sinα 2 ＋cosα 2 2＋ sinα 2 －cosα 2 2 ＝－(sinα 2 ＋cosα 2)－(sinα 2 －cosα 2) ＝－2sinα 2. 二、填空题 11．(2010·广东罗湖区调研)若 sin π 2 ＋θ ＝3 5 ，则 cos2θ＝________. [答案] － 7 25 [解析] ∵sin π 2 ＋θ ＝3 5 ，∴cosθ＝3 5 ， ∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－ 7 25. 12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝ tanx－tan3x 1＋2tan2x＋tan4x 的最大值与最小值的积是________． [答案] － 1 16 [解析] y＝ tanx－tan3x 1＋2tan2x＋tan4x ＝tanx1－tan2x 1＋tan2x2 ＝ tanx 1＋tan2x ·1－tan2x 1＋tan2x ＝ sinxcosx cos2x＋sin2x ＋cos2x－sin2x cos2x＋sin2x ＝1 2sin2x·cos2x＝1 4sin4x， 所以最大与最小值的积为－ 1 16. 13．(2010·浙江杭州质检)函数 y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________． [答案] 1 [解析] y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋ (sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为 cos10°－sin40°2＋sin10°＋cos40°2 ＝ 2＋2sin10°cos40°－cos10°sin40° ＝ 2＋2sin－30°＝1. 14．(文)如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上，CD⊥AB 于点 D，且 AD＝3DB， 设∠COD＝θ，则 tan2θ 2 ＝________. [答案] 1 3 [解析] 设 OC＝r，∵AD＝3DB，且 AD＋DB＝2r，∴AD＝3r 2 ，∴OD＝r 2 ，∴CD＝ 3 2 r， ∴tanθ＝CD OD ＝ 3， ∵tanθ＝ 2tanθ 2 1－tan2θ 2 ，∴tanθ 2 ＝ 3 3 (负值舍去)， ∴tan2θ 2 ＝1 3. (理) 3tan12°－3 4cos212°－2sin12° ＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3 4cos212°－2sin12° ＝ 3sin12°－ 3cos12° 2cos24°sin12°cos12° ＝2 3sin12°－60° 1 2sin48° ＝－4 3. 三、解答题 15．(文)(2010·北京理)已知函数 f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx. (1)求 f(π 3)的值； (2)求 f(x)的最大值和最小值． [解析] (1)f(π 3)＝2cos2π 3 ＋sin2π 3 －4cosπ 3 ＝－1＋3 4 －2＝－9 4. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx ＝3cos2x－4cosx－1 ＝3(cosx－2 3)2－7 3 ，x∈R 因为 cosx∈[－1,1]，所以当 cosx＝－1 时，f(x)取最大值 6；当 cosx＝2 3 时，f(x)取最小值 －7 3. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知 a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设 f(x) ＝a·b. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)当 x∈ 0，π 2 时，求函数 f(x)的最大值及最小值． [解析] (1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx ＝cos2x＋sin2x＝ 2 2 2 cos2x＋ 2 2 sin2x ＝ 2sin 2x＋π 4 . ∴f(x)的最小正周期 T＝π. (2)∵0≤x≤π 2 ，∴π 4 ≤2x＋π 4 ≤5π 4 ， ∴当 2x＋π 4 ＝π 2 ，即 x＝π 8 时，f(x)有最大值 2；当 2x＋π 4 ＝5π 4 ，即 x＝π 2 时，f(x)有最小值 －1. 16．(文)设函数 f(x)＝cos 2x＋π 3 ＋sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角，若 cosB＝1 3 ，f(C 2)＝－1 4 ，且 C 为锐角，求 sinA 的 值． [解析] (1)f(x)＝cos 2x＋π 3 ＋sin2x＝cos2xcosπ 3 －sin2xsinπ 3 ＋1－cos2x 2 ＝1 2 － 3 2 sin2x， 所以函数 f(x)的最大值为1＋ 3 2 ，最小正周期为π. (2)f(C 2)＝1 2 － 3 2 sinC＝－1 4 ，所以 sinC＝ 3 2 ， 因为 C 为锐角，所以 C＝π 3 ， 在△ABC 中，cosB＝1 3 ，所以 sinB＝2 2 3 ， 所以 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2 2 3 ×1 2 ＋1 3 × 3 2 ＝2 2＋ 3 6 . (理)已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角，OM→ ＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→ ＝(sinC，sinB －cosB)，OM→ ·ON→ ＝－1 5. (1)求 tan2A 的值； (2)求 2cos2A 2 －3sinA－1 2sin A＋π 4 的值． [解析] (1)∵OM→ ·ON→ ＝(sinB＋cosB)sinC＋ cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－1 5 ， ∴sinA＋cosA＝－1 5 ① 两边平方并整理得：2sinAcosA＝－24 25 ， ∵－24 25<0，∴A∈ π 2 ，π ， ∴sinA－cosA＝ 1－2sinAcosA＝7 5 ② 联立①②得：sinA＝3 5 ，cosA＝－4 5 ，∴tanA＝－3 4 ， ∴tan2A＝ 2tanA 1－tan2A ＝ －3 2 1－ 9 16 ＝－24 7 . (2)∵tanA＝－3 4 ， ∴ 2cos2A 2 －3sinA－1 2sin A＋π 4 ＝cosA－3sinA cosA＋sinA ＝1－3tanA 1＋tanA ＝ 1－3× －3 4 1＋ －3 4 ＝13. 17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数 f(x)＝sin2ax－ 3sinaxcosax(a>0)的图象与直线 y＝m 相切，相邻切点之间的距离为π 2. (1)求 m 和 a 的值； (2)若点 A(x0，y0)是 y＝f(x)图象的对称中心，且 x0∈ 0，π 2 ，求点 A 的坐标． [解析] (1)f(x)＝sin2ax－ 3sinaxcosax ＝1－cos2ax 2 － 3 2 sin2ax＝－sin 2ax＋π 6 ＋1 2 ， 由题意知，m 为 f(x)的最大值或最小值， 所以 m＝－1 2 或 m＝3 2 ， 由题设知，函数 f(x)的周期为π 2 ，∴a＝2， 所以 m＝－1 2 或 m＝3 2 ，a＝2. (2)∵f(x)＝－sin 4x＋π 6 ＋1 2 ， ∴令 sin 4x＋π 6 ＝0，得 4x＋π 6 ＝kπ(k∈Z)， ∴x＝kπ 4 － π 24(k∈Z)， 由 0≤kπ 4 － π 24 ≤π 2 (k∈Z)，得 k＝1 或 k＝2， 因此点 A 的坐标为 5π 24 ，1 2 或 11π 24 ，1 2 . (理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量 a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记 f(x)＝a·b，f ′(x) 是 f(x)的导函数． (1)求函数 F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)的最大值和最小正周期； (2)若 f(x)＝2f ′(x)，求 1＋2sin2x cos2x－sinxcosx 的值． [解析] (1)f(x)＝sinx＋cosx， ∴f ′(x)＝cosx－sinx， ∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x) ＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx ＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋ 2sin 2x＋π 4 ， ∴当 2x＋π 4 ＝2kπ＋π 2 ，即 x＝kπ＋π 8(k∈Z)时，F(x)max＝1＋ 2. 最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. (2)∵f(x)＝2f ′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx， ∴cosx＝3sinx，∴tanx＝1 3 ， ∴ 1＋2sin2x cos2x－sinxcosx ＝ 3sin2x＋cos2x cos2x－sinxcosx ＝3tan2x＋1 1－tanx ＝2. 高中数学高考总复习简单的线性规划习题(附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线 x－2y＋4＝0 的上 方，则 t 的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(0,1) [答案] B [解析] ∵点 O(0,0)使 x－2y＋4>0 成立，且点 O 在直线下方，故点(－2，t)在直线 x－ 2y＋4＝0 的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1. [点评] 可用 B 值判断法来求解，令 d＝B(Ax0＋By0＋C)，则 d>0⇔点 P(x0，y0)在直线 Ax＋By＋C＝0 的上方；d<0⇔点 P 在直线下方． 由题意－2(－2－2t＋4)>0，∴t>1. (理)(2010·惠州市模拟)若 2m＋2n<4，则点(m，n)必在( ) A．直线 x＋y－2＝0 的左下方 B．直线 x＋y－2＝0 的右上方 C．直线 x＋2y－2＝0 的右上方 D．直线 x＋2y－2＝0 的左下方 [答案] A [解析] ∵2m＋2n≥2 2m＋n，由条件 2m＋2n<4 知， 2 2m＋n<4，∴m＋n<2，即 m＋n－2<0，故选 A. 2．(文)(09·安徽)不等式组 x≥0 x＋3y≥4 3x＋y≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.3 2 B.2 3 C.4 3 D.3 4 [答案] C [解析] 平面区域如图．解 x＋3y＝4 3x＋y＝4 得 A(1,1)，易得 B(0,4)，C 0，4 3 ， |BC|＝4－4 3 ＝8 3. ∴S△ABC＝1 2 ×8 3 ×1＝4 3. (理)(2010·重庆市南开中学)不等式组 x＋y≥2 2x－y≤4 x－y≥0 所围成的平面区域的面积为( ) A．3 2 B．6 2 C．6 D．3 [答案] D [解析] 不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC，易求 B(4,4)，A(1,1)，C(2,0) ∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC ＝1 2 ×2×4－1 2 ×2×1＝3. 3．(文)(2010·西安中学)设变量 x，y 满足约束条件 y≤x x＋y≥2 y≥3x－6 ，则目标函数 z＝2x＋y 的最小值为( ) A．2 B．3 C．5 D．7 [答案] B [解析] 在坐标系中画出约束条件 y≤x x＋y≥2 y≥3x－6 所表示的可行域为图中△ABC，其中 A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数 z＝2x＋y 在点 B(1,1)处取得最小值，最小值为 3. (理)(2010·哈师大附中模考)已知 A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点 P(x，y)在△ABC 内部及 边界运动，则 z＝x－y 的最大值及最小值分别是( ) A．－1，－3 B．1，－3 C．3，－1 D．3,1 [答案] B [解析] 当直线 y＝x－z 经过点 C(1,0)时，zmax＝1，当直线 y＝x－z 经过点 B(－1,2)时，zmin＝－3. 4．(2010·四川广元市质检)在直角坐标系 xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分 别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A．95 B．91 C．88 D．75 [答案] B [解析] 由 2x＋3y＝30 知，y＝0 时，0≤x≤15，有 16 个； y＝1 时，0≤x≤13；y＝2 时，0≤x≤12； y＝3 时，0≤x≤10；y＝4 时，0≤x≤9； y＝5 时，0≤x≤7；y＝6 时，0≤x≤6； y＝7 时，0≤x≤4；y＝8 时，0≤x≤3； y＝9 时，0≤x≤1，y＝10 时，x＝0. ∴共有 16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91 个． 5．(2010·山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原 料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获 得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元．该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超 过 13 吨，B 原料不超过 18 吨．那么该企业可获得最大利润是( ) A．12 万元 B．20 万元 C．25 万元 D．27 万元 [答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨，y 吨， 由题意得 3x＋y≤13 2x＋3y≤18 x≥0 y≥0 ， 获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图， 由 3x＋y＝13 2x＋3y＝18 ，解得 A(3,4)． ∵－3<－5 3<－2 3 ，∴当直线 5x＋3y＝ω经过 A 点时，ωmax＝27. 6．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数 x，y 满足 x－y＋6≥0 x＋y≥0 x≤3 ，若 z＝ax＋y 的最大 值为 3a＋9，最小值为 3a－3，则实数 a 的取值范围为( ) A．a≥1 B．a≤－1 C．－1≤a≤1 D．a≥1 或 a≤－1 [答案] C [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则 z 在点 A 处取得最大值，在点 C 处取得最 小值．又 kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1. (理)(2010·寿光现代中学)已知变量 x，y 满足约束条件 x＋4y－13≥0 2y－x＋1≥0 x＋y－4≤0 ，且有无穷多 个点(x，y)使目标函数 z＝x＋my 取得最小值，则 m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．4 [答案] C [解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由 A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形 及其内部部分．当 z＝x＋my 与 x＋y－4＝0 重合时满足题意，故 m＝1. 7．(2010·广东五校)当点 M(x，y)在如图所示的三角形 ABC 区域内(含边界)运动时，目 标函数 z＝kx＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数 k 的取值范围是( ) A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1) [答案] B [解析] 由目标函数 z＝kx＋y 得 y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距 z 最大的一个 最优解为(1,2)，则 0≤－k≤kAC≤1 或 0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]． 8．(文)(2010·厦门一中)已知 x、y 满足不等式组 y≥x x＋y≤2 x≥a ，且 z＝2x＋y 的最大值是 最小值的 3 倍，则 a＝( ) A．0 B.1 3 C.2 3 D．1 [答案] B [解析] 依题意可知 a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y 在 A 点和 B 点处分别取得最小 值和最大值． 由 x＝a y＝x 得 A(a，a)， 由 x＋y＝2 x＝y 得 B(1,1)， ∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝1 3. (理)已知实数 x，y 满足 y≥0 y≤2x－1 x＋y≤m ，如果目标函数 z＝x－y 的最小值为－1，则实数 m 等于( ) A．7 B．5 C．4 D．3 [答案] B [解析] 画出 x，y 满足条件的可行域如图所示，可知在直线 y＝2x－1 与直线 x＋y＝m 的交点 A 处，目标函数 z＝x－y 取得最小值． 由 y＝2x－1 x＋y＝m ， 解得 x＝m＋1 3 y＝2m－1 3 ， 即点 A 的坐标为 m＋1 3 ，2m－1 3 . 将点 A 的坐标代入 x－y＝－1，得m＋1 3 －2m－1 3 ＝－1，即 m＝5.故选 B. 二、填空题 9．设变量 x，y 满足约束条件 x－y≥0 x＋y≤1 x＋2y≥1 ，则目标函数 z＝2x＋y 的最大值为________． [答案] 2 [解析] 可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线 2x＋y＝z 经过可行域内的点 A(1,0) 时，z 取最大值，zmax＝2. 10．(2010·四川广元市质检)毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里 48 名同学去水 上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么 他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元. 船型 每只船限载人数 租金(元/只) 大船 5 12 小船 3 8 [答案] 116 [解析] 设租大船 x 只，小船 y 只，则 5x＋3y≥48，租金 z ＝12x＋8y，作出可行域如图， ∵－5 3<－3 2 ，∴当直线 z＝12x＋8y 经过点(9.6,0)时，z 取最 小值，但 x，y∈N， ∴当 x＝9，y＝1 时，zmin＝116. 11．(文)(2010·淮南一中)已知 M、N 是不等式组 x≥1，y≥1 x－y＋1≥0 x＋y≤6 所表示的平面区域内的 不同两点，则|MN|的最大值是________． [答案] 17 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点 D(5,1)与点 B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为 17. (理)如果直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋kx＋my－4＝0 相交于 M、N 两点，且 M、N 关于 直线 x＋y＝0 对称，点 P(a，b)为平面区域 kx－y＋1≥0 kx－my≤0 y≥0 内任意一点，则b＋1 a－1 的取值范围 是________． [答案] －1，－1 2 [解析] ∵直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋kx＋my－4＝0 相交于 M、N 两点，且 M、N 关 于 x＋y＝0 对称，∴y＝kx＋1 与 x＋y＝0 垂直，∴k＝1，而圆心在直线 x＋y＝0 上，∴－k 2 ＋ －m 2 ＝0，∴m＝－1，∴作出可行域如图所示，而b＋1 a－1 表示点 P(a，b)与点(1，－1)连线的 斜率， ∴kmax＝ 0＋1 －1－1 ＝－1 2 ，kmin＝－1， ∴所求取值范围为 －1，－1 2 . 12．若由不等式组 x≤my＋n x－ 3y≥0 y≥0 (n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆 的圆心在 x 轴上，则实数 m＝________. [答案] － 3 3 [解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在 x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径， ∴直线 x＝my＋n 与 x－ 3y＝0 垂直， ∴1 m × 1 3 ＝－1，即 m＝－ 3 3 . 三、解答题 13．(2010·辽宁锦州)若 x、y 满足条件 2x＋y－12≤0 3x－2y＋10≥0 x－4y＋10≤0 ，求 z＝x＋2y 的最小值，并 求出相应的 x、y 值． [解析] 根据条件作出可行域如图所示， 解方程组 x＋4y－10＝0 3x－2y＋10＝0 ，得 A(－2,2)． 再作直线 l：x＋2y＝0，把直线 l 向上平移至过点 A(－2，2)时，z 取得最小值 2，此时 x ＝－2，y＝2. 14．(2010·茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余 是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多 0.25，甲产品为二等品的 概率比乙产品为一等品的概率少 0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲，P 乙； (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人 32 名，可用资 金 55 万元．设 x，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求 x，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？ 工人(名) 资金(万元) 甲 4 20 乙 8 5 [解析] (1)依题意得 P 甲－P 乙＝0.25 1－P 甲＝P 乙－0.05 ， 解得 P 甲＝0.65 P 乙＝0.4 ， 故甲产品为一等品的概率 P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率 P 乙＝0.4. (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为 4x＋8y≤32 20x＋5y≤55 x≥0 y≥0 ，且 z＝0.65x＋0.4y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行 域． 作直线 b：0.65x＋0.4y＝0 即 13x＋8y＝0，把直线 l 向上方平 移到 l1 的位置时，直线经过可行域内的点 M，且 l1 与原点的距离 最大，此时 z 取最大值． 解方程组 x＋2y＝8 4x＋y＝11 ，得 x＝2，y＝3. 故 M 的坐标为(2,3)，所以 z 的最大值为 zmax＝0.65×2＋0.4×3 ＝2.5 高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案) 一、选择题 1．(2010·湖北黄冈)若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆x2 6 ＋y2 2 ＝1 的右焦点重合，则 p 的值 为( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 [答案] D [解析] 椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝ a2－b2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p 2 ＝2，∴p＝4. 2．已知点 M 是抛物线 y2＝2px(p>0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作 圆，则这个圆与 y 轴的关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情形都有可能 [答案] B [解析] 如图，由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE，交直线 l 于点 E，交 y 轴于点 B； 由点 M 作准线 l 的垂线 MD，垂足为 D，交 y 轴于点 C， 则 MD＝MF，ON＝OF， ∴AB＝OF＋CM 2 ＝ON＋CM 2 ＝DM 2 ＝MF 2 ， ∴这个圆与 y 轴相切． 3．(2010·山东文)已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [答案] B [解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点(x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 )，∴y1＋y2 2 ＝2，∵A、 B 在抛物线 y2＝2px 上， ∴ y12＝2px1 ① y22＝2px2 ② ①－②得 y12－y22＝2p(x1－x2)， ∴kAB＝y1－y2 x1－x2 ＝ 2p y1＋y2 ＝p 2 ，∵kAB＝1，∴，p＝2 ∴抛物线方程为 y2＝4x，∴准线方程为：x＝－1，故选 B. 4．双曲线x2 9 －y2 4 ＝1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点 F 的距离等于 2，抛物线 y2 ＝2px(p>0)过点 A，则该抛物线的方程为( ) A．y2＝9x B．y2＝4x C．y2＝4 13 13 x D．y2＝2 13 13 x [答案] C [解析] ∵双曲线x2 9 －y2 4 ＝1 的渐近线方程为 y＝±2 3x，F 点坐标为( 13，0)，设 A 点坐标 为(x，y)，则 y＝±2 3x，由|AF|＝2⇒ x－ 132＋ 2 3x 2＝2⇒x＝ 9 13 ，y＝± 6 13 ，代入 y2＝2px 得 p＝2 13 13 ，所以抛物线方程为 y2＝4 13 13 x，所以选 C. 5．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( ) A. 17 2 B．3 C. 5 D.9 2 [答案] A [解析] 记抛物线 y2＝2x 的焦点为 F 1 2 ，0 ，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离 之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值， 结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于 1 2 2＋22＝ 17 2 ，选 A. 6．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线， 垂足为 M，若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3 1，则点 A 的坐标为 ( ) A．(2,2 2) B．(2，－2 2) C．(2，± 2) D．(2，±2 2) [答案] D [解析] 如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF 与△AOF(其 中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1， ∴S△AMF S△AOF ＝ 1 2 ×|AF|×|AM|×sin∠MAF 1 2 ×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF ＝3， ∴|AM|＝3，设 A y02 4 ，y0 ，∴y02 4 ＋1＝3， 解得 y0＝±2 2，∴y02 4 ＝2， ∴点 A 的坐标是(2，±2 2)，故选 D. 7．(2010·河北许昌调研)过点 P(－3,1)且方向向量为 a＝(2，－5)的光线经直线 y＝－2 反射后通过抛物线 y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为( ) A．y2＝－2x B．y2＝－3 2x C．y2＝4x D．y2＝－4x [答案] D [解析] 设过 P(－3,1)，方向向量为 a＝(2，－5)的直线上任一点 Q(x，y)，则PQ→ ∥a， ∴x＋3 2 ＝y－1 －5 ，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线 y＝－2 对称的直线方程为 5x＋2(－4－y) ＋13＝0，即 5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线 y2＝mx 的焦点 F m 4 ，0 ，∴m＝－4，故选 D. 8．已知 mn≠0，则方程是 mx2＋ny2＝1 与 mx＋ny2＝0 在同一坐标系内的图形可能是 ( ) [答案] A [解析] 若 mn>0，则 mx2＋ny2＝1 应为椭圆，y2＝－m nx 应开口向左，故排除 C、D；∴ mn<0，此时抛物线 y2＝－m nx 应开口向右，排除 B，选 A. 9．(2010·山东聊城模考)已知 A、B 为抛物线 C：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线 C 的焦点，若FA→＝－4FB→，则直线 AB 的斜率为( ) A．±2 3 B．±3 2 C．±3 4 D．±4 3 [答案] D [解析] ∵FA→＝－4FB→，∴|FA→|＝4|FB→|，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF| －|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝4t， ∴tan∠ABM＝4 3 ，由对称性可知，这样的直线 AB 有两条，其斜率为±4 3. 10．已知抛物线 C 的方程为 x2＝1 2y，过点 A(0，－4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有 公共点，则实数 t 的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B. －∞，－ 2 2 ∪ 2 2 ，＋∞ C．(－∞，－2 2)∪(2 2，＋∞) D．(－∞，－2 2)∪( 2，＋∞) [答案] B [解析] 由题意知方程组 x2＝1 2y ① x t ＋ y －4 ＝1 ② 无实数解 由②得 y＝4x t －4，代入①整理得， 2x2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16 t2 －32<0， ∴t> 2 2 或 t<－ 2 2 ，故选 B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点 A(0，－4)与抛物线 x2＝1 2y 相切的直线与抛物线 切点为 M(x0，y0)， 则切线方程为 y－y0＝4x0(x－x0)， ∵过 A 点，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)， ∴x0＝± 2，∴y0＝4， ∴切线方程为 y－4＝±4 2x－8， 令 y＝0 得 x＝± 2 2 ，即 t＝± 2 2 ， 由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－ 2 2 或 t> 2 2 . 二、填空题 11．已知点 A(2,0)、B(4,0)，动点 P 在抛物线 y2＝－4x 上运动，则AP→·BP→取得最小值时 的点 P 的坐标是______． [答案] (0,0) [ 解 析 ] 设 P －y2 4 ，y ， 则 AP→ ＝ －y2 4 －2，y ， BP→ ＝ －y2 4 －4，y ， AP→ · BP→ ＝ －y2 4 －2 －y2 4 －4 ＋y2＝y4 16 ＋5 2y2＋8≥8，当且仅当 y＝0 时取等号，此时点 P 的坐标为(0,0)． 12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直 线 l，交抛物线于 A、B 两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________． [答案] y2＝3x [解析] 设抛物线准线为 l，作 AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为 A1、B1、Q，作 BM ⊥AA1 垂足为 M，BM 交 FQ 于 N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝t 2 ，|MA| ＝t＋3 2 ，∵|AM|＝|QN|，∴3－t＋3 2 ＝p－t 2 ，∴p＝3 2 ，∴抛物线方程为 y2＝3x. (理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准 线于点 A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________． [答案] y2＝3x [解析] 解法 1：过 A、B 作准线垂线，垂足分别为 A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3， ∴p＝1 2|CF|＝3 2 ，∴抛物线方程为 y2＝3x. 解法 2：由抛物线定义，|BF|等于 B 到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF| ＝3， 从而 A p 2 ＋3 2 ，3 3 2 在抛物线上，代入抛物线方程 y2＝2px，解得 p＝3 2. 点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得 A 点的横坐标为|OF|＋1 2|AF|＝p 2 ＋3 2 或 3－p 2 ，∴p 2 ＋3 2 ＝3－p 2 ，∴p＝3 2. 13．已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点．设 |FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________． [答案] 3＋2 2 [解析] 分别由 A 和 B 向准线作垂线，垂足分别为 A1，B1，则由条件知， |AA1|＋|BB1|＝|AB|， |AA1|－|BB1|＝ 2 2 |AB| ，解得 |AA1|＝2＋ 2 4 |AB| |BB1|＝2－ 2 4 |AB| ， ∴|AA1| |BB1| ＝3＋2 2，即|FA| |FB| ＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线 y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p＝________. [答案] 2 [解析] 设弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则 y12＝2px1 y22＝2px2 ，两式相减得，y1－y2 x1－x2 ＝ 2p y1＋y2 ＝2， ∵y1＋y2＝2，∴p＝2. (理)(2010·衡水市模考)设抛物线 x2＝12y 的焦点为 F，经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相 交于 A、B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中点，则|AF|＋|BF|＝________. [答案] 8 [解析] 过 A、B、P 作准线的垂线 AA1、BB1 与 PP1，垂足 A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝ |AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1－(－3)]＝8. 三、解答题 15．(文)若椭圆 C1：x2 4 ＋y2 b2 ＝1(00)的焦 点在椭圆 C1 的顶点上． (1)求抛物线 C2 的方程； (2)若过 M(－1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点，又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2，当 l1⊥l2 时，求直线 l 的方程． [解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a＝2，半焦距 c＝ 4－b2， 由离心率 e＝c a ＝ 4－b2 2 ＝ 3 2 得，b2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p＝2，抛物线的方程为 x2＝4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，E(x1，y1)， F(x2，y2)， ∵y＝1 4x2，∴y′＝1 2x， ∴切线 l1，l2 的斜率分别为 1 2x1，1 2x2， 当 l1⊥l2 时，1 2x1·1 2x2＝－1，即 x1·x2＝－4， 由 y＝kx＋1 x2＝4y 得：x2－4kx－4k＝0， 由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得 k<－1 或 k>0. 又 x1·x2＝－4k＝－4，得 k＝1. ∴直线 l 的方程为 x－y＋1＝0. (理)在△ABC 中，CA→⊥CB→，OA→ ＝(0，－2)，点 M 在 y 轴上且AM→ ＝1 2(AB→＋CD→ )，点 C 在 x 轴上移动． (1)求 B 点的轨迹 E 的方程； (2)过点 F 0，－1 4 的直线 l 交轨迹 E 于 H、E 两点，(H 在 F、G 之间)，若FH→ ＝1 2HG→ ， 求直线 l 的方程． [解析] (1)设 B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0， ∵CA→⊥CB→，∴∠ACB＝π 2 ， ∴2 x0 · y0 －x0 ＝－1，于是 x02＝2y0① M 在 y 轴上且AM→ ＝1 2(AB→＋AC→)， 所以 M 是 BC 的中点，可得 x0＋x 2 ＝0 y＋0 2 ＝y0 ，∴ x0＝－x ② y0＝y 2 ③ 把②③代入①，得 y＝x2(x≠0)， 所以，点 B 的轨迹 E 的方程为 y＝x2(x≠0)． (2)点 F 0，－1 4 ，设满足条件的直线 l 方程为： y＝kx－1 4 ，H(x1，y1)，G(x2，y2)， 由 y＝kx－1 4 y＝x2 消去 y 得，x2－kx＋1 4 ＝0. Δ＝k2－1>0⇒k2>1， ∵FH→ ＝1 2HG→ ，即 x1，y1＋1 4 ＝1 2(x2－x1，y2－y1)， ∴x1＝1 2x2－1 2x1⇒3x1＝x2. ∵x1＋x2＝k，x1x2＝1 4 ，∴k＝±2 3 3 ， 故满足条件的直线有两条，方程为：8x＋4 3y＋ 3＝0 和 8x－4 3y－ 3＝0. 16．(文)已知 P(x，y)为平面上的动点且 x≥0，若 P 到 y 轴的距离比到点(1,0)的距离小 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A、B 两点，问是否存在这样的实数 m，使得以线 段 AB 为直径的圆恒过原点． [解析] (1)由题意得： x－12＋y2－x＝1，化简得：y2＝4x (x≥0)． ∴点 P 的轨迹方程为 y2＝4x(x≥0)． (2)设直线 AB 为 y＝k(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y＝kx－m y2＝4x ，得 ky2－4y－4km＝0， ∴y1＋y2＝4 k ，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2， ∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0. 即 m2－4m＝0⇒m＝0 或 4.当 k 不存在时，m＝0 或 4. ∴存在 m＝0 或 4，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点． [点评] (1)点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1，即点 P 到定点 F(1,0)的距离 与到定直线 l：x＝－1 的距离相等．∴P 点轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p＝2， ∴方程为 y2＝4x. (理)已知抛物线 y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于 A、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA→ ·OB→ ＝4，求直线 AB 的方程． (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0)，求 n 的取值范围． [解析] (1)设直线 AB 的方程为 y＝kx－2 (k≠0)，代入 y2＝4x 中得，k2x2－(4k＋4)x＋4 ＝0① 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k＋4 k2 ，x1x2＝4 k2. y1y2＝(kx1－2)·(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－8 k. ∵OA→ ·OB→ ＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝4 k2 －8 k ＝4，∴k2＋2k－1＝0，解得 k＝－1± 2. 又由方程①的判别式Δ＝(4k＋4)2－16k2＝32k＋16>0 得 k>－1 2 ，∴k＝－1＋ 2， ∴直线 AB 的方程为( 2－1)x－y－2＝0. (2)设线段 AB 的中点的坐标为(x0，y0)，则由(1)知 x0＝x1＋x2 2 ＝2k＋2 k2 ，y0＝kx0－2＝2 k ， ∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y－2 k ＝－1 k x－2k＋2 k2 . 令 y＝0，得 n＝2＋2k＋2 k2 ＝2 k2 ＋2 k ＋2 ＝2 1 k ＋1 2 2＋3 2. 又由 k>－1 2 且 k≠0 得1 k<－2，或1 k>0， ∴n>2 0＋1 2 2＋3 2 ＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 K(－1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)证明：点 F 在直线 BD 上； (2)设FA→·FB→＝8 9 ，求△BDK 的内切圆 M 的方程． [解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为 x＝my－1(m≠0) (1)将 x＝my－1(m≠0)代入 y2＝4x 并整理得 y2－4my＋4＝0，从而 y1＋y2＝4m，y1y2＝4① 直线 BD 的方程为 y－y2＝y2＋y1 x2－x1 (x－x2) 即 y－y2＝ 4 y2－y1 x－y22 4 令 y＝0，得 x＝y1y2 4 ＝1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上． (2)由(1)知， x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2， x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1 因为FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)，FA→·FB→＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2) ＋1＋4＝8－4m2， 故 8－4m2＝8 9 ，解得 m＝±4 3 ， 直线 l 的方程为 3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0. 从而 y2－y1＝± 4m2－4×4＝±4 3 7， 故 4 y2－y1 ＝± 3 7 因而直线 BD 的方程为 3x＋ 7y－3＝0,3x－ 7y－3＝0. 因为 KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心 M(t,0)，(－1